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必修一能力提升题

发布时间:2014-02-07 09:45:35  

1、若f(x)是定义在(0??上,)的增函数,且对一切x,y?(0??,,)满足

xf()?f(x)?f(y). y

(1)求f(1)的值;

(2)若f(6)?1,解不等式f(x?3)?f()?2.

2、已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.

13

1-3、定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当2≤x≤6时,f(x)=(|xm|+n,f(4)=31. 2

(1)求m,n的值;

(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.

4、设函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(x)≠0,对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

(1)求证:f(x)>0; f(x)(2)求证:f(x1-x2)= f(x2)(3)若f(1)=2,解不等式f(3x)>4f(x).

1、解:(1)在f()?f(x)?f(y)中,令x?y?1,则有f(1)?f(1)?f(1) x

y

?f(1)?0.????????????????????????????4分

(2),?f(?f()xx

yf(?y),f(x?3)?f()?2, 1

3

?f(x?3)?即2,f1

3x(?3,?????????????????6分 ?9)2

?f(6)?1?f(3x?9)?f(6)?f(6),即f(3x?9)?f(6)?f(6),即f(

.?10分

?f(x)是定义在(0,??)上的增函数, x?3)?f(6)2

?x?3?0??2 ?? ,解得?3?x?9 x?3??6??2

即不等式的解集为(?3,9).???????????????????14分

2、解:∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根. ?????????????????4分 设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0. ????????????????????5分 当Δ=0,即m2-4=0,

∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去,

∴2x=1,x=0符合题意. ????????????????????????9分 当Δ>0,即m>2或m<-2时,

t2+mt+1=0有一正一负根,

即t1t2<0,这与t1t2>0矛盾.

∴这种情况不可能. ??????????????????????????13分 综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0. ??????????14分

3、解:(1)因为函数f(x)在R上满足f(x)=f(x+4),

1|2-m|1|6-m|所以f(2)=f(6),即()+n=+n, ① 22

1|4-m|又f(4)=31,(+n=31, ② 2

联立①②组成方程组解得m=4,n=30. ???????????????????6分

1(2)由(1)知,函数f(x)=()|x-4|+30,x∈[2,6]. 2

因为1<log34<2,所以5<log34+4<6.

11f(log3m)=f(log34)=f(log34+4)=|log34+4-4|+30=()|log34|+30. ??????????8分 22

又因为3<log330<4,

811log330?414?log3301log330f(log3n)?f(log330)?()?30?()?30?()?30????10分 222

811log41log3因为log3<log34,所以()3<()30, 2302

1log31log4即()3+30<()30+30???????????????????????13分 22

因此f(log3m)<f(log3n) ?????????????????????????14分

4、【分析】 本题抽象函数f(x)与指数函数具有类似的性质,但更具有一般性,因此可以借助于指数函数的性质来理解本题的各个结论.

t 【解】 (1)证明:令x1=x2=2

因为f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),

ttttt 所以f(t)=f()=f(f(=[f()]2. 22222 t 因为f(t)≠0,所以[f()]2>0,即f(t)>0, 2 所以f(x)>0.

(2)证明:因为f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1- x2 )·f(x2),又f(x)≠0,

f(x) 所以f(x1-x2)=f(x2)

(3)因为f(1)=2,

所以4f(x)=2f(1)·f(x)=2f(1+x)

=f(1)·f(1+x)=f(2+x),

所以不等式f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x).

又因为f(x)在R上是增函数,

所以3x>2+x,解得x>1,

所以不等式f(3x)>4f(x)的解集为{x|x>1}.

t(1)取x1=x2=即特例法(而t又是任意的) 2 证得结论; (2)“凑”形:把x1,x2与x1-x2的关系找 出来,即:x1=(x1-x2)+x2或x2=(x2-x1)+x1.

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