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为理解而教+东莞中学松山湖学校+潘创平

发布时间:2013-10-20 11:40:57  

为理解而教

——对数学学习中的“懂而不会”现象的调查反思

东莞中学松山湖学校 潘创平

【摘要】

在数学学习中“懂而不会”现象的形成原因的调查研究,进而寻求消除或减少这种现象的策略.

【关键词】 “懂而不会”现象;数学理解;数学学习

1 问题的提出

学生反映:“上课听老师讲解题目思路还是清楚,也全听懂了,但轮到自己来解题,就没有思路了.”家长疑惑:“孩子在课堂上能听得懂,但是课后自己做,就做不来了.”老师抱怨:“平时能听懂,也会做.考试就是不会.”这里反映了学生数学学习中的一种常遇现象——“懂而不会”现象.

针对这一现象,笔者在专门在本校高中生进行了关于数学学习的“懂而不会”的调查,有约90%的同学在数学学习中有“能听懂课,却不会解题”的烦恼,他们对课堂教师讲授的例题有一定的了解或理解,知道或掌握了一些数学技能,但是在当时或过一段时间却不会解相关的数学题.所以他们会对数学学习感到困难、存在障碍已经成为一个普遍性的问题.

2 “懂而不会”现象的透析

通过调查可以发现,学生在数学学习中遇到的“懂而不会”的原因是多方面的,有知识性的、能力性的、心理性的、环境性的等等.其中,图形障碍(图象语言与数学语言的转换)和数学思维能力欠缺(定理多,不知道怎么使用定理)成为了学习的主要障碍(表1).

表1 你觉得数学的学习难在哪些方面(此题为多选题)

概念理解不够 公式多,记不住 经常不知道怎么使用定理 对数学思想方法的困惑 其他原因

人数 228 232 218 100 100

百分比 47.9 48.7 45.8 21.1 21.1

有效百分比 47.9 48.7 45.8 21.1 21.1

累计百分比

47.9 48.7 45.8 21.1 21.1

2.1懂概念,不会理解应用

理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键.但由于部分教师的教学原因或学生的学习习惯,学生对基本概念的理解仅仅停留在机械的识记上,不注意概念的内涵和外延以及易混概念间的区别和联系.

【案例2-1】

在等差数列这一节的小测中,有这么三道题目.

题目1.等差数列{an}中,a1?1,a2?4,求数列?an?的通项公式;

1

题目 2.数列{an}a1?2,a2?5an?2?an?1?an?1?an(n?N*).,求数列?an?的通项公式; 题目 3.数列{an}a1?3,a2?6an?m?an?an?an?m(n?m,n,m?N?).,求数列?an?的通项公式. 笔者所在的班级测试结果显示:第一题正确率有92%,而第二道题正确率只有62%,第三题正确率只有36%,为了了解学生情况,我和学生进行了谈话. 师:等差数列通项公式是什么? 生众:an?a1?(n?1)d(n?N*).

师:知道什么是等差数列? 生众:知道,(学生把等差数列定义复述了一遍). 师:能用自己的话把它表达出来吗? 生甲:茫然.

生乙:?an?2?an?1?an?1?an???a2?a1?d.

生丙:在数列中,任何间隔相同的的两项的差是一样的,就是等差数列.

分析:在这个案例里,学生对等差数列这一定义的“懂”有不同层次:像学生甲这类的,只是记住了它的定义;像学生乙这类的,虽然有理解,但只是浮于表面.只有向学生丙这类,才是对这一定义有深入的理解,真正的懂了.懂的层次不同,学生会的题目就必然有所差别,出现上面的结果也就不足为奇了.

在平时的学习中,学生没有养成总结数列的常见题型及对应的解题策略的习惯,解题时往往是随心所欲,毫无章法,不能对题目进行合理的分析和转化,这就需要教师指导学生平时注意总结各种交汇的题型的处理方法,掌握常见的解题技巧,达到“以不变应万变”.

2.2懂思路,不会应用核心公式解题

学习方法是否合适,学习习惯是好是坏直接影响到学生数学学习的成绩和持续发展的能力.许多学生到了高二,还不知道高中的数学课该怎么上,哪些地方是听,哪些地方需要动笔运算等等,这些问题严重的阻碍着这些同学数学成绩的提高.

完全能理解 基本理解 较难理解 几乎不理解

人数 20 112 76 30

百分比 8.4 47.06 31.93 12.61

有效百分比

8.4 47.06 31.93 12.61

累计百分比

8.4 47.06 31.93 12.61

教师要求同学们从不同的角度思考,利用多种不同的解法解题.同学们先是独立思考,之后开

始分组讨论.有的组在分配研究任务;有的组开始小声讨论,有的组在倾听某位同学的发言.教师

2

各组巡视,听取不同的思路,教师发现,学生A和学生B很快就得出了结果,他们的解法如下:

这两位同学解答的结果虽然正确,但过程都是错误的,且具有一定的典型性和代表性.针对这种情况,教师首先肯定了两位同学的解法,由同学们分析两位同学错误原因,通过同学们讨论得出他们犯了偷换题设的错误,其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位.

造成这种理解障碍的原因是他们忘记了初中学的“比和比例的性质”,导致了一种完全错误的推导过程.这种理解障碍不但会发生在后进生身上,而且也会发生在一些数学基础比较好的学生身上.

2.3懂知识块,不会综合运用

笔者在教学实践中经过大量的观察和分析,发现学生在理解基本数学概念时,这类障碍经常发生,而且在后进生当中比较常见.在问卷调查中,当学生被问到“通常在学完一节数列的新课时,你感觉对所学知识的理解情况如何?”38.5%的学生感觉自己 “理解得较好,且能初步运用有关知识”,有52.1%的学生认为“有时能理解,有时理解不好,可以模仿应用”,有2%左右的学生认为“很少理解”.说明有一半的学生在学完一节新课后只能达到“模仿”水平.调查还发现有58.2%的学生记忆数列的概念、公式是靠死记硬背,没有真正领悟其中的含义,造成解题时只能硬套题型,无法灵活解答.

39,S3?,则a1=____________. 22

3 此题有52.9%的学生只写了一个答案,11.4%的学生只写了另一个答案6,两个答案都没做到2【案例2-3】已知等比数列?an?中,a3?

的有6.8%,还有2.3%的学生没做.学生对等比数列求和公式没有形成正确的表象,没有理解求和公式中为什么要对q进行分类讨论.事实上,如果学生能理解等比数列求和公式的推导过程,就知道求和时为什么要对q进行讨论了.

3寻找对策,筑建思维之峰

希尔伯特曾说过,理解一种理论的最好办法是找到,然后研究该理论的一个样板实例,一个能说明一切的典型例子.许多学生,甚至是好学生的最大缺陷是,虽然他们可滔滔不绝地叙述定理,能记住正确的证明,但是他们却不能举出例子,不会造出反例,不能解决实际问题.

教师“理解数学”的目的是让学生“理解数学”,这也是教学的主要任务,让学生“理解数学”主要是通过课堂教学来完成,而进行课堂教学的基础是教学设计,所以我们的教学设计应在分析概 3

念的核心基础上,提出教学的重点;根据教学要点和学生的思维发展需要,提出现阶段要达成的目标;分析达成目标已经具备的条件和需要哪些新条件,从而做出教学问题诊断.

从教学实践来看,教师掌握学生由思维障碍导致“懂而不会”的反馈信息,在教学中对思维给以有效的引导与控制,是防止“懂而不会”再次发生的有效措施.

让学生学会学习是我们教学的主要目的,学会学习的的一个重要标志就是学生学会了反思性学习.学生只要发现了自己在各方面存在的问题,就是在反思的进程上迈出了一大步,不仅为反思提供了很大的动力,也为反思提供了核心内容,然后学生根据自己对问题的理解,做出自己的思维判断.只有这样不断反思,才能在解决问题中有所突破,有创造性.

3.1理解数学是进行课堂教学的前提

课程标准中明确:学生是学习的主体,在积极参与学习活动的过程中不断得到发展.学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲,积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等,都是学习数学的主要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.学生获得知识,必须建立在自己思考的基础上,可以通过接受学习的方式,也可以通过自主探索等方式.学生应用知识并逐步形成技能,离不开自己实践,学生在获得知识技能的过程中,只有亲身参与教师精心设计的教学活动,才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展.

教师教学应该从学生的认知和发展水平和已有的经验为基础,考虑学生的年龄特征、认知差异及思维发展水平.设计有效的建构活动,选择设计有层次的例题、练习题.

【案例3-1】在圆锥曲线复习课上,我给出了一道练习:已知两个定点A(?2,0)、B(2,0),若动点P满足?PB?4,则P的轨迹是________________.

题目给出后,出乎我的意料,很多同学脱口而出:“是双曲线!”随后有个基础比较好的同学快速补充道:“是双曲线的一支!”我微笑不语.终于有个同学最先反应过来:“不对,是一条直线!”此言一出,大多数同学似乎恍然大悟.我微微点了点头,提高声音问道:“同学们说,是一条直线,对吗?”经过这一问,学生马上又安静下来了,经过这样反复几次,最后终于有个学生说出了正确的答案:“是一条射线!”

在“深入探究”阶段,学生要想方设法对假设和方案进行逻辑推理、合理论证,支持或推翻假设或方案.教师要组织学生进行必要的讨论和交流,开拓学生的思维空间,调控探究过程,当大多数学生探究有困难时,抓住关键障碍处进行适当点拨.

3.2理解学生,理解教学

4

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与老师教的统一.学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者、合作者.数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维,要注意培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法.教学中注重结合具体的学习内容,设计有效的探究活动,使学生经历数学发生发展的过程,是学生积累活动经验的重要途径.

表3 数学学习过程中是否获得过成就感

经常有 偶尔有 基本没有

人数 99 278 19

百分比 有效百分比 25 70.2 4.8

25 70.2 4.8

累计百分比

25 70.2 4.8

有研究表明,教师可以从教学活动、学习的评价和师生心理交流三个方面让学生获得数学学习成功的体验.除此之外,个人认为,教师对教材的操控上也是很有帮助的.特别是在对文科生的教学中,教师就一定要把握好起点、难度和深度.这很有利于提高学生体验数学成就感的概率,而且现在高考对文科数学的要求也比理科低很多.

【案例3-2】例如,在讲解二次函数在给定区间上求最值的问题时,可以这样设计: 师:请问二次函数y?x2?2x?3的开口方向如何? 生:开口向上.(学生回答的非常整齐,也很大声) 师:那它的顶点坐标呢?

生:(1,2).(已经有部分同学不回答了,因为忘记了.刚好教师在此复习) 师:顶点坐标有两种求法,一是配方法:y?(x?1)?2,二

2

b4ac?b2

,是公式法:(?).(哦,学生恍然大悟) 2a4a

师:那么这个函数有最小值,还是最大值?是多少呢? 生:有最小值2.(学生很兴奋)

师:请大家画出它的图像.(因为有了顶点,对称轴,学生都能比较快的画出图像.)

师:请大家观察图像,如果我现在给定区间[2,3],它的最小值还是2吗?最大值又是多少呢? 因为有了图像,学生对于这个问题都能较好的回答出.此时,老师再提出:如果我给的区间是[a,a+1]呢?结合几何画板,移动区间让学生观察,学生也能较好的接受和理解了.最后,老师再总结:

5

师:我们能很好解决这个问题,什么作用最大呀?

生:图像.

师:对,图像!也就是数形结合的思想.同学们以后解题的时候也要注意,如果能够画出图像,我们都尽量作出图像,它能很好的帮助我们理解和解决数学问题.

对于这个问题的设计,符合了学生的认知水平,起点较低,坡度也较小,学生一直参与其中,有自己的数学思考和数学体验.同时在最后指出了数形结合的思想,让学生的思维从数学题目上升到了数学思想,很好的带动了学生的数学学习.

4 结束语

在新课改背景下, 数学教学呈现多样化趋势, 但数学解题始终是一个不变的指标.教师的职责不仅是教会学生解题的步骤, 更要让学生明白为什么要这样解.从明白“ 是什么” ( “ 懂” ) 到理解“ 为什么”(“会”) 的过程, 就是一个从意义建构到能力生成的过程. 一道数学题变换条件可以变成很多新题, 但万变不离其宗.教师只有理解数学,才能准确确定教学目标;只有理解学生,才能设计好有层次的例题习题;只有理解教学,才会处理好教师的教与学生的学的统一,才能有效做到“以学生发展为本”.

对数学学习中的“懂而不会”现象的调查

附录1

本卷共有40道题,请仔细阅读每一道题,然后根据自己的实际情况填写,或者你还有其他想法,请在我要补充项中写上自己的观点.

一、教师方面

1.上课时,数学老师对一些数学问题的分析和解释,我经常没办法理解,听不懂. ( )

2.老师很少要求我们预习. ( )

3.老师有要求我们预习,但没有教我们怎么预习. ( )

4.老师有布置预习,但是从来不检查. ( )

5.数学老师上完课就走,平常也看不到他,有问题都没处问. ( )

6.老师在黑板上都是随便写,我有时候想再看看都找不到. ( )

7.老师很少把解一道题的过程完整的写在黑板上. ( )

8.上课有要回答问题或上台解答问题时,老师总是叫那几个同学,很少让其他同学来,特别关心那几个人. ( )

9.老师上课讲的太快,我的思维常常都跟不上. ( )

10.老师上课基本没有什么问题要我们回答. ( )

11.常常一整节课,老师都没让我们做课堂练习,都是老师一直在讲. ( )

12.老师给我们的课堂练习太难了,要是能分成几个问题来了慢慢来就好了. ( )

13.老师讲解题目只是把过程写在黑板上,很少给我们分析为什么这么解. ( ) 6

14.老师很少布置要上交的作业. ( )

15.老师布置的作业对全班都一样,不管你的基础是好的还是差的. ( )

16.老师布置的作业,我常常不会做. ( )

17.老师布置的交的作业,常常要很久才再发下来. ( )

18.老师给我们改的作业只有打钩或者打叉,除了日期没有其他任何记号和评语了. ( )

学生方面

1.老师问我听懂了没有,就算不懂,我也说懂了. ( )

2.我没有什么数学学习方法,平常上完课有作业就做,做完就可以了. ( )

3.我碰到有难度的题目时,不爱想,只想去抄其他人的,或马上问老师,甚至直接看答案. ( )

4.我基本上没有预习过数学. ( )

5.我有预习,但是只是看了一遍. ( )

6.我上课常常要找笔或练习本等课堂用品. ( )

7.我上课从来不记笔记,老师讲到哪就听到哪. ( )

8.我上课只顾着记笔记了,老师讲的很多都没听. ( )

9.我的注意力有时不能集中,上课走神. ( )

10.对老师上课的提问,我从不发言或很少发言. ( )

11.老师上课说什么就听什么,自己没有去思考. ( )

12.对老师上课提到的最基本的公式性质(以前就学过的),有一些不是很清楚是什么,怎么用 ( )

13.对这些旧知识,在老师简单提过后,自己感觉想起来了,但是下次碰到还是不清楚. ( )

14.对老师上课的解题,只关心解题的步骤(过程),不关心为什么要这样做,该怎么分析思考这种题目. ( )

15.课后基本不复习. ( )

16.课后有复习,只是简单的再翻翻书. ( )

17.做作业前,没有先复习的习惯,最多是一边做一边翻书看. ( )

18.作业没有及时完成(有时抄其他人的或根本就没做). ( )

19.对老师布置的作业和练习题只想快点做完,从不去仔细思考. ( )

20.我常常没有主动解答课本上和材料上的题目,只等老师讲解. ( )

21.没兴趣做基础题,只想做有难度的题目. ( )

22.对做错的题目,最多只是把它改正过来,没去反思总结. ( )

我要补充

【参考文献】

[1]王光明,杨蕊.数学学习中的“懂而不会”现象[J].中学数学教学参考(上旬刊),2012,(10).

[2]丁仕梅.探讨如何破解高中数学学习“懂而不会”的困惑[J].现代阅读,2012,(04).

[3]何善亮.从意义建构到能力生成———“懂而不会”现象的原因探析、实践应对与理论思考[J].教育科学研究,2008,(10).

[4]高华.数学课堂“能听懂课,不会解题”的调查与分析[J].才智,2010,(28).185

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