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圆复习课(1)

发布时间:2013-09-24 16:30:26  

圆复习课(1)

永安中学 何光荣

圆的对称性
? 圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴? 你是用什么方法解决上述问题的? ?圆是中心对称图形吗? 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少条对称轴? 你又是用什么方法解决这个 问题的?


圆的对称性
? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. ?圆也是中心对称图形.


O

它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个 问题. ?这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性

圆的相关概念
? 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. ?以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ?
?

B A

经过圆心弦叫做直径(如直径AC). ? 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半 m ⌒ 圆(如弧ABC).
C D



O

小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒(用 AB 两个字母).
?

⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
?

垂径定理
? AB是⊙O的一条弦. ? 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
?

做一做

下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A

M└


O

? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 图中有: ③AM=BM, ?由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, ② CD⊥AB

D

⌒ ⑤AD=BD.



垂径定理三种语言
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.

D

? 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.

垂径定理的推论
? 如图,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C

A

M└


B O
? ?

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

A

垂径定理及其推论
条件 ①② ①③ 结论 命题 ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

M└


B O

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤

D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.

③④
③⑤ ④⑤

①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①②③ 平分弦所对的两条弧

的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

练一练
1.在半径为30㎜的⊙O中,弦AB=36 ㎜,则O到AB的距离是= 24mm

A

P
O

B

2.已知:如图,在以O为圆心的两个同心 圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。 你认为AC和BD有什么关系?为什么? 证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 O ∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD A C E 注意:解决有关弦的问题,过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,也 是一种常用辅助线的添法.

.

D

B

挑战自我垂径定理的推论
? 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

挑战自我画一画
? 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A

作法:1.连结OM,
M ●O


B

2.过M作AB⊥OM, 则AB即为所求作的弦.

挑战自我填一填
? 1、判断:

驶向胜利 的彼岸

? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. ( ?) ? ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. (√ )

? ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(

?



? ⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (? )

? ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (√ )

垂径定理的应用
? 例1 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C ?解:连接OC.
E 注意闪烁 的三角形 的特点. F


O

设弯路的半径为Rm, 则OF ? ( R ? 90)m. ? OE ? CD, 1 1 D ? CF ? CD ? ? 600 ? 300 (m). 2 2 2 2 2 根据勾股定理, 得 OC ? CF ? OF ,即
2

R 2 ? 300 2 ? ?R ? 90 ? . 解这个方程, 得R ? 545 . ?这段弯路的半径约为 545m.

船能过拱桥吗
? 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗?
? 相信自己能独立 完成解答.

船能过拱桥吗
? 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5.

1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.
OA2 ? AD2 ? OD 2 , 即R 2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4) 2 .

2

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

解得 R=3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.9 2 ? 1.52 ? 3.6. ?DH ? 3.6 ?1.5 ? 2.1 ? 2. ∴

此货船能顺利通过这座拱桥.

垂径定理三角形
在a,d,r,h中,已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.

OA=r, OE=d, AB=a, DE=h
C

⑴d + h = r
O E A D B

a 2 ⑵ r ? d ?( ) 2
2 2

圆心角
? 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). ? 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). ? 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D

A


D′ O

A′

B

D A

D′ D B′ B

A′ A


B

B′



O

O

?

你能发现那些等量关系?说一说你的理由.

圆心角
? 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
? 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合. A′ B′ O B A D′
● ●

A A′
O′

B B′

● ●

O′ O

?

你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
? 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′

可推出

┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

拓展与深化
? 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: ? ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′

如由条件: ②AB=A′B′





可推出

┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′

③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

推论
? 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′

如由条件: ③AB=A′B′

可推出

┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′

②AB=A′B′ ④ OD=O′D′

⌒ ⌒

化心动为行动
AB ? 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案: ?(1)是轴对称图形但不是中心对称图形; ?(2)即是轴对称图形又是中心对称图形. ?3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
?

反思自我

?想一想,你的收获和困惑有 哪些?

?说出来,与同学们分享.

作业
? 86页,1,2,3,4


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