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初中文字式几何命题表述方式初探

发布时间:2013-11-01 13:30:16  

初中文字式几何命题表述方式初探

——由一个命题改写引发的思考

一、问题的提出

教学中我们要求学生将命题1:“全等三角形的对应边相等.”改写成“如果??,那么??”的一般形式。

学生的答案有命题2:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等.”;或者命题3:“如果两条线段分别是两个全等三角形的对应边,那么这两条线段相等.”;或是其他表述方式。对上述两种表述方式究竟如何评价呢?

二、文字式几何命题的表述方式分类

几何命题按照表述方式可分为简略形式命题、一般形式命题和第三种形式命题。

命题1属于简略形式,命题2、命题3则属于一般形式。第三种形式命题,是指既没有“如果,那么”作为关联词引导,也不是简略形式命题完整的单句,而只需简单添加“如果,那么” 作为关联词引导,就写成了一般形式命题的命题。例如,命题4:“两条平行线被

第三条直线所截,内错角相等.”。

作为一般形式的两个命题,命题2与命题3在条件和结论的表述上却存在明显的差异。在命题2中,从条件部分也可以得出“那么这两个三角形的对应角相等”的结论。这表明从命题2的条件部分能获...

得的结论不是唯一的,而是开放式的。

我们不妨将一般形式命题按照表述方式再分为结论开放式命题和结论限定式命题。像命题2,从条件部分能获得的结论不是唯一的,而是开放式的,这样的命题为结论开放式命题。像命题3,由于条件具有明确的限定性、指向性,相对而言其结论的限定倾向性也较强,这样的命题为结论限定式命题。

三、简略形式命题的构成要素

简略形式命题是一个主谓(宾或宾补)结构完整的单句,其条件和结论不如一般形式命题那么明显,笔者这里从另一个角度来分析简略形式命题的构成要素。

简略形式命题一般包括判断词语、判断关系、判断对象、判断结果四个构成要素。

(一)、判断词语

沪科版数学八年级(上)教科书(2011年7月修订)第75页这样定义命题:“像这样,可以判断它是真(正确)、假(错误)的语句或式子叫做命题。”由此可知每一个命题中必有判断词语,就是对几何图形之间的关系作出判断的词语,如“相等”、“垂直于”、“全等”、“是”等。

(二)、判断关系

判断关系是命题中几何图形之间的数量关系、形状关系、位置关系等以及上述关系的组合。判断关系可以从判断词语和结果中推断出来。

(三)、判断对象

命题中的判断关系所直接依存的的几何图形为判断对象。 ...

1、判断对象的确定

在判断词语前面并且距离判断词语最近的一个或具有并列关系的多个几何图形是判断对象。除判定命题的判断词语为“是”后面的几何图形仅表述判断结果外,其它命题的判断词语后面的几何图形一般也是判断对象。例如命题5:“三角形中任意两边的和大于第三边.”的判断对象是“两边”与“第三边”。

2、判断对象与基本几何图形

判断对象是一定条件下存在的图形,每个判断对象均对应相应的基本几何图形。像点、线(直线、射线、线段)、角、三角形、四边形、平行四边形等不依附于其他图形而能独立存在的图形为基本几何....

图形。判断对象的名称有的与基本图形名称一致,有的不一致。在命题中,“边”、“对应边”、“中线”、“中位线”等判断对象的实质是线段,它们对应的基本图形就是“线段”。 上述判断对象都要依附于三角形或其它图形而存在,不属于基本图形。它们是具有特定含义的几何图形。

3、判断对象的数量

有的命题明确显示判断对象的数量,有的命题没有明确显示,但可以推测出判断对象的数量。例如,命题6:“同角的余角相等.”中判断对象“余角”的数量可以推测为“无数个”,而我们仅用“两个”表示即可。判断对象的数量与其对应的基本图形数量是不完全相同的。例如,一个判断对象“对应边”则包含两个基本图形“线段”。

4、判断结果

自命题左边第一个(或同为第一个)判断对象起,至命题句子终止的部分就是判断结果,相当于一般形式命题的结论部分。

以命题1为例做一下解析。命题1的判断词语为“相等”,判断关系为“数量关系”,判断对象为“对应边”,判断结果为“对应边相等”。

四、简略形式命题改写成一般形式命题

一些简略形式命题复杂,不易区分条件和结论,我们可以从以下几方面进行操作,将简略形式命题改写成一般形式命题。

划分一个简略形式命题的条件和结论通常以判断对象作为切入点进行。各判断对象在命题的判断关系中的地位和作用是否完全相同决定了改写时切入点的选择不同。

1、只有一个判断对象或各判断对象在判断关系中的地位和作用完全相同

1.1、命题条件和结论部分的划分

首先,找出自命题左边起第一个(或同为第一个)判断对象。 其次,将该判断对象复制一份写在其前(或后)面,在两者之间点个“逗号”即将原简略形式命题划分为两部分。前一部分是一个名词性偏正短语,可视为条件部分;后一部分是一个主谓(宾或宾补)结构的句子,可视为结论部分。

1.2、条件部分改写成陈述句式或判断句式

1.2.1、判定命题的条件部分一般改写成陈述句式

将条件部分的名词性偏正短语的中心词语(即判断对象)和修饰词语(即限定条件)交换位置,使原中心词语作主语或定语,原修饰词语作谓(宾)语或主谓宾(补)语。

当判断对象在数量上显示为“两个”时,一般在主语或定语前加上“两个”或“一个??与另一个??”;当判断对象在数量上显示“无数个”时,一般在主语或定语前加上“一个”或“两个”即可代表无数个。注意:判断对象与其对应的基本图形数量上的关系。

1.2.2、性质命题的条件部分一般改写成判断句式

首先,将条件部分的名词性偏正短语的中心词语(即判断对象)再复制一份放在判断句式的前面作主语,同时将主语改写成其对应的基本图形名称。判断对象在数量上的问题同前述类似情形处理。

其次,将条件部分的名词性偏正短语作为宾语,并做相应的调整。 最后,通常用判断词语“是”连接即可。

上述改写具体到某一个命题时可能会有差异,应该以符合汉语言习惯、语句通顺和不产生歧义为标准。

1.3、结论部分,将判断对象参照条件部分的主语做相应的调整。谓(宾或宾补)语不变。

1.4、最后,用“如果”、“那么”将条件部分和结论部分连接构成一般形式的命题。

1.5、列举两个命题的改写予以说明

命题7:“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.”的改写。首先,确定自命题左边起第一个判断对象为“等腰三角形”。其次,

表述为“有一个角是60°的等腰三角形,等腰三角形是等边三角形.”。 再次,条件部分表述为“一个等腰三角形有一个角是60°”,结论部分表述为“这个等腰三角形是等边三角形”。最后,用“如果”、“那么”连接即可。

命题1:“全等三角形的对应边相等.”的改写。首先确定判断对象“对应边”。其次,表述为“全等三角形的对应边,对应边相等”。再次,条件部分表述为“两条线段分别是两个全等三角形的对应边”, 结论部分表述为“这两条线段相等”。 最后,用“如果”、“那么”连接即可。

按照上述方法改写成的一般形式命题多数都属于结论限定式命题。

2、各判断对象在判断关系中的地位和作用不完全相同

首先,在判断结果前面用“逗号”断开,前一部分是一个名词短语或主谓短语式的修饰语,可视为条件部分;后一部分是一个主谓(宾或宾补)结构的句子,可视为结论部分。

其次,条件部分的改写视具体命题而不同

2.1、一部分或全部判断对象不明确写入条件部分

例如,命题8:“与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.”的判断对象是“点”和“垂直平分线”两个。如果仅将判断对象“点”明确写入条件部分,改写后的命题9:“如果一个点与线段两端点距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”。这是一个结论开放式命题。因为从条件部分“如果一个点与线段两端点距离

相等”也可以得出“那么这个点与这条线段的两个三等分点的距离也相等”等不同的结论。

再例如,命题10:“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.”的改写。如果将“两条直角边”和“斜边”三个判断对象都不明确写入条件部分,则改写后的命题11:“如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方.”。这是一个典型的结论开放式命题。

2.2、全部判断对象都明确写入条件部分

例如,命题8可改写为命题12:“如果一个点与线段两端点距离相等,一条直线垂直平分线这条线段,那么这个点在这条直线上.”。

再例如,命题10可改写为命题13:“如果三条线段分别是一个直角三角形的三条边,那么较短的两条线段的平方和等于第三条线段的平方.”。

按照此种方法改写成的一般形式命题基本都属于结论限定式命题。

五、结论开放式命题和结论限定式命题形成的主要原因

(一)、从简略形式命题改写成一般形式命题的过程考量

1、一部分或全部判断对象没有明确写入条件部分

这种情况下,在一般形式命题结论中出现的判断对象可能是条件中所能隐含的所有判断对象或其中一部分,同时判断关系也会随不同的判断对象的出现而不同。此时改写后的一般形式命题基本上是结论开放式命题。

例如,命题1改写成命题2的情形中,判断对象“对应边”没有明确写入命题2的条件中。再例如,命题8改写成命题9的情形中,判断对象有“点”和“垂直平分线”两个,但仅将判断对象“点”明确写入命题9的条件部分。

2、各判断对象全部明确写入条件部分

2.1、各判断对象之间的判断关系单一

各判断对象之间的判断关系单一,是指判断关系仅有一种并且这一判断关系的具体情形较单一。此时改写后的一般形式命题基本上是结论限定式命题。例如,命题1改写成命题3的情形中的“对应边”只有是否相等的数量关系。再例如,命题8改写成命题12中,只有“点”是否在“垂直平分线”上的位置关系。

2.2、各判断对象之间的判断关系复杂

各判断对象之间的判断关系复杂,是指判断关系不止一种或一种判断关系的具体情形不止一种。

例如,三角形的中位线与第三边既有位置关系又有数量关系。再例如,命题14:“相似三角形面积的比等于相似比的平方.”的判断对象是“相似三角形”,而“相似三角形”之间的数量关系中既有“周长的比等于相似比”也有“面积的比等于相似比的平方”等情形。此时改写后的一般形式命题基本上是结论开放式命题。

2.3、各判断对象本身包含可以作为次判断对象的特定几何图形 这种情况下,我们无法预知结论中到底出现原判断对象还是次判断对象及哪个次判断对象,同时判断关系也会因不同的判断对象的出

现而不同。

例如,命题14的判断对象“相似三角形”还包含有“对应边”、“对应角”、“对应中线”等这些可以作为次判断对象的特定几何图形,在结论中这些次判断对象的出现会使得判断关系也会发生相应变化。此时改写后的一般形式命题基本上是结论开放式命题。

(二)从既有的一般形式命题考量

既有的一般形式命题,由于不要考虑由什么简略命题改写而来,所以其条件部分存在的情形与上述情形会稍有差异。

对同一个一般形式命题从两种角度分别考量有时会产生竞合现象,即全部判断对象没有明确书写在条件部分中与条件部分中各判断对象本身包含可以作为次判断对象的特定几何图形产生竞合。例如,命题15:“如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方.”,这是一个结论开放式命题。命题15的简略形式命题就是勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。从简略形式命题改写成一般形式命题的过程考量则属于全部判断对象(三条边)没有明确书写在条件部分中;从既有的一般形式命题考量则属于各判断对象(三角形)本身包含可以作为次判断对象(三条边)的特定几何图形出现在结论中。

(三)、汉语言表述习惯的因素

同一个一般形式命题的两种表述方式中,结论限定式命题虽然严谨,但是繁琐拗口、书面化;结论开放式命题则简洁通顺,比较符合汉语言的表述习惯。这也是结论开放式命题较多的一个原因。

五、对结论开放式命题和结论限定式命题的评价

教科书上结论开放式命题和结论限定式命题并存的情况表明,这两种表述方式都是符合一般形式命题要求的。鉴于简略形式命题改写成一般形式命题的复杂性,因此我们没有必要刻意要求学生一定要书写成哪一种表述方式,只要符合要求即可。

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