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期末复习十三

发布时间:2014-06-15 12:03:30  

李堡中学高二数学文科期末复习十三

一:填空题(本大题共14大题,每小题5分,共70分)

?1+i2?+?221.已知集合A=?i,|5i|,?,则集合A∩R(R表示大于0的实数)的 i2??2i2子集个数为____________.

2.已知集合M?{?1,0,1},N?{0,1,2},则M?N?

3.已知复数z=1+ai(a∈R,i是虚数单位), z34=-i,则a=________________. 55z

x2y2

4.已知命题:在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0),顶点B+=1(m>n>0,mnp=m-n)上,椭圆的离心率是e,则

_________________. sinA+sinC1=.试将该命题类比到双曲线中,给出一个真命题sinBe

??z1z2(z1?z2)5.已知z1,z2是复数,定义复数的一种运算“?”为:z1?z2=?, ??z1?z2(z1?z2)

若z1?2?i且z1?z2?3?4i,则复数z2?

(1?i)2n(1?i)2n

??2n,则最小正整数n= . 6.已知1?i1?i

7.设复数z满足:(2-3+i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,且

|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z8. 曲线y?e

?5x?2在点(0,3)处的切线方程为?a?2x,x?09.已知函数f(x)???x(a?R),若f[f(?1)]?1,则a? 2,x?0?

10.已知函数f(x)?x2?mx?1,若对于任意的x??m,m?1?都有f(x)?0,则实数m的取值范围为 。

11. 在平面直角坐标系xoy中,若曲线y?ax?2b(a,b为常数)过点P(2,?5),且该曲线在点P处的切x

线与直线7x?2y?3?0平行,则a?b? 。

12.正方形ABCD的边长是a,依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方

形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依次得到一系列的正方

形,如右图所示.现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇

到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.则这10

条线段

第1页

的长度的平方和是__________.

13.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x??0,3?时,f(x)?x2?2x?

在区间??3,4?上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 。

14.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的是3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为________.

二:解答题(本大题共6大题,共90分)

15:.已知复数z

满足|z|,z2的虚部为2.

(1)求z;

(2)设z,z2,z?z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求?ABC的面积.

16.已知函数f(x)?(4x2?4ax?a2)x,其中a?0.

(1)当a??4时,求f(x)的单调递增区间;

(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.

第2页 1,若函数y?f(x)?a2

17如图:为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求,新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处,(OC为河岸),tan?BCO?4。 3

(1)求新桥BC的长;

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

18:对于任意的复数z=x+yi(x、y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)].

(1)集合A={ω|ω=P(z),|z|≤1,x、y均为整数},试用列举法写出集合A;

(2)若z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值;

(3)直线l:y=x-9上是否存在整点(x,y)(坐标x、y均为整数的点),使复数z=x+yi经运算P后,P(z)对应的点也在直线l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.

19.(满分16分)已知函数f(x)?e?ex?x,其中e是自然对数的底数。

第3页

(1)证明:f(x)是R上的偶函数;

(2)若关于x的不等式mf(x)?e?x?m?1在(0,??)上恒成立,求实数m的取值范围;

3(3)已知正数a满足:存在x0?(1,??),使得f(x0)?a(?x0?3x0)成立,试比较ea?1与ae?1的大小,并

证明你的结论。

20.π为圆周率,e?2.71828(Ⅰ)求函数f(x)?为自然对数的底数. lnx的单调区间; x

(Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.

第4页

一:填空题

1. 8 2.17 3.-2

x2y2

4.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0),顶点B在双曲线1(m>n>0,p=mn|sinA-sinC|1m+n)上,双曲线的离心率是e,则=. sinBe

?-2?5.1?3i 6. ?? 7.|z|=2-1或2+1. 8. 内角平分线 a ?-4?

11 0232 9.10.38611. 312. 13. 100714.7162 048

二:解答题(本大题共6大题,共90分)

15:.已知复数z

满足|z|,z2的虚部为2.

(1)求z;

(2)设z,z2,z?z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求?ABC的面积. 解答:(1)设z?x?yi(x,y?R).

由题意得z2?x2?y2?2xyi

?∴??2xy?2

2(1)(2) 2化简得?x?y??0,?x?y 将其代入(2)得2x?2,∴x??1.

故??x?1?x??1或?故z?1?i或z??1?i.

?y?1?y??1

1?1?2?1. 222(2)当z?1?i时,z?2i,z?z?1?i. 所以A(1,1),B(0,2),C(1,?1) ∴|AC|?2,S?ABC?

22当z??1?i时,z?2i,z?z??1?3i.

1A(?1,?1),B(0,2),C(?1,3). ∴ |AC|?4,S?ABC??1?4?2. 2

?1?16:已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=??,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)?1?

变换成(-2,4).

(1)求矩阵M;

(2)求矩阵M的另一个特征值,及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系;

(3)求直线l:2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.

?a 解 (1)设M=??c ?a ?,则??c d?b??1??8??a+b=8,? ???=8??=??,故?d??1??1??8??c+d=8.?b??1?

第5页

?a ??c ??-a+2b=-2,?-2? ???=??,故?d?? 2?? 4??-c+2d=4.?b??-1?

联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=?

(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为 ?6 ?4 2?4??.

?λ-6 -2?f(λ)=??=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16,故其另一个特征值为λ=2.设矩阵M的另一个特? -4 λ-4?

x??6x+2y??x??征向量是e2=??,则Me2=??=2??,解得2x+y=0. ?y??4x+4y??y?

(3)设点(x,y)是直线l上的任一点,其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′,y′),

则??6

?4 2??x??x′????=??, 4??y??y′?

1113即x=′-′,y=-x′+′,代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0,即x-y+2=0. 4848

17:已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0.

解:假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数, 不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,可得c>-(a+b),

又a+b<0,∴ c(a+b)<-(a+b)(a+b),

ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab, 即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.

∵ a2>0,ab>0,b2>0,∴ -a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,

这与已知ab+bc+ca>0矛盾,假设不成立. 因此a>0,b>0,c>0成立.

18:先阅读下列框图,再解答有关问题:

(1)当输入的n分别为1,2,3时,a各是多少?

(2)当输入已知量n时,①输出a的结果是什么?试证明之;②输出S的结果是什么?写出求S的过程.

111[解析] (1)当n=1时,an=2时,an=3时,a=31535

(2)(方法一)当输入n时,①中输出结果为an,②中输出结果为Sn,则

2n-31an2n-3a1=,anan-1(n≥2),所以(n≥2) 32n+1an-12n+1

第6页

2n-32n-52n-711aan-1a111所以an=·a1…an-1an-2a12n+12n-12n-3532n+12n-14n-1

1111111(方法二)由a1=a==a=,猜想a=. n34×1-12154×2-13354×3-14n-1

1证明:(1)当n=1时,结论成立,(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即ak=, 4k-1

则当n=k+1时,ak+1=k+-32k-1111ak==k++12k+34k-1k+k

+k+-1

1成立. 4n-1所以当n=k+1时,结论成立,故对n∈N*,都有an=

11111因为an===-), 4n-1n+n-22n-12n+1

1111111111n所以Sn=a1+a2+…+an=-)+()+…+-)=(1-=. 2323522n-12n+122n+12n+1

19:对于任意的复数z=x+yi(x、y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)].

(1)集合A={ω|ω=P(z),|z|≤1,x、y均为整数},试用列举法写出集合A;

(2)若z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值;

(3)直线l:y=x-9上是否存在整点(x,y)(坐标x、y均为整数的点),使复数z=x+yi经运算P后,P(z)对应的点也在直线l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.

?z=x+yi,?[解析] (1)??x2+y2≤1, ?|z|≤1?

?1,?x=±由于x,y∈Z,得???y=0, ??x=0,??1,?y=± ??x=0,? ?y=0.?

∴P(±1)=1,P(±i)=0,P(0)=0, ∴A={0,1}.

?cosyπ=0,?(2)若z=2+yi(y∈R),则P(z)=4[cos(yπ)+isin(yπ)].若P(z)为纯虚数,则? ?sinyπ≠0,?

1∴y=k+,k∈Z, ∴|z|=2+y2

当k=0或-1时,|z|min=17. 2k+4,k∈Z, 2

y=x-9,??22(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ)),由题意得?xy=x

??x、y∈Z,

∴x2sin(xπ-9π)=x2cos(xπ-9π)-9,∴x2sinxπ=x2cosxπ+9.

∵x∈Z,∴①当x=2k,k∈Z时,得x2+9=0不成立;

②当x=2k+1,k∈Z时,得x2-9=0,∴x=±3成立.

???x=3,?x=-3,此时?或?即z=3-6i或z=-3-12i. ?y=-6???y=-12,

第7页 y-9,

20(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+?).因为f(x)?lnx1?lnx,所以f?(x)?. xx2 当f?(x)?0,即0?x?e时,函数f(x)单调递增;

当f?(x)?0,即x?e时,函数f(x)单调递减.

故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,??). (Ⅱ)因为e?3?π,所以eln3?elnπ,πlne?πln3,即ln3e?lnπe,lneπ?ln3π.

于是根据函数y?lnx,y?ex,y?πx在定义域上单调递增,可得 3e?πe?π3,e3?eπ?3π.

故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中. 由e?3?π及(Ⅰ)的结论,得f(π)?f(3)?f(e),即

由lnπln3lne. ??π3elnπln3,得lnπ3?ln3π,所以3π?π3; ?π3ln3lne,得ln3e?lne3,所以3e?e3. ?3e

综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.

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