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带余除法B答案

发布时间:2013-10-30 08:04:01  

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案)

第[1]道题答案:

15,21,35

从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=3?5?7,可知这样的两位数有15,21,35.

第[2]道题答案:

5

根据带余数除法中各部分之间的关系可知,商?除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.

因为24=2?2?2?3=23?3,所以(商,除数)= (1,24),(2,12),(3,8),(4,6), (6,4), (8,3), (12,2),(24,1)

又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.

第[3]道题答案:

51

由17与19互质可知,8□98能被(17?19=)323整除.因为8098?323=25?23,根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍,所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.

8398=323?26

=2?13?17?19

所以,这个四位数的所有质因数之和是

2+13+17+19=51.

第[4]道题答案:

2

设这串数为a1,a2,a3,?,a1992,?,依题意知

a1=1

a2=1+1

a3=1+1+2

a4=1+1+2+3

a5=1+1+2+3+4

??

a1992=1+1+2+3+?+1991=1+996?1991

因为996?5=199?1,1991?5=398?1,所以996?1991的积除以5余数为1,1+996?1991除以5的余数是2.

因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.

第[5]道题答案:

9

因为222222=2?111111

=2?111?1001

=2?111?7?11?13

所以222222能被13整除.

又因为2000=6?333+2 ??个22?13=1?9

所以要求的余数是9.

第[6]道题答案:

52

设小明应扔n次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为

1+2+3+?+n=n?(n+1) 2

11依题意知, n?(n+1)能被106整除,因此可设 2

1

2n?(n+1)=106a 即n?(n+1)=212a

又212a=2?2?53a,根据n与n+1为两个相邻的自然数,可知2?2?a=52(或

54).

当2?2?a=52时,a=13.

当2?2?a=54时,a=131

2,a不是整数,不符合题意舍去.

因此, n?(n+1)=52?53=52?(52+1),n=52,所以小明扔52次.

第[7]道题答案:

76

假设十万位和万位上填入两位数为x,末两位上填入的数为y,(十位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000x+y,3007200除以101的余数是26, 10000x除以101的余数为x,那么当x+y+26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当y=1时, x=74;当y=2时,x=73,??,而当y=76时,x=100,而0?x?99,x不可能是100,所以y也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几,都不是101的倍数.

第[8]道题答案:

1

设这个自然数为m,且m去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是m的倍数.于是

(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是m的倍数.又因为

258=2?3?43.

则m可能是2或3或6或43(显然m?1,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数m必须大于余数,可以确定m=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.

第[9]道题答案:

15

我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,?要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数,那么能被7整除的数只能取1个,取了除以7余1的数,就不能再取除以7余6的数;取了除以7余2的数,就不能再取除以7余5的数;取了除以7余3的数,就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数,共有

5+5+4+1=15(个)

所以,最多能取出15个数.

第[10]道题答案:

347

根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们百位上的数字应分别选用3,2,1;个位上的数字应分别选用7,8,9.

又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.

这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.

第[11]道题答案:

每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加5.而1991=6?331+5,所以是可能的.

第[12]道题答案:

解法一

由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a+7为第二次商,同样地,第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商,即8(8a+7)+1为第一次商,第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的自然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的自然数.

同理,由(2)式得所求的自然数为17(2a?17+15)+4

由此得方程

8[8(8a+7)+1]+1=17(2a?17+15)+4

8(64a+57)+1=17(34a+15)+4

512a+457=578a+259

66a=198

∴a=3

因此,所求自然数为512a+457=512?3+457=1993

解法二

依题意可知所求的自然数有两种表示方法:

(1) ⑦ ① ①(8) a<8

a<17

,可知所求的自然数是

(1)a?83+7?82+1?81+1=512a+457

21(2)2a?17+15?17+4=578a+259

由此得 512a+457=578a+259

?a=3

因此,所求的自然数为512a+457=512?3+457=1993

[注]解法一根据“被除数=除数?商+余数”的关系式,由最后的商逐步推回到原来的自然数,需要一定的逆向思考能力,解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化.

第[13]道题答案:

每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.

我们分三种情况进行讨论:

(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买;

(2)当钱数被3除余1时,3k+1=3(k-1)+4,精装书只要买1本,其中k为大于2的自然数.

(3)当钱数被3除余2时,3k+1=3(k-2)+8,精装书只要买2本,其中k为大于2的自然数.

在10至50这41个自然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一共买精装书

14+14?2=42(本)

第[14]道题答案:

因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数,最多能用空瓶换四次汽水.

1991?(1+1

7?1

72?173)=1707.2825

如果买1707瓶汽水,1707?7=243?6可换243瓶汽水,(243+6)?7=35?4可换35瓶汽水,(35+4)?7=5?4可换5瓶汽水,(5+4)?7=1?2可换一瓶汽水,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽水.

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