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2013中考全分类汇编特殊的平行四边形

发布时间:2013-11-21 08:05:11  

2013中考全分类汇编特殊的平行四边形(菱形,矩形,正方形)

菱形

1、(绵阳市2013年)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( B )

A.25282128cm B.cm C.cm D.cm 21252015

A

H

BOD[解析]OA=4,OB=3,AB=5,△BDH∽△BOA, BD/AB=BH/OB=DH/OA,6/5=BH/3,BH=18/5, AH=AB-BH=5-18/5=7/5,△AGH∽△ABO, GH/BO=AH/AO,GH/3=7/5 / 4,GH=21/20。 C

10题图

2、(2013?曲靖)如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、CF.则四边形AECF是( )

3、(2013凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )

A.14 B.15 C.16 D.17

考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质.

分析:根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

解答:解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC,

∵∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=4,

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16,

故选C.

点评:本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出AC的长.

4、(2012?泸州)如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )

5、(2013菏泽)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120° 的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )

A.15°或30° B.30°或45° C.45°或60° D.30°或60°

考点:剪纸问题.

分析:折痕为AC与BD,∠BAD=120°,根据菱形的性质:菱形的对角线平分对角,可得∠ABD=30°,易得∠BAC=60°,所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°. 解答:解:∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,

∵∠BAD=120°,

∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°,

∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.

∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.

故选D.

点评:此题主要考查菱形的判定以及折叠问题,关键是熟练掌握菱形的性质:菱形的对角线平分每一组对角.

6、(2013?玉林)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:

甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.

乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.

根据两人的作法可判断( )

7、(2013年潍坊市)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个

适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)

答案:OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等

考点:菱形的判别方法.

点评:此题属于开放题型,答案不唯一.主要考查了菱形的判定,关键是掌握菱形的判定定理.

8、(2013?攀枝花)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=,BE=4,则tan∠DBE的值是 2 .

9、(2013年临沂)如图,菱形ABCD中,AB=4,?B?60,AE?BC,AF?CD,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是

.

答案:解析:依题可求得:∠BAD=120°,∠BAE=∠DAF

=30°,BE=DF=2,AE=AF= o

形AEF为等边三角形,高为3,面积S

=1?3?

2

10、(2013?泰州)对角线互相

11、(2013年南京)如图,将菱形纸片ABCD折迭,使点A恰好落在菱形的对称中心O

处,折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm, ?A=120?,则EF= cm。

答案:

解析:点A恰好落在菱形的对称中心O处,如图,P为AO中点,所以E为A职点,AE=1,?EAO=60?,EP=,所以,EF=3 2

12、(2013?淮安)若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是

13、(2013?牡丹江)如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ()n﹣1 .

14、(2013?宁夏)如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数的图象经过点C,则k的值为 ﹣6 .

15、(2013?攀枝花)如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC

交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:

①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD

其中正确结论的为 ①③④ (请将所有正确的序号都填上).

16、(2013?内江)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= 5 .

17、(2013?黔西南州)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠B=60°,则菱形的面积为 .

18、(2013?衢州)如图,在菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点,可得四边形A1B1C1D1;顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点,可得四边形A2B2C2D2;顺次连结四边

形A2B2C2D2各边中点,可得四边形A3B3C3D3;按此规律继续下去….则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ;四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 .

19、(2013四川宜宾)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 20 .

考点:菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

分析:首先可判断四边形BGFD是平行四边形,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得BD=FD,则可判断四边形BGFD是菱形,设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值.

解答:解:∵AG∥BD,BD=FG,

∴四边形BGFD是平行四边形,

∵CF⊥BD,

∴CF⊥AG,

又∵点D是AC中点,

∴BD=DF=AC,

∴四边形BGFD是菱形,

设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,

在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,即(13﹣x)2+62=(2x)2,

解得:x=5,

故四边形BDFG的周长=4GF=20.

故答案为:20.

点评:本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质,解答本题

的关键是判断出四边形BGFD是菱形.

20、(2013?黄冈)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.

21、(2013?十堰)如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2). (1)求反比例函数的解析式;

(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;

(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论.

22、(2013年广州市)如图8,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.

分析:根据菱形的性质得出AC⊥BD,再利用勾股定理求出BO的长,即可得出答案 解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,

∴AC⊥BD,DO=BO,

∵AB=5,AO=4,

∴BO==3,

∴BD=2BO=2×3=6.

点评:此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理,根据已知得出

BO的长是解题关键

23、(2013?常州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.

求证:四边形ABCD是菱形.

24、(2013?恩施州)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH为菱形.

25、(2013?宜昌)如图,点E,F分别是锐角∠A两边上的点,AE=AF,分别以点E,F为圆心,以AE的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接DE,DF.

(1)请你判断所画四边形的性状,并说明理由;

(2)连接EF,若AE=8厘米,∠A=60°,求线段EF的长.

26、(2013?雅安)在?ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.

(1)求证:△ADE≌△CBF;

(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.

27、(2013?南宁)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、

AD的中点.

(1)求证:△ABE≌△CDF;

(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.

28、(2013安顺)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.

(1)求证:四边形BCFE是菱形;

(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.

考点:菱形的判定与性质;三角形中位线定理.

分析:从所给的条件可知,DE是△ABC中位线,所以DE∥BC且2DE=BC,所以BC和EF平行且相等,所以四边形BCFE是平行四边形,又因为BE=FE,所以是菱形;∠BCF是120°,所以∠EBC为60°,所以菱形的边长也为4,求出菱形的高面积就可求.

解答:(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,

∴DE∥BC且2DE=BC,

又∵BE=2DE,EF=BE,

∴EF=BC,EF∥BC,

∴四边形BCFE是平行四边形,

又∵BE=FE,

∴四边形BCFE是菱形;

(2)解:∵∠BCF=120°,

∴∠EBC=60°,

∴△EBC是等边三角形,

∴菱形的边长为4,高为2,

∴菱形的面积为4×2=8.

点评:本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理,以及菱形的面积的计算等知识点.

29、(2013?娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.

(1)求证:AM=AN;

(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由.

30、(2013?株洲)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD交于点O,过点O的直线EF交AD于点E,交BC于点F.

(1)求证:△AOE≌△COF;

(2)若∠EOD=30°,求CE的长.

31、(2013?苏州)如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长DP交边AB

于点E,连接BP并延长交边AD于点F,交CD的延长线于点G.

(1)求证:△APB≌△APD;

(2)已知DF:FA=1:2,设线段DP的长为x,线段PF的长为y.

①求y与x的函数关系式; ②当x=6时,求线段FG的长.

32、(2013聊城)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2.求证:(1)四边形FADC是菱形;

(2)FC是⊙O的切线.

考点:切线的判定与性质;菱形的判定.

分析:(1)首先连接OC,由垂径定理,可求得CE的长,又由勾股定理,可求得半径OC的长,然后由勾股定理求得AD的长,即可得AD=CD,易证得四边形FADC是平行四边形,继而证得四边形FADC是菱形;

(2)首先连接OF,易证得△AFO≌△CFO,继而可证得FC是⊙O的切线.

解答:证明:(1)连接OC,

∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB, ∴CE=DE=CD=×4=2, 设OC=x,

∵BE=2,

∴OE=x﹣2,

222在Rt△OCE中,OC=OE+CE,

222∴x=(x﹣2)+(2), 解得:x=4,

∴OA=OC=4,OE=2, ∴AE=6,

在Rt△AED中,AD=∴AD=CD,

∵AF是⊙O切线,

∴AF⊥AB,

∵CD⊥AB,

∴AF∥CD,

∵CF∥AD,

∴四边形FADC是平行四边形, ∴?FADC是菱形;

(2)连接OF,

∵四边形FADC是菱形, ∴FA=FC,

在△AFO和△CFO中,

∴△AFO≌△CFO(SSS), ∴∠FCO=∠FAO=90°, 即OC⊥FC,

∵点C在⊙O上,

∴FC是⊙O的切线.

=4,

点评:此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三

角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

33、(2013泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.

(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.

(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;

(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,∠EFD=∠BCD,并说明理由.

考点:菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

分析:(1)首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC,再证明△ABF≌△ADF,可得∠AFD=∠AFB,进而得到∠AFD=∠CFE;

(2)首先证明∠CAD=∠ACD,再根据等角对等边可得AD=CD,再有条件AB=AD,CB=CD可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD是菱形;

(3)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF,再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°,进而得到∠EFD=∠BCD.

解答:(1)证明:∵在△ABC和△ADC中

∴△ABC≌△ADC(SSS),

∴∠BAC=∠DAC,

∵在△ABF和△ADF中

∴△ABF≌△ADF,

∴∠AFD=∠AFB,

∵∠AFB=∠AFE,

∴∠AFD=∠CFE;

(2)证明:∵AB∥CD, , ,

∴∠BAC=∠ACD,

又∵∠BAC=∠DAC,

∴∠CAD=∠ACD,

∴AD=CD,

∵AB=AD,CB=CD,

∴AB=CB=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形;

(3)当EB⊥CD时,∠EFD=∠BCD,

理由:∵四边形ABCD为菱形,

∴BC=CD,∠BCF=∠DCF,

在△BCF和△DCF中

∴△BCF≌△DCF(SAS),

∴∠CBF=∠CDF,

∵BE⊥CD,

∴∠BEC=∠DEF=90°,

∴∠EFD=∠BCD.

点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及菱形的判定与性质,全等三角形的判

定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.

34、(2013?遂宁)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:

(1)△ADE≌△CDF;

(2)四边形ABCD是菱形.

35、(2013?舟山)某学校的校门是伸缩门(如图1),伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图2);校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3).问:校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin5°≈0.0872,cos5°≈0.9962,sin10°≈0.1736,cos10°≈0.9848).

37、(2013年临沂)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:AF=DC;

(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论. C

FD

解析:证明:(1)∵E是AD的中点,∴EAE=ED.???????????(1分) ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,

∴△AFE≌△DBE. ?????????A

(2分)

∴AF=DB.

B

∵AD是BC边上的中点,∴DB=DC,AF=DC ?????(3分)

(2)四边形ADCF是菱形. ?????????????(4分)

理由:由(1)知,AF=DC,

∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形. ??(5分)

又∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形

∵AD是BC边上的中线, ∴AD?1BC?DC. ? (6分) 2

∴平行四边形ADCF是菱形. ???????(7分)

2013中考全国100份试卷分类汇编

矩形

1、(2013陕西)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC是,连接BM、DN,若四边形MBND是菱形,则AM等于 ( ) MD

A.3234 B. C. D. 8355

考点:矩形的性质及菱形的性质应用。 N

第9题图 解析:矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题,菱形的性质应用较

常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值,所以在解决过程中取特殊值法较为简单。设AB=1,则AD=2,因为四边形MBND是菱形,所以MB=MD,

222又因为矩形ABCD,所以?A=90°,设AM=x,则MB=2-x,由勾股定理得:AB+AM=MB,

3

335AM3222所以x+1=(2-x)解得:x?,所以MD=2??,??,故选C. 444MD55

4

22、(2013济宁)如图,矩形ABCD的面积为20cm,对角线交于点O;以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B,对角线交于点O1;以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B;…;依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为( )

A. cm B. cm C.22cm 2D.cm 2

考点:矩形的性质;平行四边形的性质.

专题:规律型.

分析:根据矩形的对角线互相平分,平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的,然后求解即可.

2解答:解:设矩形ABCD的面积为S=20cm,

∵O为矩形ABCD的对角线的交点,

∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的,

∴平行四边形AOC1B的面积=S,

∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1,

∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的, ∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=

…,

依此类推,平行四边形AO4C5B的面积=故选B.

==cm. 2,

点评:本题考查了矩形的对角线互相平分,平行四边形的对角线互相平分的性质,得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键.

3、(2013?天津)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF一定是( )

4、(2013四川南充,3分)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′

处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是

A.12 B. 24

C. 12

D. 16 )

答案:D

解析:由两直线平行内错角相等,知∠DEF

=∠EFB=60°,又∠AEF=∠A'EF=120

°,所以,∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'?AB=,矩形ABCD的面积为S=×8=,选D。

5、(2013四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( )

A.两组对边分别平行 B.对角线相等

C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等

考点:矩形的性质;菱形的性质.

分析:根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

解答:解:A.矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误;

B.矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确;

C.矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误;

D.矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误.

故选B.

点评:本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键.

6、(2013?包头)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是( )

7、(2013

?湖州)如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:AC=3:5,则的值为( )

8、(2013?宜昌)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是( )

9、(2013年河北)如已知:线段AB,BC,∠ABC = 90°. 求作:矩形ABCD.

以下是甲、乙两同学的作业:

对于两人的作业,下列说法正确的是

A.两人都对 B.两人都不对

C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对

答案:A

解析:对于甲:由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B为90度,知ABCD是矩形,正确;对于乙:对角线互相平分的四边形是平行四边形及角B为90度,可判断ABCD是矩形,故都正确,选A。

10、(2013台湾、20)如图,长方形ABCD中,M为CD中点,今以B

、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径画弧,两弧相交于P点.若∠PBC=70°,则∠MPC的度数为何?( )

A.20 B.35 C.40 D.55

考点:矩形的性质;等腰三角形的性质.

分析:根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP,然后求出∠MCP,再根据等边对等角求解即可.

解答:解:∵以B、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点, ∴BP=PC,MP=MC,

∵∠PBC=70°,

∴∠BCP=(180°﹣∠PBC)=(180°﹣70°)=55°,

在长方形ABCD中,∠BCD=90°,

∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°,

∴∠MPC=∠MCP=35°.

故选B.

点评:本题考查了矩形的四个角都是直角的性质,等腰三角形两底角相等的性质以及等边对

等角,是基础题.

11、(2013达州)如图,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端

点分别在AB、BC上(含端点),且AB=6,BC=10。设AE=x,则x 的取值范围是 . 答案:2≤x≤6

解析:如图,设AG=y,则BG=6-y,在Rt△GAE中,

x2+y2=(6-y)2

,即x(0?y?),当y=0时,x取最大值为6;当y=8

3

8时,x取最小值2,故有2≤x≤

6 3

12、(2013?湘西州)小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞镖落在阴影区域的概率是

13、(2013哈尔滨)如图。矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为 .

考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。解直角三角形

分析:本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理及解直角三角形.注意数形结合思想的应用,此题综合性较强,难度较大,

解答:由△AOE的面积为5,找此三角形的高,作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2,从而AE=5,连接CE,

由AO=OC, OE⊥

AC得EO是AC的垂直平分线,∴AE=CE,在直角

三角形EBC中,BC=4,AE=5, 勾股定理得EB=3,

AB=8,在直角三

角形ABC中,勾股定理得AC=,BO=1AC=作EM⊥BO于

M,在直角三角形EBM中,EM=BEsin2

∠ABD=3

=

,BM= BEcos∠ABD=3

,从而在直角三角形E0M

中,勾股定理得∠

EM3?? BOE=0E5

14、(2013?遵义)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O

,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=cm.

15、

(2013?苏州)如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若

用含k的代数式表示). =,则=

16、(13年北京4分11)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,

若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为__________

答案:20

解析:由勾股定理,得AC=13,因为BO

为直角三角形斜边上的中线,所以,BO=6.5,由中位线,得MO=2.5,所以,四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=20

17、(2013?泸州)如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,点D的对称点F恰好落在BC上,已知折痕AE=10cm,且tan∠EFC=,那么该矩形的周长为( )

18、(2013年江西省)如图,矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连接DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连接AM,CN,MN,若AB=22,BC=23,则图中阴影部分的面积为 .

【答案】 26.

【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法,涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识,解题思路方法多样,计算也并不复杂,若分别计算再相加,则耗

时耗力,仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半(即),这种“整体思想”事半功倍,所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累.

【解题思路】 △BCN与△ADM全等,面积也相等,口DFMN与口BEMN的面积也相等,所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半.

【解答过程】

1??

. 2

【方法规律】 仔细观察图形特点,搞清部分与整体的关系,把不规则的图形转化为规则的来计算.

【关键词】 矩形的面积 二次根式的运算 整体思想

19、(2013年南京)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置, 旋转角为? (0?<?<90?)。若?1=110?,则??。

D 答案:20

解析:?B'AB??D'AD??,延长CD'交CD于E,则

B?C'EC=20?,?D'ED=160?,由四边形的内角和为360?,可得

??=20?

20、(2013凉山州)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .

考点:矩形的性质;坐标与图形性质;等腰三角形的性质;勾股定理.

专题:动点型.

分析:当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论.

解答:解:由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE=∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2,

∴此时点P坐标为(2,4);

(2)如答图②所示,OP=OD=5.

==3,

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△POE中,由勾股定理得:OE===3,

∴此时点P坐标为(3,4);

(3)如答图①所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.

过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.

在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE===3,

∴OE=OD+DE=5+3=8,

∴此时点P坐标为(8,4).

综上所述,点P的坐标为:(2,4)或(3,4)或(8,4).

点评:本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.

21、(2013?资阳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= 5 .

22、(2013?宁夏)在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F; 求证:DF=DC.

23、(2013?湘西州)如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD的中点,连接AF

,CE.

(1)求证:△BEC≌△DFA;

(2)求证:四边形AECF是平行四边形.

24、(2013聊城)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.

考点:全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证,

解答:证明:如图,过点B作BF⊥CE于F,

∵CE⊥AD,

∴∠D+∠DCE=90°,

∵∠BCD=90°,

∴∠BCF+∠DCE=90°,

∴∠BCF=∠D,

在△BCF和△CDE中,

∴△BCF≌△CDE(AAS),

∴BF=CE,

又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,

∴四边形AEFB是矩形,

∴AE=BF,

∴AE=CE.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,难度中等,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键.

25、(13年安徽省4分、14)已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,

将该纸片叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E、F是该矩形

,边界上的点),折叠后点A落在A处,给出以下判断:

(1)当四边形ACDF为正方形时,EF=2 ,

(2)当EF=2时,四边形ACDF为正方形 ,

(3)当EF=5时,四边形BACD为等腰梯形; ,

(4)当四边形BACD为等腰梯形时,EF=5。 ,

其中正确的是

26、(2013?白银)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.

27、(2013?绍兴)如图,矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…,第n次平移将矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣

1Bn﹣1的方向平移5个单位,得到矩形AnBnCnDn(n>2).

(1)求AB1和AB2的长.

(2)若ABn的长为56,求n.

10、(2013台湾、23)附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形,其中D、E两点分别在AB、BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离为何?( )

A.2 B.3 C.12﹣4 D.6﹣6

考点:正方形的性质;等边三角形的性质.

分析:过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°,然后判定△BDE是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°,然后根据同位角相等,两直线平行求出AC∥DE,再根据正方形的对边平行得到DE∥GF,从而求出AC∥DE∥GF,再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH,然后根据平行线间的距离相等即可得解.

解答:解:如图,过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ABC=60°,

∵BD=BE,

∴△BDE是等边三角形,

∴∠BDE=60°,

∴∠A=∠BDE,

∴AC∥DE,

∵四边形DEFG是正方形,GF=6,

∴DE∥GF,

∴AC∥DE∥GF,

∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6,

∴F点到AC的距离为6

﹣6.

故选D.

点评:本题考查了正方形的对边平行,四条边都相等的性质,等边三角形的判定与性质,等边三角形的高线等于边长的倍,以及平行线间的距离相等的性质,综合题,但难度不大,熟记各图形的性质是解题的关键.

11、(2013年南京)已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程: 。 答案:本题答案不唯一,如(x?1)2=25;

解析:把缺口补回去,得到一个面积25的正方形,边长为x+1。

12、(2013?苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点

A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 (2,4﹣2)

13、(2013?嘉兴)如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时,小球P与正方形的边碰撞的次数为 6 ,小球P所经过的路程为 6 .

14、(2013?钦州)如图,在正方形

ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 10 .

15、(2013?包头)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 135 度.

16、(2013? 德州)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:

①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+

其中正确的序号是 ①②④ (把你认为正确的都填上). .

17、(2013?烟台)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在

BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为 4π .

18、(2013四川南充,14,3分)如图,正方形ABCD

为22,过点A作AE⊥AC,AE=1,连接BE,则

tanE=_____________.

答案:

解析: 2 3的边长

19、(2013年武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF

交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 . 答案:?1

解析: AEFD

B第16题图C

20、(绵阳市2013年)对正方形ABCD进行分割,如图1,其中E、F分别是BC、CD的中点,M、N、G分别是OB、OD、EF的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件可以拼出很多图案,图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1,则“飞机”的面积为 14 。

[解析]连接AC,四边形ABCD是正方形,

FAC⊥BD,E、F分别BC、CD的中 CD

点,EF//BD,AC⊥EF,CF=CE,△EFC是G等腰直角三角形,直线AC是△EFC底边上E的高所在直线,根据等腰三角形“三线合

M一”,AC必过EF的中点G,点A、O、G

AB和C在同一条直线上,OC=OB=OD,OC⊥七巧板飞机

图1图21OB,FG是△DCO的中位线,OG=CG= OC, M、2

111N分别是OB、OD的中点,OM=BM= OB,ON=DN= ,OG=OM=BM=ON=DN= ,等腰直角224

11三角形GOM的面积为1,?OG=2=1,OM=2 ,BD=4 OM=42 ,2AD2= BD2=32,AD=4,图22

2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积,飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。

21、(2013年南京) 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分

?ABC,P是BD上一点,过点P作PM?AD,PN?CD,垂

足分别为M、N。

(1) 求证:?ADB=?CDB;

(2) 若?ADC=90?,求证:四边形MPND是正方形。

解析:

证明:(1) ∵BD平分?ABC,∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC,BD=BD,

∴△ABD ? △CBD。∴?ADB=?CDB。 (4分)

(2) ∵PM?AD,PN?CD,∴?PMD=?PND=90?。

又∵?ADC=90?,∴四边形MPND是矩形。

∵?ADB=?CDB,PM?AD,PN?CD,∴PM=PN。

∴四边形MPND是正方形。 (8分)

22、(2013?鄂州)如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.

(1)求证:△ADE≌△ABF.

(2)求△AEF的面积.

D

23、(2013?毕节地区)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.

(1)求证:△ADE≌△ABF;

(2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到;

(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.

24、(2013?黔东南州)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.

25、(2013鞍山)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且

DF=BE.

(1)求证:CE=CF;

(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;探究型.

分析:(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.

(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.

解答:(1)证明:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF(SAS).

∴CE=CF.(3分)

(2)解:GE=BE+GD成立.(4分)

理由是:∵由(1)得:△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF,(5分)

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,(6分)

又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG(SAS).

∴GE=GF.(7分)

∴GE=DF+GD=BE+GD.(8分)

点评:本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.

26、(2013?铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.

(1)求证:四边形AEBD是矩形;

(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.

27、(2013?包头)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.

(1)如图①,当时,求的值;

OA; (2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=

(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

28、(2013?曲靖)如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.

(1)求证:△DCF≌△ADG.

(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.

29、(2013?天津)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.

(Ⅰ)△ABC的面积等于 6 ;

(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点P,连接的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、

E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 .

30、(2013?绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF

(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

31、(2013济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.

(1)求证:AF=BE;

(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可;

(2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,然后与(1)相同. 解答:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,

∴∠DAF+∠BAF=90°,

∵AF⊥BE,

∴∠ABE+∠BAF=90°,

∴∠ABE=∠DAF,

∵在△ABE和△DAF中,

∴△ABE≌△DAF(ASA),

∴AF=BE;

(2)解:MP与NQ相等.

理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E, 则与(1)的情况完全相同.

点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,主要利用了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质,利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.

32、(2013?常德)如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到C使DC=AD,以AD,DC为邻边作正方形ABCD,连接AC,连接BE交AC于点H.求证:

(1)AC是⊙O的切线.

(2)HC=2AH.

33、(2013?衡阳)如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.

22(1)试说明AE+CF的值是一个常数;

(2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值.

34、(2013?衡阳附加题不算分)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:

(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图1中画出安装点的示意图,并用大写字母M、N、P、Q表示安装点;

(2)能否找到这样的3个安装点,使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图2中画出示意图说明,并用大写字母M、N、P表示安装点,用计算、推理和文字来说明你的理由.

35、(2013?呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,

(1)的值为 ;

(2)求证:AE=EP;

(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

36、(2013泰安)如图,四边形ABCD为正方形.点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点A,

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;

(2)求点P是反比例函数图象上的一点,△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题.

分析:(1)先根据正方形的性质求出点C的坐标为(5,﹣3),再将C点坐标代入反比例函数y=中,运用待定系数法求出反比例函数的解析式;同理,将点A,C的坐标代入一次函数y=ax+b中,运用待定系数法求出一次函数函数的解析式;

(2)设P点的坐标为(x,y),先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,列出关于x的方程,解方程求出x的值,再将x的值代入y=﹣,即可求出P点的坐标. 解答:解:(1)∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3),

∴AB=5,

∵四边形ABCD为正方形,

∴点C的坐标为(5,﹣3).

∵反比例函数y=的图象经过点C,

∴﹣3=,解得k=﹣15,

∴反比例函数的解析式为y=

﹣;

∵一次函数y=ax+b的图象经过点A,C, ∴

解得, ,

∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;

(2)设P点的坐标为(x,y).

∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,

2∴×OA?|x|=5,

∴×2|x|=25,

解得x=±25.

当x=25时,y=﹣

当x=﹣25时,y=﹣=﹣; =.

∴P点的坐标为(25,﹣)或(﹣25,).

点评:本题考查了正方形的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,三角形的面积,难度适中.运用方程思想是解题的关键.

37、(2013?资阳)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.

(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;

(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);

①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由. ②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.

38、(2013杭州压轴题)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.

(1)求证:∠APE=∠CFP;

(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.

考点:四边形综合题.

分析:(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;

(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.

①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;

②注意中心对称、轴对称的几何性质.

解答:(1)证明:∵∠EPF=45°,

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;

而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°, 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,

∴∠APE=∠CFP.

(2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,

∴△APE∽△CPF,则.

AB=, 而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=又∵P为对称中心,则AP=CP=,

∴AE===.

如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,

P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.

S△APE

==×2×=,

∵阴影部分关于直线AC轴对称,

∴△APE与△APN也关于直线AC对称,

则S四边形AEPN=2S△APE

=

而S2=2S△PFC=2×; =2x,

∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,

y===+﹣1.

∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,

∴2≤x≤4.

令=a,则y=﹣8a+8a﹣1,当a=2=,即x=2时,y取得最大值.

而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.

∴y关于x的函数解析式为:

y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1.

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,

而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 则EB=BF,即AE=FC,

∴=x,解得x=,

代入x=,得y=﹣2.

点评:本题是代数几何综合题,考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多,有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式,在计算几何图形面积时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.

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