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导数复习课

发布时间:2013-11-12 11:42:36  

导数及其应用复习

2013-11-12

(一)导数的概念:
1.导数的定义:对函数y=f(x),在点x=x0处给自变量
x以增量△x,函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 若极限 lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 存在,则此极限称为
?x ?0

?x

?x ? 0

?x

f(x)在点x=x0处的导数,记为f ’(x0) 或y’|

x ? x0



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2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为k=f ’(x0).所以曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 y?y0=f ’(x0)· (x-x0). 3.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t

的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数,
即v(t)=s’(t).
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基本初等函数的导数公式
(1)若f ( x) ? C (C为常数),则f ( x) ? 0
'

(2)若f(x) ? x , 则f (x) ? nx
n ' ' '

n ?1

(3)若f ( x) ? sin x, 则f ( x) ? cos x (4)若f ( x) ? cos x, 则f ( x) ? ? sin x (5)若f ( x) ? e , 则f ( x) ? e
x ' ' x

1 (6)若f ( x) ? ln x, 则f ( x) ? x
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x)?g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

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定理
一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有f’(x)>0,那么y=f(x)在这个区间 (a,b)内单调递增;

2) 如果恒有f’(x)<0,那么y=f(x)在这个区间 (a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

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o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x)为常数.

函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f’(x)>0, 在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如 果 a 是 f’(x)=0 的 一 个 根 , 并 且 在 a 的 左 侧 附 近 f’(x)<0,在a 右侧附近f’(x)>0,那么是f(a)是函数 f(x)的一个极小值.

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(五)函数的最大值与最小值:
1.存在性:在闭区间[a,b]上连续函数f(x) 在[a,b]上必有最大值与最小值. 2.求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭 区间[a,b]上最值求法: ① 求出f(x)在(a,b)内的极值;

② 将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其
中较大的一个是最大值,较小的一个是最小值

.
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例1.已经曲线C:y=x3-x+2和点A(1,2)。 求在点A处的切线方程?

解:因为f/(x)=3x2-1, 所以k= f/(1)=2 所以所求的切线方程为: y-2=2(x-1), 即 y=2x
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(2010成考题)[本小题满分13分] 设函数 ,曲线 y ? f (x) 在点p(1,a+4)处切 线的斜率为-3,求 (1)a的值; (2)函数 f (x) 在区间[1,8]的最大值与最小值。
4 f ( x) ? ax ? x

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(2009年成考题)[本小题满分12分]
4 2 设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3

(1)求曲线 y ? x 4 ? 2 x 2 ? 3在点(2,11)处的切线方程
(2)求函数f (x)的单调区间

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(2008年成考题)[本小题满分13分] 已知函数
f ( x) ? x ? 2 x

(1)函数 y ? f (x) 的单调区间,并指出它在单调区间 上是增函数还是减函数
(2)求函数 y ?
f (x) 在区间[0,4]上的最大值与最小值

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【函数的极值和最值问题】
例:已知函数 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? a .
3 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ) f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 20,求它在该 若 区间上的最小值.
解: (Ⅰ)f ? ? x ? ? ?3x2 ? 6x ? 9 .令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或

x ? 3 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? , ?3, ??? .
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例:已知函数 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? a .
3 2

(Ⅰ )求 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ )若 f ? x ? 在区间

??2, 2? 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
(Ⅱ)当 x ? ?2, 2 时

?

?

x
f ? ? x? f ? x?
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?2
-

? ?2, ?1?
-

?1

? ?1, 2?
+

2
+

0
极小

2?a

22 ? a

因为 f ? ?2? ? 2 ? a , f ? 2? ? 22 ? a ,所以 f ? 2? ? f ? ?2? .

因为在 ? ?1,3? 上 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?1, 2? 上单调递增, 又由于 f ? x ? 在 ? ?2, ?1? 上单调递减,因此 f ? 2 ? 和 f ? ?1? 分别 是 f ? x ? 在 区 间 ? ?2, 2? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有

22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2 .
故 f ? x ? ? ?x3 ? 3x2 ? 9x ? 2 ,因此 f ? ?1? ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 , 即函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最小值为 ?7 .

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