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2013中考试题中的旋转(教师版)

发布时间:2013-09-18 13:31:12  

1.(2013福州)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.

(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是 度;

(2)连结AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.

考点:旋转的性质;等边三角形的性质;轴对称的性质;平移的性质.

专题:计算题.

分析:(1)由点A的坐标为(﹣2,0),根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD,则△AOC与△BOD关于y轴对称;根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°,则∠AOD=120°,根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB;

(2)根据旋转的性质得到OA=OD,而∠AOC=∠BOD=60°,得到∠DOC=60°,所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线,根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD,则∠AEO=90°.

解答:解:(1)∵点A的坐标为(﹣2,0),

∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD;

∴△AOC与△BOD关于y轴对称;

∵△AOC为等边三角形,

∴∠AOC=∠BOD=60°,

∴∠AOD=120°,

∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB.

(2)如图,∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB,

∴OA=OD,

∵∠AOC=∠BOD=60°,

∴∠DOC=60°,

即OE为等腰△AOD的顶角的平分线,

∴OE垂直平分AD,

∴∠AEO=90°.

故答案为2;y轴;120.

点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质.

2.(2013珠海)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.

(1)求证:∠CBP=∠ABP;

(2)求证:AE=CP; (3)当,BP′=5时,求线段AB的长.

个探究问题:

探究一:将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P.

(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长;

(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数.

探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由.

形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合。三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.

(1)求证:DP=DQ;

(2)如图,小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;

(3)如图,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB:AP=3:4,请帮小明算出△DEP的面积。

A

PAD

B

①QC②BPCE③Q

解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形

∴DA=DC,∠DAP=∠DCQ=90°

∵∠PDQ=90°

∴∠ADP+∠PDC=90°

∠CDQ+∠PDC=90°

∠ADP =∠CDQ

在△ADP与△CDQ中

??DAP??DCQ?∵?DA?DC

??ADP??CDQ?

∴△ADP≌△CDQ (ASA)

∴DP=DQ

(2)PE =QE

证明:∵ DE是∠PDQ的平分线

∴∠PDE=∠QDE

在△PDE与△QDE中

?DP?DQ?∵??PDE??QDE

?DE?DE?

∴△PDE≌△QDE (SAS)

∴PE =QE

(3)证明:∵AB:AP=3:4, AB=6

∴AP=8, BP=2,

由(1)知: △ADP≌△CDQ 则AP=CQ=8

由(2)知: PE =QE

设CE=x,则PE =QE=CQ—CE=8—x

在Rt△PEB中,BP=2, BE=6+x,PE=8—x

由勾股定理得:22+(6+x)2=(8—x)2

6解得:x= 7

∵BP∥CD QBMBP ?CMCD

BM2∴? 6?BM6∴

3∴BM= 2

33675∴ME= CM+CE=6—+x=6— += 22714

111∴△DEP的面积为:S△DEP =S△DME +S△PME=·ME·DC+·ME·PB=·ME·(DC+PB) 222

175175150=· ·(6+2) = ··(6+2) = 2142147

5.(2013?盘锦)如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.

(1)如图??,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形;

(2)如图??,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由;

(3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.

C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.

(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;

②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.

(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD+AF的值.

22

BF.

(1)如图1,若∠ABC=α=60°,BF=AF.

①求证:DA∥BC;②猜想线段DF、AF的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图2,若∠ABC<α,BF=mAF(m为常数),求的值(用含m、α的式子表示).

接CD.

(1)如图1,DE与BC的数量关系是 ;

(2)如图2,若P

是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;

(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.

9.(

2013威海)操作发现

将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.

(1)求证:△CDO是等腰三角形;

(2)若DF=8,求AD的长.

请补充完整.

原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.

根据 SAS ,易证△AFG≌ △AEF ,得EF=BE+DF.

(2)类比引申

如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系EF=BE+DF.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC

,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC

11.(2013重庆)如图,平面直角坐标系中,已知直线y=x上一点P(1,1),C为y轴上一点,连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴,垂足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线y=x交于点Q,则点Q的坐标为 (,) .

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