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初中奥数讲义_完全平方数和完全平方式附答案

发布时间:2013-10-30 08:04:34  

完全平方数和完全平方式

设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m,则称n是一个完全平方数(或平方数).常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数;证明一个数不是完全平方数;关于存在性问题和其他有关问题等.最常用的性质有:

(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,个位数字是2,3,7,8的数一定不是平方数;

(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数,个位数字为6,而十位数字为偶数的数,也一定不是完全平方数; (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数;

(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式;

(5)任何整数平方之后,只能是3n或3n+1的形式,从而知,形如3n+2的数绝不是平方数;任何整数平方之后只能是5n,5n+1,5n+4的形式,从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数;

(6)相邻两个整数之积不是完全平方数;

(7)如果自然数n不是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是偶数;如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数;

(8)偶数的平方一定能被4整除;奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数.

例题求解

【例1】 n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+l是3个完全平方数之和.

思路点拨 设3n+1=m,显然3卜m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).

m2?1 若rn=3k+1,则n??3k2?2k. 322

∴ n+1=3k+2k+1= k+ k+( k+1).

m2?1若m=3k+2,则n??3k2?4k?1 32222

∴ n+1=3k+4k+2= k+(k+1)+( k+1).

故n+1是3个完全平方数之和.

【例2】一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数. 思路点拨 引入参数,利用奇偶分析求解.

设所求正整数为x,则 x+100=m ----①

x+168==n -----②

其中m,n 都是正整数, ②—①得n—m=68,即 (n—m)(n+m)=2×17.---- ③

1 222222222

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