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奥数练习八

发布时间:2013-11-10 10:50:36  

奥数练习

1.若k为正整数,且关于x的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0有两个不相等的正整数,则k=___________.

2.若k为整数,则k为___________时,关于x的二次方程kx2?4x?4?0和x2?4kx?4k2?4k?5?0的根都是整数.

3.如果p、q、r都是有理数,则关于x的二次方程

(p?q?r)x2?2(p?q)x?(p?q?r)?0的根也是有理数,理由是____________.

参考答案

1.原方程变形为:

(k?1)(k?1)x2?6(3k?1)x?72?0

[(k?1)x?12][(k?1)x?6]?0

126,x2? k?1k?1

126由为正整数得k=1、2、3、5、11.由为正整数得k=2、3、4、7. k?1k?1x1?

∴ k=2或3使得x1、x2同时为正整数,但当k=3时,x1?x2?3与题设不符,故k=2.

2.由题意得

?k?0???16?16k?0?1 ∴ ?22??2?16k?4(4k?4k?5)?0,

?k为整数,??k?0?k?1??5 ?k???4???k为整数

故k=1或k=-1,当k=-1时,kx2?4x?4?0的根不是整数,故舍去k=-1;当k=1时,kx2?4x?4?0为x2?4x?4?0,两根为x1?x2?2,而方程x2?4kx?4k2?4k?5?0为x2?4x?5?0,两根为x1?5,x2??1,∴ k=1. 3.??4(p?q)2?4(p?q?r)(p?q?r)

?4[(p?q)2?(p?q)2?r2]?4r2

所以

x1,2?2(p?q)?2rp?q?r?(p?q?r?0) 2(p?q?r)p?q?r

∵ x1?1,x2?p?q?r. p?q?r

∵ p,q,r都是有理数, ∴ x1、x2均为有理数.

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