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中考试题中的分类讨论思想探析

发布时间:2013-10-13 13:35:05  

中考试题中的分类讨论思想探析

摘 要:数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中有这样的问题,中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题,有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧,做到举一反三,触类旁通;有助于培养学生学习数学的兴趣;有助于学生数学思维的发展,为学生今后的学习奠定坚实的基础。

关键词:分类思想 应用 兴趣

初中数学新课程实施以来,数学思想方法逐步引起重视。注重数学分类讨论思想在解题中的研究,对提高学生数学解题能力,培养学生数学的学习兴趣,提高学生的创新意识和实践能力,实现初中数学新课程的教学目标具有重要的现实意义。

一、数学分类讨论思想方法的定义、原则、方法及其引起的原因。 (1) 数学分类讨论思想方法的定义。

设符合一定条件的全体对象组成集合A,按对象的某一性质P,将A分成若干个真子集A1,A2,…,An,满足:Ai

是集合A的一个分类.( i= 1,2,…,n)要求集合A中的每一个对象划分后所属的Ai是唯一确定的.

有些问题一次分类仍不够,可对Ai(i=1,2,…, n)再进行分类;这就构成对 A的二级分类,依此类推,可以有三级分类,四级分类……

由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

(2) 数学分类讨论思想方法的原则。

由分类的定义可以知道,分类讨论时必须遵循如下原则. ①施行分类的集合的全域必须是确定的;

②每一次分类的标准必须是同一的;

③分类必须是完整的,不出现遗漏;

④各子集域必须是互斥的,不出现重复; ⑤如需多次分类,必须逐级进行,不得越级.

(3) 数学分类讨论思想方法的分类方法。

用分类讨论的思想解答数学问题,一般是按如下过程操作. ①明确讨论的对象,确定对象的全体;

②确定分类标准,正确进行分类;

③逐类进行讨论,获得阶段性的结果;

④归纳小结,综合出结论. (4) 数学分类讨论思想方法引起的原因。

有关分类讨论的数学问题:需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题,

引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种:

①涉及的数学概念是分类定义的;

②运用的数学定理、公式,或运算性质、法则是分类给出的; ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;

④数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果的;

⑤较复杂的或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的.

(5)数学分类讨论思想的基本形态。

(1)概念分段定义

像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.

(2)公式分段表达

在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论。

(3)实施某些运算引起分类讨论

在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.

(4)图形位置不确定

如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.

(5)图形的形状不同

当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.

(6)字母系数参与引起分类讨论

字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论.

(7)条件不唯一引起分类讨论

由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定, 位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.

二、探讨了分类讨论思想方法在初中数学解题中的运用:主要是在绝对值解题、应用题的方案、方程或者不等式解题、函数、概率统计、几何作图操作、几何图形运动、圆、代数式参数(字母系数)取值中的运用等等;

{1}分类讨论思想在代数类中的运用。

1、与数与式有关的分类讨论

①化简:|x-1|+|x-2|

②已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。

(1)求a的取值范围;

(2)试用a表示|α|+|β|。

③代数式abab的所有可能的值有( ) ??|a||b||ab|

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个

2、与方程有关的分类讨论

解方程:①(a-2)x=b-1

②试解关于x的方程(x?1)x?1?1

③关于x的方程k2x2?(2k?1)x?1?0有实数根,则k的取值范围是()

11

44

2④已知关于x的方程kx?2(k?4)x?(k?4)?0 A.k?4 B.k?或k?0 C.k< D. k≥ 14

(1)若方程有实数根,求k的取值范围

(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边b和c恰好是这个方程的两个根,求ΔABC的周长.

{2}分类讨论思想在函数部分中的运用。

1. 一次函数y?kx?b,当?3?x?1时,对应的y值为1?x?9,则kb

的值是( )。

A. 14 B. ?6 C. ?4或21 D. ?6或14

2. 设一次函数y=-ax+2a-1的图象不经过第一象限,求a的取值范

围。

13. 比较一次函数y1=2x与二次函数y2=x2的函数值y1与y2的大小。 224. 图9是二次函数y?(x?m)?k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).

(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;

(2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,

得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

【变式】就b的取值范围,讨论.直线y?x?b(b?1)与此图象有公共点的个数

{3}分类讨论思想在几何、解析几何中的运用、综合运用。

1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________

2、 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________.

3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.

4、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°

,这个等 图9

腰三角形的顶角是______度.

5、为美化环境,计划在某小区内用30m2的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

6、如图,在网格图中找格点M,使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.

6、在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(-2,2),试在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,求符合条件的点P的坐标

A

7、 如图,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连接OA,若在直线a上存在点P,使

△AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是

a

x

8、 直角坐标系中,已知点P(-2,-1),点T(t,0)是x轴上

的一个动点.

(1) 求点P关于原点的对称点P?的坐标;(2)当t取何值时,△P?TO

是等腰三角形?

{4}分类讨论思想在圆中的运用。

圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.

考点1 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论

1. 已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的

半径.

由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论

1. A、B是⊙O上的两点,且∠AOB=136o,C是⊙O上不与A、B

重合的任意一点,则∠ACB的度数是___________.

考点2 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

1. 已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,

求下水道中水的最大深度.

考点3 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论

1. ⊙O的直径AB=2,过点A有两条弦AC=2,AD=,求∠CAD

的度数.

考点4 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论

1. 已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为(3,-3),当

该圆向上平移 个单位时,它与x轴相切.

42. 如图,直线y??x?4与x轴,y轴分别交于点M,N 3(1)求M,N两点的坐标;

12(2)如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,为半径的圆与直54线y??x?4相切,求点P的坐标. 3

考点5 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论

1. 已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3 cm,⊙O2的半径为2 cm,

则O1O2的长是cm .

2. 如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A

的半径为1,⊙B的半径为2,将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后,⊙A与⊙B相切.

3. 如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),

半径为5,如果两圆内含,那么a的取值范围是_________.

4. 在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐

标为(0,4),直线CM∥x轴(如图7所示).点B与点A关于原点对称,直线y?x?b(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.

(1)求b的值和点D的坐标;

(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切,求⊙O的半径.

x b

{5}与直角三角形有关的分类讨论

1. 已知点M(0,1),N(0,3),在直线y=2x+4上找一点P使△

MPN为直角三角形,求点P的坐标.

2. 如图,已知抛物线C1:y?a?x?2?2?5的顶点为P,与x轴相交于

A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.

(1)求P点坐标及a的值;

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、

M关于点B成中心对称时,求C3的关系式;(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.

{6}与相似三角形有关的分类讨论

考点6 对应边不确定

1. 如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm..某一时刻,动

点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:是否存在时刻t,使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

D

考点7 对应角不确定

1. 如图1,∠A=500,∠B=600,一直线l与△ABC的边AC、AB边

相交于点D、E两点,当∠ADE为________度时,△ABC与△ADE相似. E

B C

图1

考点8 图形的位置不确定

1. 在平面直角坐标系中,已知点P(-2,-1). 过P作y轴的垂线

PA,垂足为A.

点T为坐标轴上的一点.若以P,O,T 为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?

【变式】 若点T在第四象限,请写出点T的坐标

.

2. 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,

过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改

变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.图1

F C

图4(备用)

图5(备用)

D

F C

M

F C

图2

F C M

图3

D N

F C

三、分类讨论的思想解题的基本步骤。

然后对分类讨论思想方法在解题中的运用方法进行归纳;最后探讨了根据数学分类讨论思想解题的一般步骤、解题的类型、解题的基本原则等。

运用分类讨论的思想解题的基本步骤 1、确定讨论对象和确定研究的区域;

2、对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级)

3、逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决;

用数学分类讨论思想方法解题应遵循同一性原则、相称性原则、互斥性原则、及层次性原则;在运用数学分类讨论方法审题时,往往根据条件或结论进行先综合后分析,或先分析后综合的形式,反复理解题目的条件,在分析过程中必须考虑到对称性、假设性、连续性、延续性,灵活运用所需的知识进行分析问题,最终达到化整为零的目的。

四、分类讨论思想方法在初中数学解题教学中的渗透。

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到

这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。

一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:;其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题 。

分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单,解题思路非常的清晰,步骤非常的明了。另一方面在讨论当中,可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材,教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法,结合其它数学思想方法的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。相信会使

学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。

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