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27.2.1相似三角形的判定同步测控优化训练(含答案)

发布时间:2013-11-24 10:39:01  

27.2.1相似三角形的判定

一、课前预习 (5分钟训练)

1.下列命题中,正确的个数是( )

①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图27-2-1-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有

( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

图27-2-1-1 图27-2-1-2 图27-2-1-3

3.一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm,则其余两边长为______________.

二、课中强化(10分钟训练)

1.如图27-2-1-2,已知△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是( ) ADAEDEADAEDE???? B. ACABBCABACBC

ADACDEADAEDE????C. D. AEABBCABECBCA.

解析:找准对应边是关键.

答案:A

2.如图27-2-1-3,锐角△ABC的高BD,CE交于O点,则图中与△BOE相似的三角形的个数是

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有( )

A.7对 B.6对 C.5对 D.4对

- 1 -

图27-2-1-4 图27-2-1-5

4.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( )

A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C.ABA?B?ABA?B??? D. BCB?C?ACA?C?

5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高

( )

A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m

6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结BD.

(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;

(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明

.

图27-2-1-6

三、课后巩固(30分钟训练)

1.下列说法正确的个数是( )

①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图27-2-1-7,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC的长为_______________.

3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

4.如图27-2-1-8,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于( )

- 2 -

A.1∶2 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶

3

图27-2-1-7 图27-2-1-8 图27-2-1-9

5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.

6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.

请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来.

(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来

.

图27-2-1-10

7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.

(1) 求BF的长;(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长

.

图27-2-1-11

- 3 -

8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上

.

图27-2-1-12

9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,这时CD=1AB,为什么

? 3

图27-2-1-13

10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部

A?

图27-2-1-14

- 4 -

11.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请

- 5 - 27-2-1-15 说明理由

. 图

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.下列命题中,正确的个数是( )

①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:两个直角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定成比例,等腰三角形的对应角不一定相等,所以②③不正确,①符合AA,④符合SAS.

答案:B

2.如图27-2-1-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有

(

)

图27-2-1-1

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

解析:根据AA判定法有三对相似.

答案:C

3.一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm,则其余两边长为______________.

解析:可求得两个三角形对应边的相似比为2,所以另外两边为4,6.

答案:4 cm,6 cm

二、课中强化(10分钟训练)

1.如图27-2-1-2,已知△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是(

)

图27-2-1-2 A.ADAEDEADAEDE???? B. ACABBCABACBC

- 6 -

C.ADACDEADAEDE???? D. AEABBCABECBC

解析:找准对应边是关键.

答案:A

2.如图27-2-1-3,锐角△ABC的高BD,CE交于O点,则图中与△BOE相似的三角形的个数是

(

)

图27-2-1-3

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:△ADB∽△AEC∽△OEB∽△ODC.

答案:C

3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有(

)

图27-2-1-4

A.7对 B.6对 C.5对 D.4对

解析:

△ADB∽△EOB,△ABC∽△AEO,△ADC∽△OFC,△DBC∽△DOF,△AOD∽△CDB. 答案:C

4.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( )

ABA?B?ABA?B???A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C. D. BCB?C?ACA?C?

解析:画出草图帮助分析,得D不满足SAS判定法.

答案:D

5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高

( )

A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m

- 7 -

图27-2-1-5

解析:作出如右示意图,由△AOB∽△EOD可求得答案.

答案:

C

6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结

BD.

图27-2-1-6

(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;

(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.

分析:利用同圆或等圆中同弧上所对的圆周角相等,找出等角得相似三角形,

如△ADB∽△ACE等.

解:(1)△ADB∽△ACE∽△BDE.

(2)证:△ADB∽△ACE.

∵∠DAB=∠DAC,

又∵∠D=∠C,∴△ADB∽△ACE.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.下列说法正确的个数是( )

①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角.则这两个等腰三角形不相似,所以①错;所有等腰三角形的三个角不一定对应相等,所以③错,②④正确.

- 8 -

答案:B

2.如图27-2-1-7,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC的长为

_______________.

图27-2-1-7

解析:由△ABC∽△ACD,得AC2=AD·AB. 答案:23 cm

3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析:如右图所示,有三条直线可满足要求.

答案:

C

4.如图27-2-1-8,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于(

)

A.1∶2 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3

解:∵△PAD∽△PQR, ∴PAAD?. PQQR

又∵QR=QB+BC+CR=3AD,

∴C正确.

答案:C

- 9 -

5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为

BC=______.

图27-2-1-9

解:∵△BCD∽△ACE, ∴BCCD?. ACEC

又∵AC=1.8+BC,

∴BC=4.答案:4 m

6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内

.

图27-2-1-10

请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来.

(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来.

解析:(1)按边过滤找,不要重查或漏查; (2)根据相似三角形的条件:两角对应相等来找.

答案:(1)7个,△ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG;

(2)有,△ADE∽△CDA,△BAE∽△ADE,△ABE∽△DCA.

7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点

P,Q,R.

图27-2-1-11

- 10 -

(1)求BF的长;(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长.

解:(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG,BC=1,AB=,

∴BC=CE=EG=1,EF=FG=AB=3.

∴BG=3. ∴FG3EG13 ?,??BG3FG3FGEG?. BGFG

EFEG?. BFFG∴∵∠G=∠G,∴△BFG∽△FEG. ∴

∴1.∴BF=3. ?BF(2)∵△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,

∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG.

∴AC∥DE∥FG,DC∥EF.

又∵BG=BF,∴BR=BE=2.

(3)∵DC∥EF,BC=CE,

∴BQ=1BF=1.5. 2

(4)∵AC∥DE,

∴BP=BC=1.

∴PQ=BQ-BP=0.5.

8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上

.

图27-2-1-12

- 11 -

解析:将原三角形的边长扩大2倍.

答案:如图所示

.

9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,这时CD=1AB,为什么

? 3

图27-2-1-13

解:已知BC与AD交于点O,OA=3OD,OB=3OC.求证:CO=

证明:∵OA=3OD,OB=3OC, ∴1AB. 3OA3OB3OAOB3?,?.∴??. OD1OC1ODOC1

又∵∠COD=∠BOA,

∴△COD∽△BOA. CDOD1??. ABOA3

1∴CD=AB. 3∴

10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?

- 12 -

图27-2-1-14

解:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE. ∴AD10?.∴AD=10. AD?BD18

11.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由

.

图27-2-1-15

解:当△ABP∽△PDC时,

时,ABPB?,得PB=120或PB=20;当△ABP∽△CDPBD?PBCDABPB?,BP=85. http://www.czsx.com.cn CDBD?BP

答:当BP分别为120 cm,20 cm,85 cm时,图中三角形相似.

- 13 -

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