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初中奥数讲义_由正难则反切入附答案

发布时间:2013-10-30 08:04:32  

人们习惯的思维方式是正向思维,即从条件手,进行正面的推导和论证,使问题得到解决.但有些数学问题,若直接从正面求解,则思维较易受阻,而“正难则反,顺难则逆,直难则曲”是突破思维障碍的重要策略.

数学中存在着大量的正难则反的切入点.数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的,具有可逆性;对数学方法而言,特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎,其思考方向也是可逆的;作为解题策略,当正向思考困难时可逆向思考,直接证明受阻时可间接证明,探索可能性失败时转向考察不可能性.由正难则反切入的具体途径有:

1. 定义、公式、法则的逆用;

2.常量与变量的换位;

3.反客为主;

4.反证法等.

【例题求解】

【例1】 已知x满足3

x?2x2?x2?2x?2,那么x2?2x的值为 .

(河南省竞赛题)

思路点拨 视x2?2x为整体,避免解高次方程求x的值.

【例2】 已知实数a、b、c满足a?b,且2002(a?b)?2002(b?c)?(c?a)?0求(c?b)(c?a)

(a?b)2的值.

(第四届《学习报》公开赛试题)

思路点拨 显然求a、b、c的值或寻求a、b、c的关系是困难的,令2000?x,则2002=x2,原等式就可变形为关于x的一元二次方程,运用根与系数关系求解.

注:(1)人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量,认为它们泾渭分明,更换不得,实际上将常量设为变量,或将变量暂时看作常量,都会给人以有益的启示.

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