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初中奥数讲义_整体的方法附答案

发布时间:2013-10-30 09:31:43  

整体的方法

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”,它们的意思是说,如果过分关注细节,而忽视全局,我们就不会真正理解一个问题.

解数学题也是这样,在加强对局部的研究与分析的基础上,从整体上把握问题.所谓整体方法就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.

整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用,整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用.

例题求解 【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001,则分式

庆市竞赛题)

思路点拨 原式=2000(x?y?z),视x+3 y与x+y+z为两个整体,对方程组进行整体改造. x?3y2000x?2000y?2000z的值为 .(安x?3y

【例2】 若△ABC的三边长是a、b、c且满足a4?b4?c4?b2c2,b4?c4?a4?a2c2,c4?a4?b4?a2b2,则△ABC是( )

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 三个等式结构一样,孤立地从一个等式入手,都导不出a、b、c 的关系,不妨从整体叠加入手.

【例3】 已知x?1?,求多项式(4x3?1997x?1994)2002的值. 2

思路点拨 直接代入计算繁难,由已知条件得2x?1?,两边平方有理化,可得到零值多项式,整体代入求值.

【例4】如图,凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中,∠Al=∠A5,∠A2 =∠A6 ,∠A3 =∠A7 ,∠A4=∠A8,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.

(山东省竞赛题)

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