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初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案

发布时间:2013-10-30 09:31:44  

直角三角形的再发现

直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等,在学习了相似三角形的知识后,我们利用相似三角形法,能得到应用极为广泛的结论.

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,则有:

1.同一三角形中三边的平方关系:AB=AC+BC,

AC=AD+CD,BC=CD+BD.

2.角的相等关系:∠A=∠DCD,∠B=∠ACD.

3.线段的等积式:由面积得 AC×BC=AB×CD;

由 △ACD∽△CBD∽△ABC,得CD=AD×BD,AC=AD×AB,BC=BD×AB.

以直角三角形为背景的几何问题,常以下列图形为载体,综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形,特殊四边形等丰富的知识.

注 直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似,由此导出的等积式的特点是:一线段是两个三角形的公共边,另两条线段在同一直线上,这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中.

例题求解

【例1】 等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长5cm,一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度移动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间为 .

(江苏省常州市中考题)

思路点拨 为求BP需作出底边上的高,就得到与直角三角形相关的基本图形,注意动态过程.

【例2】 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形ABCD=40cm,S△ABE:S△DBA=1:5,则AE的长为( )

A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm (青岛市中考题)

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