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对中考动点问题思考与探究(石排中学 邓沛森)

发布时间:2013-10-20 11:40:55  

对中考动点问题思考与探究

石排中学 邓沛森

【摘要】 动点运动题是近年来的一个较为热点中考问题,这类题型不仅涉及知识点多,而且能将代数知识和几何知识紧密结合,教师在初三复习教学过程中,应注重以数学思想促进学生的思维发展,不仅让学生熟练掌握等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、三角函数、线段成比例、二次函数、或面积等基本知识和基本技能,教学中应该由浅到深,先易后难,通过变式教学,让学生紧紧抓住题目中的动与静的问题,动中取静,动态问题静态化,让考题复杂问题简单化,促进高效课堂,逐步培养学生解题能力,从而大大提高学生的学习兴趣。

【关键词】 中考动点问题 动中取静 变式教学 探究

动点运动问题是近年来的一个较为热点中考问题,这类题型不仅涉及知识点多,而且能将代数知识和几何知识紧密结合,而且很多时个作为压轴题,这样考查了学生的基本运算能力、又考察了学生的思维能力和空间想象能力,综合地体现了中考数学对学生的素质要求。近几年考查动点运动中的特殊知识点:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、三角函数、线段成比例、二次函数、或面积、最值等问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,教师在复习与教学过种中,需要应从易到难、从浅到深,通过变式教学,促进高效课堂,逐步培养学生解题能力,从而大大提高学生的学习兴趣。

1.探究中考动点问题的有效方法

1.1解中考动点问题方法与策略

(1)动中取静。一般方法是抓住题目中的变化中的“不变量”,以不变应万变,动态问题静态化,根据题意理清题目中变化量与常量的关系。

(2)确定数量关系。按照代数或图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。

(3)从易到难、变式教学。教师中考复习时,应从易到难、从浅到深;教师通过变式教学,让复杂的问题简单化。

(4)增强学生信心。积极鼓励学生迎难而上,有克服困难的态度与决心。

例1.1(2010 四川成都)如图,在△ABC中,∠B=900,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过_____________秒,四边形APQC的面积最小.

分析:探究本题的有效方法:

(1)在题目上标箭头,这一步骤非常重要,让学明确方向感。(如图2)

(2)设定运动时间t, AP=2t,BQ=4t,PB=12-2t,让“动“点变为“静”的式子。(如图3)

(3)数量关系:四边形APQC的面积=△ABC的面积—△PBQ的面积

1

小结:考生对于这类问题通常摸不着头脑的,不知道用什么方法进行解决,为了应对中考动点运动问题,关键是教师在平时教学时教会学生基本方法,当学生掌握了基本方法后,才能对这类问题进行分析、解决,本题是抓住用字母t来表示“动点”的式,再利用“不变量”的三角形面积=(底X高)/2进行求解。

1.2通过变式教学,化难为简,促进高效课堂

针对这道动点的运动问题,中考的原题都较难,很多学生一看到这样的问题就会没有信心,教师在常规教学中,可能将本题目进行改编,通过此改编问题,通过变式教学,让学生更容易掌握。 例1.2如图,在△ABC中,∠B=900,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,(1)那么经过几秒后,四边形APQC的面积最小? 改编问题:

(1)那么经过几秒后, PQ∥AC?

(2)那么经过几秒后,△BPQ与△BAC相似,(分类讨论(1)△BPQ∽

△BAC(2)△BQP∽△BAC)

(3)那么经过几秒后,△BPQ是等腰三角形

(4)那么经过几秒后,△BPQ的面是△BAC面积的一半

小结:通过简单的问题改编和变式训练,让学生掌握了勾股定理、线

段成比例、相似三角形,直角三角形、二次函数和面积等知识,这些基本知识在动点运动中常考,这样比直接用中考动点原题好,让学生更容易掌握、提高了学生学习的兴趣、有利于对后续的教学。

2.中考动点问题分类探究

动点运动题有很多,分类也很多,

2.1动点在三角形上运动

解中考动点问题通常利用方程、直角坐标系、勾股定理、三角函数,一次函数,二次函数等数量关系的知识点来进行解决问题。

例2.1.1、如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<10)秒.解答如下3

问题:

(1)当t为何值时,PQ∥BO?

(2)设△AQP的面积为S,

①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;

②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2

﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.

考点:虽然本题是点的坐标问题,其实是动点在三角形上运动问题,利

用平行线分线段成比例,二次函数的最值,勾股定理等定理的性质。

(分析1):(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理(也可以看成平行得到两个三角形相似,从而得到对应线段成比例),列线段比例式APAQ?(这比例式就是“动”ABAO

点中的“静”),求出t的值。

解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8。

2

∴AB?OB2?OA2?62?82?10。

如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO,∴

∴当t=APAQ10?3t2t20??,解得t=,即。 ABAO1051120秒时,PQ∥BO。 11

(分析2):

求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由△APD∽△ABO得APPD?求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系ABOB

式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

(解答2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.

①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。 ∴9APPD10?3tPD??,即,解得PD=6﹣t。∴5ABOB106

2119?99?5??S?AQ?PD??2t??6?t???t2?6t???t???5。 225?55?3??

109?5?∴S与t之间的函数关系式为:S=??t???5(0<t<)。 35?3?

∴当t=25秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位)。 3

(分析3):②求出点P、Q的坐标:当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解。

(解答3):②如图②所示,当S取最大值时,t=

∴PD=6﹣5, 391t=3,∴PD=BO。 52

1OA=4。∴P(4,3)。 2又PD∥BO,∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=

又AQ=2t=101414,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0)。 333

142依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3). 33

2∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3)。 3

小结:本题中,第(1)小问也可以改为△APD与△ABO相似三角形,把相似三角形的两组对应边成比例进行分类讨论,难度将什加大,这也是中考动点常考之一。动点问题,应用知识点比较比较推广:直角坐标系、勾股定理、相似、成比例线段、一次函数、二次函数、等相关知识,所以教师在常规教学过程中,注意把这些知识点浸透中考复习中,或作为重点来抓,这样为解决中考动点问题提供帮助。

3

2.2动点在四边形上运动

动点在四边形上运动是常考的题型之一,尤其在动点运动过程中如何得到平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等图形。因为动点与四边形相结合的考题难度适中、应用知识面比较广,所以中考动点问题在四边形上运动是重点之一。

例2.2.1 如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B 出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.

(1)求AB的长;

(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;

(3)探究:在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?

请说明理由.

考点:等腰梯形、二次函数的最值、菱形、解直角三角形的性质。

分析:(1)作AE⊥BC,根据题意可知BE的长度,然后,根据∠B的正弦值,即可推出AB的长度;

(2)作QF⊥BC,根据题意推出BP=CQ,推出CP关于x的表达式,然后,根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式,即可推出面积关于x的二次函数式,最后根据二次函数的最值即可推出x的值;

(3)首先假设存在M点,然后根据菱形的性质推出,∠B=∠

APB=∠BAP=45°,这是不符合三角形内角和定理的,所以假

设是错误的,故AB上不存在M点.

解答:解:(1)作AE⊥BC,

∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,

∴BE=(BC﹣AD)÷2=2.5,

52∵∠B=45°,∴AB, 2

(2)作QF⊥BC,∵等腰梯形ABCD,

∴∠B=∠C=45°,

∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同,BP=x,

∴BP=CQ=x,∵BC=9,

∴CP=9﹣x,QF2x, 2

21 22设△PQC的面积为y,∴y=(9﹣x)?即y=-2292b9xx,∴当x=﹣时,y的值最大, 442a2

9∴当x=时,△PQC的面积最大, 2

(3)假设AB上存在点M,使得四边形PCQM为菱形,

∵等腰梯形ABCD,∠B=∠C=45°,

∴CQ=CP=BP=MP,∠B=∠C=∠MPB=45°,

∴∠BMP=45°,∵∠B=∠APB=∠BMP=45°,不符合三角形内角和定理,

∴假设不存在,∴边AB上不存在点M,使得四边形PCQM为菱形.

小结:动点与四边形相结合的中考压轴题较为常考,尤其与平行四边形、矩形、菱形、正方形、

梯形相结合的考题较多;本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和

定理、菱形的性质,关键在于根据图形画出相应的辅助线,熟练掌握相关的性质定理即可,本题的“动”是四边形的变化,“静”是产生平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形熟悉的图形.

4

2.3动点与圆相结合

圆在初中中考是一个难点,如果圆与动点运动相结合,那大大增加难度,但只要以圆为载体,利用圆的有关性质,一般会与圆的切线、相似三角形、周长、面积相结合,熟练掌握圆的知识,很多问题化难为简。

例2.3.1 (2011广西崇左)如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.

(1)求证:△ODM∽△MCN;

(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);

(3)在点O的运动过程中,设△CMN的周长为P,试用

含x的代数式表示P,你能发现怎样的结论?

考点:切线的性质;二次函数综合题;勾股定理;正方形的

性质;相似三角形的判定与性质.

分析:(1)依题意可得∠OMC=∠MNC,然后可证得△ODM

∽△MCN.

(2)设DM=x,OA=OM=R,OD=AD﹣OA=8﹣R,根据

勾股定理求出OA的值.

(3)由1可求证△ODM∽△MCN,利用线段比求出CN,MN的值.然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN,把各个线段消去代入可求出周长.

解答:

(1)∵MN切⊙O于点M,∴∠OMN=90°;

∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

∴∠OMD=∠MNC;又∵∠D=∠C=90°;

∴△ODM∽△MCN,

(2)在Rt△ODM中,DM=x,设OA=OM=R;

∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,

∴64﹣16R+R2+x2=R2, x2?64OA?R?(0?x?8)16∴;

(3)∵CM=CD﹣DM=8﹣x, x2?6464?x2

?又OD?8?R?8?, x?816

且有△ODM∽△MCN, ∴MCCN16x?,∴代入得到CN?; ODDMx?8

MCMNx2?64?同理,∴代入得到MN?; ODOMx?8

16xx2?64?∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=(8?x)?=(8﹣x)+(x+8)=16. x?8x?8

所以,在点O的运动过程中,△CMN的周长P始终为16,是一个定值.

5

点评:本题考查的是相似三角形的判定,正方形的判定,勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识,当动点与圆相结合时,那中考的压轴题便大大地增加了难度,本题的“动”点中的“静”点就是直线与圆相切时,利用圆心到切线的距离等于半径。

小结:处理与圆相切有关问题时常用的方法

(1)直线与圆的相切的:利用圆心到切线的距离等于半径,立方程.

(2)解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.

(3)解题需要利用勾股定理、三角形相似知识来解决

2.4动点在二次函数抛物线上运动

二次函数一般会放在中考的压轴题,难度较大,但是与动点相结合,会与平行四边形、矩形、

菱形等相结合,也与面积的最值建立联系。关键是抓住几何、函数的性质特征。

例2.4.1 (2012湖北孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大

值和此时点P的坐标;

(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为 时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为 __________ 时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).

考点:二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,平行

四边形的判定,等腰梯形的判定,相似三角形的判定和性质勾股定理,解一元二次方程。

分析:(1)将抛物线的解析式设为交点式,可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式,将

其化为顶点式即可求得顶点D的坐标。

(2)求出直线BD的解析式,设定点P的坐标,由S四边形PMAC?S?OAC?S梯形OMPC列式,根据

二次函数最值原理,即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标。

(3)①如图,四边形PQAC是平行四边形时,

∵CP∥x轴,点P在抛物线上,

∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。

∵C(0,3),∴P(2,3)。

②如图,四边形PQAC是等腰梯形时,设P(m, ?m?2m?3),

过点P作PH⊥x轴于点H,则H(m,0)。

易得△ACO∽△QNP,∴ 2QHPH?。 AOOC

2∵OA=1,OC=3,HP=?m?2m?3,

6

122QH?m2?2m?3∴,即QH??m?m?1。 ?3313

∴AQ=AO+OH-QH=m?又由勾股定理得,1321121m。∴AQ2??m4?m3?m2。 3999

CP2?m2?3??m2?2m?3????2?m2?m4?4m3?4m2?m4?4m3?5m2。

由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP,即AQ2=CP2, ∴14231211m?m?m?m4?4m3?5m2,整理得4m2?19m?22?0,解得m=2或m=。 9994

111115时,CP与AQ不平行,符合条件。∴P(,)。 4416当m=2时,由①知CP∥AQ,四边形PQAC是平行四边形,不符合条件,舍去。 当m=

小结:二次函数作为压轴题是常见的中考问题之一,本题第三小问是考查等腰梯形的知识点,动点与抛物线相结合时,也时常与等腰三角形、直角三角形等相结合,要解决动点与抛物线的问题,抓住了其关键的知识,很多问题都化难为简,很容易解决。

3.总结

动点运动中考题是中考的难点之一,除动点运动外,还有线动、面动,本论文只讨论中考中常见动点运动问题的几种常见情况。教师在初三复习教学过程中,应注重以数学思想促进学生的思维发展,不仅让学生熟练掌握等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、三角函数、线段成比例、二次函数、或面积等基本知识和基本技能,教学中应该由浅到深,先易后难,让学生抓住题目中的动与静的问题,动中取静,动态问题静态化,通过变式教学让考题复杂问题简单化,促进高效课堂,同时需要积极鼓励学生克服困难的决心,使数学教学在情感、态度、价值观发挥积极的作用。

【参考文献】

[1]《全日制义务教育数学课程标准》北京师范大学出版社

[2]《数学(九年级)下 》人民教育出版社。2009

[3]何小亚著《数学学与教的心理学》.华南师范大学数学系,2001.12.18

[4]《初中数学教与学》杨州大学2010年第12期

[5]《中学数学研究》 华南师范大学数学科学学院

[6]《数学中考专题突破》2013广东人民出版社

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