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成考圆锥曲线复习课

发布时间:2013-11-12 11:42:37  

圆锥曲线复习课

一、知识回顾
1、圆锥曲线的定义
椭圆: 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和等 于定值 2a(2a ? F1F2 ) 的点的轨迹。
PF1 ? PF2 ? 2a(2a ? F1F2 )

双曲线: 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值 等于定值 2a(0 ? 2a ? F1F2 ) 的点的轨迹。
PF1 ? PF2 ? 2a(0 ? 2a ? F1F2 )

抛物线: 平面内到定点F和定直线l ( F ? l ) 的距离相 等的点的轨迹。

PF ? d (d为P到l距离)

2、圆锥曲线的标准方程、性质

y

椭 圆
P
F2

y
F2

双曲 线
P
x
y
F1 o F2 x

图 形 标准 方程 范围

y F1

F1

O

x

O

F1

o
F2

x

2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 + 2 = 1 ? a > b > 0 ? x 2 ? y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? y2 ? x2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? b a a2 b a b a b

-a≤x≤a,-b≤y≤b
F1 ? ??c???0 ?、F2 ? c?,?0 ?
x轴、y轴、 原点对称

-a≤y≤a,-b≤x≤b
F1 ? 0?,???c ?、F2 ? 0?,?c ?
x轴、y轴、 原点对称

x ? ?a或x ? a

y ? ?a或y ? a

焦点
对称性 顶点 离心率

F1 ? ??c???0 ?、F2 ? c?,?0 ? F1 ? 0?,???c ?、F2 ? 0?,?c ?
x轴、y轴、 原点对称 x轴、y轴、 原点对称

(+a,0), (0,+b),

(0,+a), (+ b,0),

(+a,0)
e? c a

(0,+a)
e? c a

c e? a

c e? a

e范围
渐近线

0 ? e ?1


e ?1
y??



b y?? x a

a x b

抛物线
图像

l

y
o

y
x

l
o x

y

y
o

l
x

o

l

x

标准方程 范围 焦点 准线 对称性 离心率

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0) x 2 ? 2 py( p ? 0) x 2 ? ?2 py( p ? 0)

x?0
p ( , 0) 2

x?0
p (? , 0) 2

y?0
p (0, ) 2 p y?? 2

y?0
p (0, ? ) 2 p y? 2

p x?? 2

p x? 2

关于x轴

关于x轴 关于y轴 关于y轴

e ?1

1、求以椭圆 而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程

x y ? ?1 的焦点为顶点, 8 5

2

2

x2 y2 解:依据题意有 ? ? 1的焦点为 ? 3,。椭圆的顶点 0 8 5 为 ? 2 2, 和 0, 5 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上, 0 ?

?

?

?

? ?

?

x2 y2 所以双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ?则2a ? 2 3 , a b 2c ? 4 2 .所以a ? 3 , c ? 2 2 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 8 ? 3 ? 5 x2 y2 所以所求双曲线方程为 ? ?1 3 5

2、已知椭圆的离心率为 x ? y ? 1 的焦点相同,求椭圆的标 双曲线 4 准方程和准线方程
2 2

5 3 ,且该椭圆与

解;由已知可得椭圆的焦点为 F (? 5,0), F (5,0) 。
1 2

设椭圆的标准方程为 x ? y ? 1(a ? b ? 0) a b
2 2

2

2

,则

?a ? b ? 5, ? ? 5 5 ?a ? 3 , ?
2 2

解得

?a ? 3, ? ?b ? 2,

9 所以椭圆的标准方程为 x ? ? 5 5 x y ?1 椭圆的标准方程为 ?
2 2

9

4

x y 3、已知一个圆的圆心为双曲线 ? ? 1 的右焦点, 4 12 并且此圆过原点

2

2

(1)求该圆的方程;

(2)求直线 y ?

3x

被该圆截得的弦长

解;(1)由计算可知双曲线的右焦点坐标为(4,0) 所以圆心的坐标为(4,0) 因为圆过原点,所以圆的半径为4 圆的方程为 ( x ? 4) ? y ? 16
2 2

(2)将 y ? 3x 代入 ( x ? 4) ? y ? 16化简得4 x 2 ? 8 x ? 0
2 2

解得x=0或x=2
将 x=2 代入y ? 故弦长为

3x

得y=2

3

(2 ? 0) 2 ? (2 3 ? 1) 2 ? 4


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