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第六讲 二次函数

发布时间:2014-01-16 17:01:58  

第六讲

二次函数

学习目标 基础落实 金典例题

复合函数的单调性 求函数
y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间.
2

练习:求函数y ? 2
练习

x 2 ?3 x ? 2

的单调区间

5 f ( x)是周期为2的奇函数,当0 ? x ? 1时,f ( x) ? 2 x(1 ? x), 则f (? ) ? 2

P32

练习:已知函数f(x)是定义域为R的偶函 数,且f(x+2)=f(x),若f(x)在[-1,0]上单调 递减,那么f(x)在[2,3]上为——————

1.若二次函数的图象的顶点为(2,-1),且过点(3,1),
则此函数的解析式为( A.y=2(x+2)2-1 C.y=-2(x+2)2-1 ) B.y=2(x-2)2-1 D.y=-2(x-2)2-1

选B. 设所求函数的解析式为y=a(x-2)2-1, 把点(3,1)代入得a=2.故所求函数解析式为y=2(x-2)
2-1.

2.(2010· 安徽卷)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx +c的图象可能是( )

b 解法1:选D.对于A选项,因为a<0,- 2a <0,所以

b<0,又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,矛盾,故A错.

对于B选项,因为a<0,- b >0,所以b>0,又因为abc>0, 所以
2a

c<0,由图知f(0)=c>0,矛盾,故B错.
b 对于C选项,因为a>0,- 2a<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,

由图知f(0)=c<0,矛盾,故C错. 故排除A、B、C,选D.
b 2a

解法2:当a>0时,b,c同号,C,D两图中c<0,故b<0,所以-
>0。

3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),
那么( ) B. f(1)<f(2)<f(4) D. f(4)<f(2)<f(1)

A. f(2)<f(1)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1)

选A.因为f(x)=x2+bx+c,所以a=1,抛物线开口向上, 又f(2+t)=f(2-t),x=2是其对称轴, 即当x=2时,f(x)取得最小值.

而当x≥2时,f(x)是增函数,有f(2)<f(3)<f(4),
又f(2-1)=f(2+1),即f(1)=f(3),所以f(2)<f(1)<f(4)。

4.函数y=-2x2-x+1的最大值为

在[-3,1]

上的最大值为

,最小值为

.



因为y=-2x2-x+1=?2( x ?

1 ? 为增函数,在 ? ? ,1? 为减 ? ? 4 ? 1 9 1 函数,所以x=- 时,y取最大值f-()=- ; 4 4 8 1 又因为点-3与对称轴x=- 的距离大于点1与对称轴的距 4 离,所以x=-3时取最小值,且最小值为f(-3)=-14.

1 2 9 ) ? , 4 8 1 9 所以当x=- 4 时,y取最大值 8

9 9 8 8

,-14
.

当x∈[-3,1]时,函数在

1? ? ? 3, ? 4? ? ?

二次函数在给定区间上的最值

轴动或区间动的二次函数的最值 函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t),求g(t)的表达式及其最值。

f(x)=(x-1)2+1.
当t<0时,x=1 [t,t+1]且f(x)在[t,t+1]单

?

调递减,
所以g(t)=f(t+1)= t2 +1.如图(1), 当0≤t≤1时,x=1∈[t,t+1],所以x=1时,g(t)= f(1)=1.如图(2),

当t>1时,x=1

? [t,t+1],f(x)在[t,t+1]
t<0, 0≤t≤1,

单调

递增,所以g(t)=(t-1)2+1.如图(3) , t2+1,

所以g(t)= 1,

(t-1)2+1, (t>1). g(t)min=1,g(t)无最大值.

对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问
题,要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性 进行分类讨论.

2.已知二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]

上有最大值2,求a的值.
因为f(x)的对称轴是x=a,

所以(1)当a<0时,则fmax=f(0)=1-a=2,解得a=-
1. (2)当0≤a≤1时,则fmax=f(a)=a2-a+1=2,无解. (3)当a>1时,则fmax=f(1)=a=2,有a=2. 综上可知,a=-1或a=2.

二次函数最值的应用 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈
? 1? ? 0, ? ? 2?

成立,求a

的最小值.
分析:从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解, 主要有:配方法、分离变量法.

(配方法,转化为f(x)=x2+ax+1在(0,

小值≥0)
设f(x)=x2+ax+1,则对称轴x=-
a 2

1]上的最 2

应有f( )≥0 - 2 ≤a<-1. ? 2 1 a (0, ] 上是增函数, ② 若- <0,即a>0时,则f(x)在 2 2 应有f(0)=1>0恒成立,故a>0.

1 a 1 (0, ] 上是减函数, ①若- > ,即a<-1时,则f(x)在 2 2 12 5

.

a ③若0≤-2



则应有

a a a a f (? ) ? ? ?1 ? 1? 2 4 2 4

1 ,即-1≤a≤0, 22 2 2

≥0恒成立,故-1≤a≤0.

综上,有a≥5 ,故a的最小值为- 5 . 2 1 2 解法2:(分离变量法)因为x∈(0, ], 2 2 ? x ?1 1 ? ?x ? , 所以a≥ x x 1 1 1 y ? x ? 因为 在 (0, ] 上单调递减,在x= 处最得最小 x 2 2 1 1 5 值 ,所以? ( x ? ) ≤-5 .故a的最小值为. 2 x 2 2

(1)恒成立问题常转化为最值问题.一般地有:若 f(x)>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上,f(x)
min>A;若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则等价于在区间

D上,f(x)mɑx<B. (2)含参数问题的处理常采用分离变量法,分离变量后, 常转化为函数的最值问题.

3.已知函数f(x)=x2-2ax+3. (1)讨论函数在(-2,2)内的单调性; (2)若函数在(-2,2)上f(x)-k>0恒成立,求k的取值范 围. (1)f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2-a2+3,对称

轴为x=a,开口向上.若a≤-2时,在(-2,2)内单调递增;
若a≥2时,在(-2,2)内单调递减; 若a∈(-2,2),则在(-2,a]内单调递减, 在[a,2)内单调递增.

(2)若a≤-2时,函数在(-2,2)内单调递增,f(x)> f(-2)=7+4a,所以k≤7+4a;

若a≥2时,函数在(-2,2)内单调递减,f(x)>f(2)=7-
4a,所以k≤7-4a; 若a∈(-2,2)函数f(x)min=3-a2,所以k<3-a2. 综上所述,当a≤-2时,k≤7+4a;当-2<a<2时,k<3-a2; 当a≥2时,k≤7-4a.


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