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四边形性质探索总复习(公开课)

发布时间:2013-10-04 11:58:43  

四 边 形 知识点 归纳
一般的平行四边形 菱 形 平行四边形 特 殊 的 矩 形 四 平行四边形 正方形 边 一般梯形 形 梯 形 等腰梯形 特殊梯形 直角梯形 一般四边形



四边形的从属关系

四边 形

正 方 形

等腰 梯形

直角 梯形

三、 平行四边形的判定

平 行 四 边 形 定义:两组对边都平行的四边形叫平行四边形。
判定: 1. 定义判定法。
2. 两组对边相等的四边形是平行四边形。
3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

A
B

O C

D

知识联系:1.平行线的性质与判定。2.全等三角形(四对)。
3. △ABO、△BCO、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO等面积。





定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

判定:
1. 一个角是直角+ 平行四边形=矩形 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3. 有三个角是直角的四边形是矩形。

A O B

D

C

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 知识联系:1. 等腰三角形 2. 直角三角形

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。




A
O

定义:一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 判定:1. 定义判定法:

B

D

一组邻边相等 + 平行四边形=菱形
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 C

3. 四条边都相等的四边形是菱形。
4、对角线互相平分且垂直 的四边形是菱形

知识联系:等腰三角形,4个直角三角形全等。







定义:一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形
= 正方形(又叫正四边形)。

判定:1. 定义判定法:
一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形 = 正方形 2. 一组邻边相等 + 矩形 = 正方形 或 对角线垂直 + 矩形 = 正方形

A O B

D

3. 一角为90°+ 菱形 = 正方形
或 对角线相等+ 菱形 = 正方形

C

知识联系:等腰直角三角形、对称全等

求解有关梯形类的题目,常需添加辅助线,把问题转化为三 角形或四边形来求解,添加辅助线一般有下列所示的几种情 况:

平移一腰

加双高

平移一对角线

过梯形一腰中点和 上底一端作直线

延长两腰

知识点检测
1、根据图形所具有的性质,在下列表中打上“?”或者“×”。
图形 性质

平行四边形

矩形 菱形 正方形

等腰梯形

对边平行且相等

对角相等
对角线互相平分 四条边相等 四个角相等 对角线相互垂直 对角线相等
对角线平分一组对角

? ? ? ?
? ? ? ? ?

轴对称图形

中心对称图形

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

一、判断题
1、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。(√ ) 2、两条对角线相等的四边形是

矩形。( X ) 3、两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形。( X )

4、两条对角线相等的菱形是正方形。( √ )
5、矩形的对角线互相垂直。( X ) 6、一组对边平行,且另一组对边相等的四边形 是等腰梯形。( X )

二、选择题
①下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( C )

A.等边三角形 B.平行四边形 C.菱形 D.等腰梯形 ②正方形具有而矩形不一定具有的特征是 ( D )
A.对角线互相平分 B.对角线相等 )

C.四个角都相等 D.对角线互相垂直 ③下列条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B
A.AB∥CD,AD=BC C.∠A=∠B, ∠C=∠D B.AB=CD,AD=BC D O D.AB=AD,CB=CD A ④ 一般梯形ABCD中,对角线AC与BD交于O, 则其中面积相等的三角形有 ( C) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 B

C

⑤菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于( D )

A、60°

B、90

C、120°

D、150° D


C

E B ⑥ 矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F是AC的三等分点,则 △BEF的面积是( A )

A

A、8

B、12

C、16

D、24 D
E A B C F

1、如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于

点O,已知AB=3cm,AC=5cm,则BC= 4 cm
△BOC的周长= 9 cm
A O B C D

2、矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60o,

则矩形的两邻边长分别是

4



4 3



A

你准行

O

D
C

B

3、如图,在菱形ABCD中,对角线AC、 BD相交于点O,已知AB=4cm,AC=6cm, 4cm 则BC=

△BOC的周长=

7 ?7


B

A
O

D

C

你准行

4、如图,在正方形ABCD中,对角线 AC、BD相交于点O,已知AB=4cm,则 4cm BC= △BOC的周长= 4 2 ? 4
A D

O B C

你准行

例1. ①如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作

DP∥OC,且 DP=OC,连结CP,试说明:四边形CODP的形状。
解:四边形CODP 是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC ∴ 四边形CODP是平行四边形 又∵在矩形 ABCD 中 CO= DO= AO=BO 即 CO=DO ∴四边形CODP是菱形

A
O

B
C P

D

②如果题目中的矩形变为菱形(图一),

结论应变为什么?
③如果题目中的矩形变为正方形(图二),结 论又应变为什么?
A B A O C B

O
D

P

D
P

C

图一

图二

例2.以△ABC的边AB、AC为边作等边△ABD

和等边△ ACE,若四边形ADFE是平行四边形.
① 当∠BAC等于 150° 时,四边形ADFE是矩形; 60° 时,平行四边形ADFE不存在;

② 当∠BAC等于

③ 当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形? ④ 是正方形?
解: ③ AB=AC时,平行四边形 ADFE时菱形.

F
D E A 60° 60° B C

④AB=AC且∠BAC=150°时,平行
四边形ADFE是正方形.

例3.已知E、F是□ ABCD对角线BD上的两点, 请你添加一个适当的条件:__________, 使四边形AECF是平行四边形.

A F E B

D

O
C

(1)若四边形ABCD是平行四边形,且BE=DF
求证:四边形AECF是平行四边形

A F E B

O C

D

(2)若四边形ABCD是菱形,那么四边 形AECF是什么形状?为什么?

A F E B

D

O
C

(3)若四边形ABCD是矩形,试判断四 边形AECF的形状。

简洁证明练习

☆找平行四边形

1、已知: ABCD中,直线MN//AC,分 别交DA延长线于M,DC延长线于N,AB 于P,BC于Q。 求证:PM=QN。
M A D

P

B

Q N

C

简洁证明练习

☆构造平行四边形

如图,在 ABCD中,E、F、G、H 分 别是各边上证明练习的点,且AE=CF, BG=DH。 求证:EF与GH互相平分。
D H A E B F G C

小试牛刀

1、已知:AD为△ABC的角平分线, DE∥AB ,在AB上截取BF=AE。 求证:EF=BD A
12
F E

3
B D C

小试牛刀

2、如图,AD、BC垂直相交于点O, AB∥CD,BC=8,AD=6,求AB+CD的长。
D C

O B
A

小试牛刀
3、如图,E是正方形ABCD的边BC延长 线上的点,且CE=AC。 (1)求∠ACE, ∠ CAE的度数; (2)若AB=4cm,你能求出?ACE的面积吗?
A D

B

C

E

小试牛刀
4、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 。 ∠B=60 ,AD=10,BC=18,求梯形ABCD的周长。
A D

B E

C

链接中考
□ABCD的周长为32cm, ∠ABC的角平分线交边AD
所在直线于点E,且AE:ED=3:2,

6cm或12cm 则AB=______________. A
A

D

E

3x

E 2x D

x 3x

2x

3x
B C
B

C

思考
1/如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC 上一个动点,点M、N分别是AB、BC边上的 中点,则MP+NP的最小值是( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
2

8.在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E、F. (1)求证:DE=DF. (2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方 形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另 外添加辅助线,无需证明)

如图平行四边形ABCD中,AB垂直AC,AB=1, BC= ,对角线AC、BD交于0点,将直线AC 绕点0顺时针旋转,分别交BC、AD于点E、F (1)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总相等

如图平行四边形ABCD中,AB垂直AC,AB=1, BC= ,对角线AC、BD交于0点,将直线 AC绕点0顺时针旋转,分别交BC、AD于点E、F (2)思考:当旋转角为 时,四边形ABEF 是平行四边形;

(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形 吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明 理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。

例4:已知,如图,矩形纸片长为8cm,宽为6cm, 把纸对 折使相对两顶点A,C重合,求折痕的长。 D 解: 设折痕为EF,连结AC,AE,CF, 若A,C两点重合,它们必关于EF对 F A 称,则EF是AC的中垂线 ,故 AF=FC,设AC与EF交于点O, O AF=FC=xcm 则FD=AD – AF=8 - x B 2 2 2 E ∵在Rt△CDF中,FC = FD + CD H 25 2 2 ∴ x 2 = (8 - x)+ 6 解得x= 4 25 7 ∴AF=FC= 4 ,FD=8 – x= 4 作FH⊥BC于H
2 2 在Rt△FEH中, EF = FH + EH 2 2

D

C

∴EF =6 + 答:折痕的长为7.5cm
2

2

( 25 4

7 4

) ∴EF=±7.5(负根舍去)

注:①解“翻折图形”问

题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对 称轴,会形成轴对称图形。 ②本题通过设未知数,然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方 法,是数学中常用的“方程思想”。


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