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中考复习_解直角三角形_人教版

发布时间:2014-01-17 10:57:46  

中考总复习专项训练——

1.知道 30°,45°,60°角的三角函数值.

2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三 角函数值求它对应的锐角.
3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.

锐 角 三 角 函 数 定 义

?A的对边 正弦函数: sin A ? 斜边 ?A的邻边 余弦函数: cos A ? 斜边 ?A的对边 正切函数: tan A ? ?A的邻边

定义的应用
1:取值范围:
0<sinA<1
A

0<cosA<1
tanA>0

cotA>0

C

B

2.互余两角之间的三角函数关系:
?直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.

则 sinA=cosB或cosA=sinB.
tanA=cotB或cotA=tanB.
c
a A b ┌ C B

3.同角之间的三角函数的关系
平方和关系:
2 2 2 sin A ? 1 ? cos A . 或 sin A ? 1 ? cos A. sin A ? cos A ? 1.

2

2

cos2 A ? 1 ? sin 2 A. 或 cos A ? 1 ? sin 2 A.

sin A cos A 商的关系: tan A ? , cot A ? . cos A sin A

B c a ┌ C

倒数关系:
tan A ? cot A ? 1.

1 tan A ? . cot A 1 cot A ? . tan A
A

b

2.解直角三角形 (1)定义:一般地,直角三角形中,除直角外,共有 5 个元 2 个锐角,由直角三角形中除直角外的已知 3 条边和___ 素,即___ 元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (2)边角关系:已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,设∠A、

∠B、∠C 的对应边分别为 a、b、c.

a2+b2=c2 ; ①三边关系(勾股定理):_____________
∠A+∠B=90° ; ②两锐角关系:________________
a b a ③边角关系:sinA=c,cosA=c ,tanA=b.

3.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 上方 的角叫仰角. (1)仰角:视线在水平线_____

俯角 . 俯角:视线在水平线下方的角叫_____
水平宽度 的比叫做坡度(或 (2)坡度:坡面的铅直高度和___________ 坡比 ,用字母 i 表示. 叫_____) 坡角,用α表示,则有 i=____. tanα 坡角:坡面与水平面的夹角叫____ (3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东 水平线 向)和一条铅垂线(向上为北向),则从 O 点出发的视线与______

或铅垂线 所夹的角,叫做观测的方向角. _________

4.解直角三角形应用题的步骤
(1)根据题目已知条件,画出平面几何图形,找出已知条件 中各量之间的关系. (2)若是直角三角形,根据边角关系进行计算;若不是直角 辅助线 ,构造直角三角形进行解决. 三角形,应大胆尝试添加_______

锐角三角函数的计算

1、

=4 2、
解:原式 ? 1 ? 3 2 ? 2 ?4 2

? 1? 3 ? 4

=0

2. (2011 年江苏镇江)如图 6-5-1, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB =90° ,CD⊥AB,垂足为 D.若 AC= 5,BC=2,则 sin∠ACD 的值为( A )

解:? ?A ? ?ACD ? ?A ? ?B ? 90?
? ?ACD ? ?B

5

2

在Rt?ABC 中, AB ? AC ? BC ?
2 2

? 5? ? 2
2

2

?3

图 6-5

-1

? sin?ACD ? sin?B ?

AC 5 ? AB 3

5 A. 3

2 5 B. 5

5 C. 2

2 D.3

5
解: ? ?C ? ?B ? ?C ? ?CAD ? 90?
? ?B ? ?CAD
4

? cosB ? cos?CAD ?

4 5

AD 在Rt?CAD 中,cos?CAD ? AC ? AD 4 ? , AC 5 即 4 4 ? AC 5

2010汕头

? AC ? 5

3.(2011 年湖北荆州)在△ABC 中,∠A=120°,AB=4,

AC=2,则 sin B 的值是( D )
A. 14 5 7 3 B. 5 21 C. 7 21 D. 14

C
120° 2


B

4

A D

60°

解直角三角形
(习题集)9.(2011年内蒙古乌兰察布)某厂家新开发的一种电动车如图X6 -5-5,它的大灯A射出的光线AB、AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和 10°,大灯A与地面离地面的距离为1m,则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m(不考虑其他因素).

1 8° 10°

D

例1:(2011 年山东威海)如图 6-5-3(1),一副直角三角板 如图放置,点 C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB= 90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长.

45°

30°

60°

10



45°

30°

解:如图 6-5-3(2),过点 B 作 BM⊥FD 于点 M. 在△ACB 中,∠ACB=90° , ∠A=60° ,AC=10, ∴∠ABC=30° , BC=AC tan60° =10 3,

∵AB∥CF,∴∠BCM=30° . 1 ∴BM=BC· sin 30° =10 3×2=5 3, 3 CM=BC· cos 30° =10 3× 2 =15. 在△EFD 中,∠F=90° , ∠E=45° , ∴∠EDF=45° ,∴MD=BM=5 ∴CD=CM-MD=15-5 3. 3,

(南粤真题)5、如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公 路l,AB是A到l的小路,现新修一条路AC到公路l,小明测量出∠ACD=30°, ∠ABD=45°,BC=50m,请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度

(精确到0.1m;参考数据:
解 设AD=x ∵∠ABD=45° ∴BD=AD=x

2

≈1.414,

3

≈1.732)

2011汕头

∵∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m ∴
AD x tan30? ? ? CD x ? 50

x
45°

50 30°

x 3 ? ? x ? 50 3

x

解 得

AD ? 25? 3 ? 1? ? 68.3

答:小明家到公路l的距离AD的长度约为68.3m

6.如图 6-5-5 ,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,tanB =cos∠DAC. (1)求证:AC=BD;
12 (2)若 sinC=13,BC=13,求 AD 的长.

13k+5k=13
13k 12k 13k 5k

图 6-5-5

(1)证明:∵ tanB=cos∠DAC, AD AD 即BD= AC,∴ AC=BD. 12 AD (2)解:∵sinC=13=AC , 设 AD=12k,AC=13k, 由(1)得 BD=AC=13k, ∵在 Rt△ADC 中,CD2=AC2-AD2 ∴CD=5k. ∴BC=BD+DC=13k+5k=18k=13, 13 13 26 ∴k=18,∴AD=12k=12×18= 3 .

5.(2011 年山东济宁)如图 6-5-4,是一张宽为 m 的矩形
台球桌 ABCD,一球从点 M(点 M 在长边 CD 上)出发沿虚线 MN 射向边BC,然后反弹到边AB 上的 P 点.如果MC=n,∠CMN m-n· tan α tan α =α.那么 P 点与 B 点的距离为__________.
P

a
m n

图 6-5-4

解直角三角形的实际运用

(习题集)13.(2011年安徽)如图X6-5-8,某高速公路建设中

需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1 500 m高度C处的飞机 上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°. 求隧道AB的长. 解: ? CD // AB
? ?OBC ? ?BCD ? 45?, ?OAC ? ?ACD ? 60?

? OB ? OC ? 1500 OA ? OC 1500 ? ? 500 3 tan60? 3

60°

45°

? AB ? 1500 ? 500 3 ? 635

15.如图X6-5-9,两座建筑AB及CD,其中A、C距离为50米, 在AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β =30°,测得其底部C的俯 角a=60°,求两座建筑物AB及CD的高(精确到0.1米).

D
B
30° E 50 60°

A

50

C

7.(2011 年甘肃兰州)某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜 坡的坡度 i=1∶ 3,坝外斜坡的坡度 i=1∶1,则两个坡角的

75° 和为_____.
tanA ? i ?

D

C

1 3 ? 3 3

? ?A ? 30?

1 tanB ? i ? ? 1 1

A

E

F

B

? ?B ? 45?

? ?A ? ?B ? 75?

9.(2011 年山东东营)河堤横断面如图 6-5-8 所示,堤高

BC=5 米, 迎水坡 AB 的坡比 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC
与水平宽度 AC 之比),则斜坡 AC 的长是( B A ) 5 图 6-5-8

A.5

3米

B.10 米 D.10 3米

C.15 米

4.(2011 年江浙宁波)如图 6-5-2,某游乐场一山顶滑梯

的高为 h,滑梯的坡角为α,那么滑梯长 l 为( A ) h h A.sinα B.tanα h C.cosα D.h· sinα 图 6-5-2

小心数学陷阱

8.(2011 年浙江衢州)在一次夏令营活动中,小明同学从营 地 A 出发,到 A 地的北偏东 60°方向的 C 处,他先沿正东方向 走了 200 m 到达 B 地,再沿北偏东 30°方向走,恰能到达目的 200 地 C(如图 6-5-7),由此可知,B、C 两地相距______m.

图 6-5-7

(南粤真题)7、(2011?湛江)如图,五一期间,小红到美丽的世界地质公

园湖光岩参加社会实践活动,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向;然
后沿北偏东60°方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正 南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1米)

100

60°

C
45°

20.如图X6-5-13,小霞从A点出发,要到距离A点1 000 m 的C地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北偏西20° 方向走了500 m到达目的地C,此时小霞在营地A的C ( )

A. 北偏东20°方向上
B.北偏东30°方向上
1 000
70° 20° 20°

500
20°

C.北偏东40°方向上
D.北偏西30°方向上

70°

2009汕头

? PC?tan 30°? PC?tan 45° ? 100
? 3 ? ?? ? 3 ? 1? ? PC ? 100 ? ?

C

? PC ? 50(3 ? 3) ≈ 50 ? (3 ? 1.732) ≈ 63.4 ? 50
答:森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径,所以计划修筑的这 条高速公路不会穿越保护区

(南粤真题)6、如图,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠C=30°,折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处,BF是折痕,且 BF=CF=8. (1)

求∠BDF的度数; (2)求AB的长.

2011汕头

30° 30° 8 30°

8
30°

如图,点E(0,4),O(0,0)在直径为5的⊙A上,BE是⊙A上 的一条弦,则tan∠OBE=
4 5

.


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