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二次函数综合题解题方法与技巧

发布时间:2014-01-16 10:52:54  

压轴题解题技巧练习

引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。

一、 动态:动点、动线

1.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1、

x2是方程x2-2x-8=0的两个根.

(1)求这条抛物线的解析式; (2)点P是线段AB上的动点,过点P作

PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE 的面积最大时,求点P的坐标;

(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三

角形?若存在,请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

二、圆

2. 如图10,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.

(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;

(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求此切线长;

(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与EAD△相似时,求出BF的长 .

图1

23.如图1,在平面直角坐标系xOy,二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于图

2

1 点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO. 3

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;

(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,△AGP的面积最大?求此时点P的坐标和△AGP的最大面积.

4、在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D.

(1)求点C的坐标和过A,B,C三点的抛物线的解析式;

(2)求点D的坐标;

(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由.

5.图9是二次函数y?(x?m)?k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).

(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;

(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S?PAB?25S?MAB,若存在,求出P点的坐标;若不4

存在,请说明理由;

(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y?x?b(b?1)与此

图象有两个公共点时,b的取值范围.

2

6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y

轴上,OA?, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA

cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;

(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;

1(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y?x2?bx?c经过B、P两点,过线段BP上4

一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.

y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左7.在平面直角坐标系中,抛物线

第xOy26题图

侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(?3,0),若将经过A、C两点的直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x??2.

(1)求直线AC及抛物线的函数表达式;

(2)如果P是线段AC上一点,设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC,且S?ABP:S?BPC?2:3,求点P的坐标;

(3)设?Q的半径为l,圆心Q在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在?Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?

五、探究型

3

8. 如图,直线y?3x?3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?

若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

9.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;

(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段

6OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO5

是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交

点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

10.如图,抛物线y=ax +bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0).当2

x=-4和x=2时,二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.

4 2

(1)求实数a,b,c的值;

(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

六、最值类

11.如图11,在平面直角坐标系中,二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四

边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC

为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在

请说明理由.

(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最

大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

12. 如图,抛物线y=//212x+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0). 2

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;

⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

5

第12题图

6

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