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川青发〔2013〕3号Title

发布时间:2014-02-13 10:57:23  

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§3. 6 函数图形的描绘
用描点法作函数图形需要计算许多点, 才能画出较 精确的函数图形. 当我们对函数曲 线的性态有了全面了 解之后, 只需少数几 个点就能画出较精确 的函数图形.

?描绘函数图形的一般步骤 (1)确定函数的定义域? (2)求函数的一阶和二阶导数 , 求出一阶、二阶导数 为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点? (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性? (4)确定曲线的渐近性? (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标 轴的交点、其它点? (6)联结这些点画出函数的图形.

例1 画出函数y?x 3-x 2-x+1的图形. 解 (1)函数的定义域为(-?, +?). (2)f ?(x)?3x2-2x-1?(3x+1)(x-1), f ??(x)?6x-2?2(3x-1). 令f ?(x)?0得x?-1/3, 1? 令f ??(x) ?0得x?1/3. (3)曲线性态分析表?
x (-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +?) 0 0 f ? ( x) + + - - - 0 f ??(x) + + + - - - 32/27 16/27 0 f ( x) ↗∩ ↘ ∩ ↘∪ 极大 拐点 极小 ↗∪

(4)特殊点的函数值? f(0)?1, f(-1)?0, f(3/2)?5/8.

例1 画出函数y?x 3-x 2-x+1的图形. 解 曲线性态分析表?
x (-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +?) 32/27 16/27 0 f ( x) ↗∩ ↘ ∩ ↘∪ 极大 拐点 极小 ↗∪

特殊点的函数值? f(0)?1, f(-1)?0, f(3/2)?5/8. 描点联线画出图形.
1 32 (- , ) 3 27

y?x3-x2-x+1
1 16 3 5 ( , )( , ) 3 27 2 8

- 1 x2 1 例 例 22 . 作函数 f (x) ? e 2 的图形. 2? 解 (1)函数f(x)的定义域为(-?, +?), f(x)是偶函数, 图形关于y 轴对称.
2 x2 2 x2 ( x + 1 )( x 1 ) - 1x1 ( x + 1 )( x 1 ) - 1x1 x x 2 2 , , f ?? 2 2 . . ?( ?( (2) (2) fx )?- e e f(? )? f ?( )x ? x )x ? ee 2? 2? 2? 2? 令f ?(x)?0, 得x?0? 令f ??(x)?0, 得x?-1和x?1.

(3)曲线性态分析表?
x f ? ( x) f ??(x) y?f(x)的图形
1 2?

0 0 -

(0, 1) - -
1

1 - 0
2?e

(1, +?) - +

极大 ↘∩

拐点 ↘∪

(4)曲线有水平渐近线y?0.

- 1 x2 1 例 例 22 . 作函数 f (x) ? e 2 的图形. 2? 解 函数性态分析表?

x

0
1 2?

(0, 1)
1

1
2?e

(1, +?)

y?f(x)的图形

极大 ↘∩

拐点 ↘∪

y?0是曲线的水平渐近线. 先作出区间(0,+?)内的图形, 然后利用对称性作出区间 (-?, 0)内的图形.
0.5

1

例 例 33 . 作函数 y ?1+ 36x 2 的图形. (x + 3) 解 (1)函数的定义域为(-?, -3)?(-3, +?). 36(3- x) 72(x - 6) ? ? (2) f ?(x) ? , . f ( x ) ? 3 4 (x + 3) (x + 3) 令f ?(x)?0得x?3, 令f ??(x)?0得x?6. (3)曲线性态分析表?
x 3 6 (-?, -3) (-3, 3) (3, 6) (6, +?) f ? ( x) 0 - + - - - f ??(x) 0 - - - - + y?f(x)的图形 ?) ?) 4极大 ?) 11/3拐点 ?*

(4)曲线有铅直渐近线x?-3与水平渐近线y?1. (5)特殊点的函数值?

f(0)?1, f(-1)?-8, f(-9)?-8, f(-15)?-11/4.

例 例 33 . 作函数 y ?1+ 36x 2 的图形. (x + 3) 解 函数性态分析表?
x 3 6 (-?, -3) (-3, 3) (3, 6) (6, +?) y?f(x)的图形 ?) ?) 4极大 ?) 11/3拐点 ?*

铅直渐近线为x?-3, 水平渐近线为y?1. f(0)?1, f(-1)?-8, f(-9)?-8, f(-15)?-11/4.
x?-3 (3,4) 11 y?1 -15 -12 -9 -6
11 (-15,- ) 4

3 -3 3

(6,

3

)

-3

6

9 12

(-9,-8)

(-1,-8)


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