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ch1_exercises

Chapter 1 Determinants

How to calculate determinants?
? 每行（列）之和为一个相同的值 ?爪型及可化为爪型的行列式 ?拆分成较简单的行列式再计算 ?高阶行列式展开时和它的低阶行列式有某种递推关系 ?利用已知结果的行列式（如范德蒙行列式）

Linear Algebra

1.Transform into upper(lower) triangular forms
1 ?1 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 D? 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 1 1

e.g.1 Evaluate
Method 1

x x c1 ? c2 ? c3 ? c4 x Solution：D x

?1 1 x ?1 ?1 x ? 1 ?1 x ?1 1 ?1 ?1 1 1

x ?1 0 0 ri ? r1 0 x i ? 2,3,4 0 0

1 x ?1 x ?1 x ?x 0 x r2 ? r3 ? 0 ?x 0 0 0 2? x 0 0
Linear Algebra

1 x ?1 0 ?x 3 ? x ( x ? 2) x ?x 0 2? x

Method 2
Solution：D

ri ? r1
i ? 2,3,4

1 ?1 0 0 0 x x?2 0

1 x ?1 x ?x 0 ?x 0 2? x

1 ?1 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 D? 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 1 1

c4 ? c3 ? c2 ? c1

1 ?1 0 0 0 x x?2 0

1 x 0 0

x 0 0 0

? (?1)

3?4 2

x 3 ( x ? 2) ? x 3 ( x ? 2)

Linear Algebra

e.g.2 Evaluate D n?1 ?

x a a a a x a a a a x a
1 2 1 1 2 2

3 3 3

? ? ? ? ?

a a a x

n n n

?
1

?
2

?
3

?
4

?

a a a a
n n i ?1 i ?1

? ( x ? ? a i )? ( x ? a i )

Linear Algebra

Solution:D n?1

c1 ? ci

x ? ?ai
i ?1 n

n

a a
1

2

? ? ?

a a a
?

n

i ? 2,? , n x ? ? a i
i ?1 n

x

a
2

2

n

x ? ?ai
i ?1

a
?

x ?

n

? x ? ?ai
i ?1 n

a a
2

3

?

x

Linear Algebra

a1 a 2 ? a n x a2 ? an n D n ?1 ? ( x ? ? a i ) 1 a 2 x ? a n . i ?1 ? ? ? ? ? 1
1

1 1

a2 a3 ?
a1
1 2 1

x
? ? ? an 0 0

a2
2

ri ? r1 i ? 2,? , n

0 ( x ? ?a i) 0
n i ?1

0 x ?a a ?a x ?a ? a 2 ? a1

? 0

? a3 ? a2 ?
n n

x

? ? an

Expanse it along column 1

? ( x ? ? a i )? ( x ? a i ).
i ?1 i ?1
Linear Algebra

2.Expanse them into lower-ordered determinants e.g.3 Evaluate
Method 1: If a=0,Dn=0;

Dn ?

a 0 ? 1 0 a ? 0 ? ? 1 0 ? a

,n ? 2

1 a 0 ? rn ? r1 0 a ? a If a≠0, Dn ? ?

1 0

? a n ? a n? 2

So D ? a n ? a n? 2 ; n

1 0 0 ? a? a
Linear Algebra

Method 2: Expanse it by row n or row 1 Method 3: According to the Definition

Linear Algebra

e.g.4

Calculate

y 0 x y ? ? ? ? 0 D? ? ? x y 0 x y ? 0
Linear Algebra

x 0

0 y x

Solution：Expanse it along column 1,we have ：

D? x x y x y ? ? x y x
? ( ?1) n ?1 y y x y x ? ? y x y

? x ? ( ?1)
n

n ?1

y

n
Linear Algebra

3.Methematical Induction or recursion 适用于Dn 和Dn-1及更低阶之间存在某种递推关系， 通过行列式展开