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特殊四边形复习课

发布时间:2013-10-10 10:37:41  

特殊四边形复习课

知识网络
1. 概念
矩 形

平行四边形
四边形

一角为直角且一组邻边相等

正方形

菱 形

等腰梯形

梯形
直角梯形

2. 四边形的从属关系

四边 形

正 方 形

等腰 梯形

直角 梯形

3.几种特殊四边形的性质 边
平 行 四边形
对边平行 且相等 对边平行 且相等







线

对称性

对角相等, 对角线互相平分 中心对称图形 邻角互补 轴对称图形、 对角线相等 四个角 矩 形 中心对称图形 都是直角 且互相平分 对角线互相垂直平分, 对边平行, 对角相等, 轴对称图形、 每条对角线平分一组 菱 形 四边都相等 邻角互补 中心对称图形 对角 对边平行, 四个角 正方形 四条边 都相等 都是直角 对角线互相垂直平 分且相等,每条对 角线平分一组对角 对角线相等 轴对称图形、 中心对称图形

等腰 梯形

一组对边 平行,另 一组对边 相等

同一底上 两角相等

轴对称图形

4.特殊四边形的常用判定方法
平 行 四边形
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形. (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)四条边都相等的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(1)一个角是直角且,一组邻边相等的平行四边形是正方形;





菱 形

正方形 等腰 梯形

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形; (3)有一个角是直角的菱形是正方形. (1)同一底上两角相等的梯形是等腰梯形. (2)对角线相等的梯形是等腰梯形.

5.例题选讲

(1)已知:AD∥BC,要使四边形ABCD为平行 四边形,需要增加条件是___________________. AB∥DC
或AD=BC、或∠A=∠C、或∠B=∠D 、 或∠A+∠D=180°、 或∠B+∠C=180°.

(2)若四边形ABCD为平行四边形,请补充条件 AB=BC、AC⊥BD 使得四边形ABCD为菱形.

(3)如图,矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O,∠AOB=2∠BOC, 若 对角线 AC=6cm,则你能求什么?
角? 边?周长?面积? A

A

B

O
D C D

(4)如图,菱形ABCD的边 长为8cm,∠BAD=120°, 你可以求什么?

O
B C

我想到: 菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半.
当矩形对角线夹角为60°时,以等边三角形为突破口; 我发现: 当菱形有一个内角为60°时,以等边三角形为突破口.

(5)如图,菱形ABCD的对 角线的长分

别为2和5,P是对 角线AC上任一点(点P不与点 A、C重合)且PE∥BC交AB 于E,PF∥CD交AD于F,则 阴影部分的面积是 2.5 .

我想到:
平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等.

(6)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点 O,过点D作DP∥OC,且 DP=OC,连结CP,试 判断四边形CODP的形状. 解:四边形CODP是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC,

A O

B C
P

∴ 四边形CODP是平行四边形. D
∵四边形ABCD是矩形 , ∴CO=DO. ∴四边形CODP是菱形 .

如图,矩形ABCD的对角线AC、 A BD交于点O,过点D作DP∥OC,且 DP=OC,连结CP,试判断四边形 D CODP的形状. P 如果题目中的矩形变为菱形(图一),结论应变为什么?

B

O
C

如果题目中的矩形变为正方形(图二),结论又应变为什么?

A O D C

B

A O

B

P
图一

D P
图二

C

(7)以△ABC的边AB、AC为边作等边△ABD和 等边△ ACE,四边形ADFE是平行四边形.
① 当∠BAC等于 150° 时,四边形ADFE是矩形; ② 当∠BAC等于 60° 时,平行四边形ADFE不存在;

③ 当△ABC分别满足什么条件时,平行四边形是菱形、正 方形.

F
解: ③ AB=AC时,平行四边形 ADFE时菱形.

D E A 60° 60° B C

AB=AC且∠BAC=150°时,平 行四边形ADFE是正方形.

(8)如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O,E是AC上的一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂 足M,AM交BD于点F.
①求证OE=OF; ②如图2所示,若点E在AC的延长线上,AM⊥EB的延长 线于点M,交DB的延长线于点F,其他条件都不变,则结 论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不 成立,请说明理由.

A
O F M B 图1

D

A O

D

E
M C C B E

F

图2

(9)已知△ABC中,D是AB的中点, E是AC上的点,且∠ABE=∠BAC, EF∥AB,DF∥BE,请猜想DF与AE 有怎样的特殊关系,并说明理由. A F D E B C

(10)已知BE、CF分别为△ABC中∠B、 ∠C的平分线,AM⊥BE于M,AN⊥CF 于N. 求证:MN∥BC. A
F
N B M Q C

E

R

(11)如图,在四边形ABCD中,AB=DC, BC=AD,点E、F在对角线AC上,试问:当 BE、DF满足什么条件时,EF与BD互相平 分?并说明理由. A D

E

F B C


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