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2013-2014北京各区期末分类汇编(23)

发布时间:2014-02-09 13:54:09  

代数综合题

所考知识点:

1、

例题1、如图,二次函数y1?ax2?bx?c(a?0)的图象与一次函数y2?x?b的图象交于

为二次函数图象的顶点. A(0,1),B两点. C(1,0)

(1)求二次函数y1?ax2?bx?c(a?0)的解析式;

(2)定义函数f:“当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,若y1≠y2,

函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;若y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).” 当直线y3?kx?

1(k >0)与函数f的图象只有两个交点时,求k的值. 2

例题2、已知点A(2,?2)和点B(?4,n)在抛物线y?ax(a?0)上.

(1)求a的值及点B的坐标;

(2)点P在y轴上,且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形,求点P的坐标;

(3)平移抛物线2y?ax2(a?0),记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B'.

点M(2,0)在x轴上,当抛物线向右平移到某个位置时,A'M?MB'最短,求此时抛物线的函数解析式.

例题3、已知抛物线y?(m?1)x2?2mx?m?1(m?1).

(1)求抛物线与x轴的交点坐标;

(2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2,求m的值;

(3)若一次函数y?kx?k的图象与抛物线始终只有一个公共点,求一次函数的解析式.

32例题4、如图1,已知二次函数y?x?bx?b的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左2

侧),顶点为C, 点D(1,m)在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点.

(1)求此二次函数的解析式和点C的坐标;

(2)当点D的坐标为(1,1)时,连接BD、BE.求证:BE平分?ABD;

(3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、

D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标.

1

练习题:

1、已知:如图,二次函数y?备用图

1 备用图

2 12212x?(?m)x?m(0<m<4)的图象与x轴交6363

于A、B两点.

(1)求A、B两点的坐标(可用含字母m的代数式表示);

(2)第一象限内的点C在二次函数y?12212x?(?m)x?m 6363

3的图象上,且它的横坐标与纵坐标之积为9,∠BAC的正弦值为 ,求m的值. 5

2、已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y??x?bx?c的图象与x轴交于A、B 两点,与y轴交于点C,点A在x轴负半轴上,点B在x轴正半轴上,且2CO?BO?3AO,AB?4,抛物线的顶点为D.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)点E(0,n)在y轴正半轴上,且位于点C的下方. 当n在什么范围内取值时 ?CBD<?CED?当n在什么范围内取值时?CBD>?CED?

(3)若过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P,求点P的坐标.

3、已知关于x的方程kx2?(4k?1)x?4?0.

(1)当k取何值时,方程有两个实数根;

(2)若二次函数y?kx2?(4k?1)x?4的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k

为正整数,求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标;

(3)若(2)中的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.将抛物线向上平移n

个单位,使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),写出n的取值范围.

4、如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上两点,经过A、

C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,?

点M是抛物线C2:y?mx2?2mx?3m(m?0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标.

(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得?PBC的面积最大?若存在,求出?PBC 面积的最大值;若不存在,请说明

理由;

(3)当?BDM为直角三角形时,直接写出m的值.______

5、已知抛物线y?x?2x?23),25与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴4

相交于点C.

(1)点A的坐标为 ,点C的坐标为 ;

(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以点P,O,A为顶点的三角形与?AOC相

似?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

6、定义:把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形,我们把这

个封闭图形称为“蛋圆”.如果一条直线与“蛋圆”只有一个

交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,A,B,C,

D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,8),

AB为半圆的直径,半圆的圆心M的坐标为(1,0),半圆半径

为3.

(1)请你直.接.写出“蛋圆”抛物线部分的解析式

y?;

(2)请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标;

(3)求经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

7、已知二次函数y?a(x?m)?2a(x?m)(a, m为常数,且a≠0).

(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;

(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A,B两点,当△ABC是等腰直角三角形

时,求a的值.

8、在平面直角坐标系xOy中,二次函数y??x?(m?1)x?4m的图象与x轴负半轴交于点

A,与y轴交于点B(0,4),已知点E(0,1).

(1)求m的值及点A的坐标;

(2)如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连结A′B、BE′.

①当点E′落在该二次函数的图象上时,求AA′的长;

②设AA′=n,其中0<n<2,试用含n的式子表示A′B2+BE′2, 并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;

③当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.

22

39、已知:二次函数y?x2?mx?m?1(m为常数). 4

(1)若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A,且A点在x轴的正半轴上. ①求m的值;

②四边形AOBC是正方形,且点B在y轴的负半轴上,现将这个二次函数的图象平移,使平移后的函数图象恰好经过B,C两点,求平移后的图象对应的函数解析式;

(2) 当0≤x≤2时,求函数y?x?mx?m?1的最小值(用含m的代数式表示). 4

10、已知:二次函数y?ax2?2ax?4(a?0)的图象与x轴交于点A,B(A点在B点的左侧),

与y轴交于点C,△ABC的面积为12.

②求二次函数的解析式;

(2) 点D的坐标为(-2,1),点P在二次函数图象上,∠ADP为锐角,且tan?ADP?2,

求点P的横坐标;

(3)点E在x轴的正半轴上,?OCE?45o,点O与点O?关于EC所在直线对称.作

ON⊥EO?于点N,交EC于点M.若EM·

EC=32,求点E的坐标. 23

11、如图,在平面直角坐标系xOy中,以点M(1,?

1)x轴

交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象经 过点A、B、C,顶点为E.

(1)求此二次函数的表达式;

(2)设∠DBC=?,∠CBE=?,求sin(?-?)的值;

(3)坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似.

若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

12、在平面直角坐标系中,抛物线y??m?123x?mx?m2?3m?2与x轴的交点分别为原22

点O和点A,点B(4,n)在这条抛物线上.

(1)求B点的坐标;

(2)将此抛物线的图象向上平移

(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,

图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线7个单位,求平移后的图象的解析式; 21y?x?b与此图象有两个公共点时,b的取值范围. 2

13、已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1?ax2?bx过点A(6,0)和点B

(3

(1)求抛物线y1的解析式;

(2)将抛物线y1沿x轴翻折得抛物线y2,求抛物线y2的解析式;

(3)在(2)的条件下,抛物线y2上是否存在点M,使△OAM与△AOB相似?如果

存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由. yB

A

14、.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?mx2?(m?2)x?2过点(2,4),且与x轴交于

A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点D的坐标为(2,0),连接CA,CB,CD.

(1)求证:?ACO??BCD;

(2)P是第一象限内抛物线上的一个动点,连接DP交BC于点E.

①当△BDE是等腰三角形时,直接写出点E的坐标;

②连接CP,当△CDP的面积最大时,求点E的坐标.

15、抛物线y?mx2?(m?3)x?3(m?0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)若点P(x1,b)与点Q(x2,b)在(1)中的抛物线上,且x1?x2,PQ=n.

①求4x12?2x2n?6n?3的值;

② 将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是 .

16、已知抛物线y1?x2?2(1?m)x?n经过点(?1,3m?

(1)求n?m的值;

(2)若此抛物线的顶点为(p,q),用含m的式子分别表示p和q,并求q与p之间 的函数关系式;

(3)若一次函数y2??2mx?

值范围.

1). 21,且对于任意的实数x,都有y1≥2y2,直接写出m的取8

17、如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上, 且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE,将△OBC沿y轴翻折得到△ODC,AE与CD交于点F.

(1)若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式;

(2)求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积;

(3)点M是第三象限内抛物线上的一动点,点M在何处时△AMC

的面积最大?最大面积是多少?求出此时点M的坐标.

18、已知,二次函数y?ax?bx的图象如图所示.

(1)若二次函数的对称轴方程为x?1,求二次函数的解析式;

(2)已知一次函数y?kx?n,点P(m,0)是x轴上的一个动点.若在(1)的条件下,

过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y?ax?bx的图象于点N.若只有当1<m<225时,点M位于点N3

的上方,求这个一次函数的解析式;

(3)若一元二次方程ax?bx?q?0有实数根,请你构造恰

当的函数,根据图象直接写出q的最大值.

19、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??x?(m?1)x?m?6交x轴负半轴于点A,

交y轴正半轴于点B(0 , 3),顶点C位于第二象限,连结AB,AC,BC.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 点D是y轴正半轴上一点,且在B点上方,若∠DCB=∠CAB,请你猜想并证明CD与AC的位置关系;

(3) 设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发,沿x轴负方向平移t个单位长度(0

<t≤3)时,△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式.

222

20、如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y?12x?bx?c与x轴交于A、B两点,点2

C是AB的中点,CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行,点F是射线BE上的一个动点,连接AD、AF、DF.

(1)若点F的坐标为(9,1),AF

. 2

①求此抛物线的解析式;

②点P是此抛物线上一个动点,点Q在此抛物线的对称轴上,以点A、F、P、Q为顶

点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点Q的坐标;

(2)若2b?c??2,b??2?t,且AB的长为kt,其中t?0.如图2,当∠DAF=45°时,求k的值和∠DFA的正切值.

21、已知关于x的一元二次方程kx+(3k+1)x+2k+1=0. 2

(1)求证:该方程必有两个实数根.

(2)若该方程只有整数根,求k的整数值

(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,若二次函数y=(k+1)x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B(A在B左侧),并且满足OA=2·OB,求m的非负整数值.

22.

如图,在直角坐标系中,以点A

为圆心,以A与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E.

1(1)若抛物线y?x2?bx?c经过C,D两点,求抛物线的解析式,并判断点B3

是否在该抛物线上;

(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P,使得△PBD的周长最小;

(3)设Q为(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点M,使得以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?∠若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

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