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有理数新授课

发布时间:2013-11-25 08:48:55  

JX 初一数学

第一讲 有理数的相关概念

【教学目标】

1、 通过生活中的实际例子,体会负数引入的必要性,会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,理解有理数的概念。

2、 明确数轴的三要素:原点、正方向和单位长度,会画数轴,并在数轴上表示已知数,会利用数轴比较有理数的大小。

3、 理解相反数的概念,会求一个数的相反数;从集合和代数两个角度理解绝对值的意义,会利用绝对值比较两个负数的大小,

4、 学习数形结合、分类讨论的数学思想方法。

【知识结构】

【知识点精析】

<一>.负数

在我们的生活中,经常会遇到一些具有相反意义的量,如气温零上20゜

C与零下

17゜C,前进100米与后退80米,海平面以上8848米与海平面以下155米等,为更好地表示具有相反意义的量,我们引入一种新数——负数,如-17,-80,-155等。

1. 概念

3,2?像这样大于0的数叫做正数; 4

3 (2) -27,-1.3,-325,?,-2?像这样小于0的数叫做负数; 4 (1) 27,1.3,325,

(3) 0既不是正数也不是负数.

2. 正负数的表示方法

① 在正数的前面加上负号“-”的数就是负数;

② 正数前面的“+”往往省略不写;

③ 一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号.

但是带+的不一定的是整数,带-的不一定是负数,如-(-2)

3. 正负数的应用

具有相反意义的两个量,如果规定一个量为正,那么另一个量就记为负. ① 盈利800元和亏损800元;

② 水位上升9.5米和下降9.5米;

③ 向南走60m和向北走30m;

④ 小华体重增加了5kg和减轻了3kg

【例1】 下列各项中具有相反意义的量的是( )

A高于海平面960米与低于海平面300米

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B向南走了3米和向东走了2米

C收入与支出

D增加5kg与减少5cm

【例2】 指出下列数中,哪些是正数,哪些是负数?

2012,-2008,2,2,1.8,-3.7,0 ,-7 ,-20%, 3

【例3】(1)如果收入60元记作+60元,那么支出20元记作______

(2)零上13゜C记作+13゜C,零下2゜C记作______

【例4】 一个月内,小明体重增加了2kg,小华体重减轻了1kg,小强体重无变化,分别写出他们这个月的体重增长值:______,_______,________.

<二>.有理数

1. 概念

(1)正整数、0、负整数统称为整数;(0是整数,又是偶数,也是最小的自然数,0是最小的非负整数,是最大的非正整数)

(2)正分数、负分数统称为分数;

(3)整数和分数统称为有理数;整数可以看作分母为1的分数,因此,能写成分数形式的数也称为有理数.

2. 有理数的分类有限小数和无限循环小数可以化为分数,因此是有理数

非负整数包括正整数和0,也称自然数,非正整数包括负整数和0,

???正整数?正整数正数????整数零??正分数?????负整数有理数? 或 有理数?零 ???负整数正分数??分数?负数?????负分数?负分数???

【例5】 将下列各数填在相应的集合内:集合表示时集合后面要加上省略号,各个数之间应用逗号连接

-3143,,13,?2,?6,-5,0, 0.8, 3,?4.2,15%,2 355

4正数:{ ,13,+6,0.8,3,15%, ... };负数:5

{ }

正整数:{ };正分数:{ } 负整数:{ };负分数:{ }

【例6】 填空

(1)是正数而不是整数的有理数是________;

(2)是整数而不是负数的有理数是________;

(3)既不是正数,也不是负数的有理数是________;

【例7】下列说法中正确的是 ( )

A.正数包括正整数,负整数 B.0是整数也是自然数

C.分数包括正分数,负分数和零 D.有理数中,不是负数就是正数

【例8】 关于“零”,下面说法正确的是 ( )

①是整数,也是有理数 ②不是正数,也不是负数

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③不是整数,是有理数 ④是整数,不是自然数

A. ①④ B.②③ C.①② D.①③

【例9】观察下列数,找出规律并填空。

(1)1,-2,3,-4,5,-6,7.-8,______,______,... ______,... ______,... ↑ ↑

第465个数 第2012个数

(2)-1,11111,?,,?,,______,______,... ______,... 23456

↑ 第2010个数

<三>.数轴

1. 概念

规定了原点表示数0、正方向和单位长度确定单位长度要根据实际情况,不一定是一个单位长度,可以是多个单位长度,但是长度要统一的直线叫做数轴.

【例10】下列图形中是数轴的是 ( )

A. B. O 1

C. D.1 O 11 O 1

2. 有理数可以用数轴表示,但数轴上的点不都是有理数,体现了数形结合的思想。

3. 利用数轴比较大小

① 数轴上,正数在原点的右边,负数在原点的左边;

② 数轴上表示的两个数,右边的数大于左边的数.

【例11】 (1)在数轴上表示下列各数:-2、-1、?1、0、1、2; 2

(2) 并用“<”把它们连接起来:

4. 有理数的大小比较法则

① 正数都大于0;如果用字母a表示正数a>0

② 负数都小于0;a<0

③ 正数大于一切负数.

【例12】 比较以下两数的大小

(1) -3___2 (2) 4____0 (3) 0____?

(4)7____-15 (5) -0.625___- 1 25 (6) -4____-2 8

【例13】 已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么

点B对应的数是 .

【例14】 已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图,

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(1)写出a、b的值;

(2)比较a与a+b的大小

【例15】下列说法不正确的是( )

A.有最小的正整数,没有最小的负整数; B.一个整数不是奇数,就是偶数

C.如果a是有理数,2a就是偶数; D.正整数、负整数和零统称整数 <四>.相反数

1. 概念

只有符号不同的两个数互为相反数.

2. 相反数的表示

在一个数的前面加“-”,即得到这个数的相反数,如a相反数是?a.

3. 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称;它们到原点的距离相等.

4. ① 正数的相反数一定是负数;

② 负数的相反数一定是正数;

③ 0的相反数仍是0;

④ 两个互为相反数的和为0.

【例16】 写出下列各数的相反数:

2,71,6.7,0,? 122

11 C. –a D. ? aa

5) (4)-{-[-(+5)]} 13【例17】 –a的相反数的相反数是 ( ) A.a B. 【例18】 化简下列各数: (1)-(-75) (2)-(+0.5) (3)-(-

【例19】下列说法正确的是( )

A.一个数的相反数一定不等于这个数

B.正数是带“+”号的数,不带“+”号的数都是负数

C.一个数前加“-”号所得的数就是这个数的相反数

D.数轴上的原点两旁的两个数互为相反数

【例20】(1)若-a是负数,则a_0

(2)若-a是正数,则a_0

<五>.绝对值化简含有字母的绝对值问题时,首先要判断绝对值内式子的符号,例如 ?????

1. 概念

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,记作︱a︱.

对任何有理数a,总有︱a︱≧0.

2. ① 一个正数的绝对值是它本身,即若a?0,则︱a︱= ;

② 一个负数的绝对值是它的相反数,即若a?0,则︱a︱= ;

③ 0的绝对值是0,即若a?0,则︱a︱= .

正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小,但比较时要注意是否化简

【例21】 填空

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(1) ?5=____ -?5=____ -(-5)=_____

(2)数轴上表示-2.3的点离原点的距离是

【例22】 判断下列说法是否正确:

(1)符号相反的数互为相反数. ( )

(2)如果两个数互为相反数,那么两个数的符号相反 ( )

(3)符号相反且绝对值相等的数互为相反数. ( )

(4)一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右. ( )

(5)一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远. ( )

(6)一个正数增大时,它的绝对值增大,一个负数增大时,它的绝对值增大.

( )

(7)若|a|?|b|,则a?b ( )

(8)若a?b,则|a|?|b| ( )

【例23】 绝对值小于8的所有整数的和是( )

A.0 B.28 C.-28 D.以上都不是

【例24】如果m?0,那么|m||m|,如果m?0,那么?( )?( ) mm

【例25】下列说法中正确的是( )

A若a?b,则∣a∣?∣b∣ B若∣-a∣?∣-b∣,则a<b

C若a为有理数,则∣a∣?0 D若a为有理数,则∣a∣?0

【例26】 若│x│+x=0,则x一定是 ( )

A.负数 B.0 C.非正数 D.非负数

【例27】 已知|a|?39,|b|?,且b<a,试求a,b的值 720

【巩固练习】

一.判断题

1.不是正数的数一定是负数. ( )

2. 温度为零摄氏度表示没有温度. ( )

3.?a表示a的相反数,?a一定是负数. ( )

4.若|a|?a,则a为非负数. ( )

5.只有两个数相等时它们的绝对值才相等 . ( ) 6.|a|a?(a?0). ( ) a|a|

二.选择题

7. 点A为数轴上表示-2的动点,当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时,点B表示的数为 ( )

A. 2 B. -6 C. 2或-6 D.不同于以上答案

8.如果某股票第一天跌了3.01%,表示为-3.01%,第二天涨了4.21%,应表示为( )

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A.-4.21% B. 4.21% C. 1.2% D.- 1.2%

9.2012的相反数是( )

A.-2012 B. 2012 C. ?10.|?3|的相反数是 ( ) A.3 B.-3 C.

三.填空题

11.如果支出200元记作-200元,那么收入-200元的意义是___________;收入1000元记作_____________.

12.最大的负整数是________;最小的正整数是________;

最小的自然数是________;绝对值最小的有理数是__________.

13.-2.5 和 -| -2.25| 比较大小_________.

14. 3的倒数的绝对值与它的相反数的和等于_________.

15. 绝对值大于3且不大于6的整数是_______________.

16. 已知a,b为有理数,且a>0,b<0,a+b<0,将四个数a,b,-a,-b按由小到大的顺序排列是___________________.

【直击中考】

1.(2002?吉林)如果自行车车条的长度比标准长度长2mm,记作+2mm,那么比标准长度短

1.5mm,应记作________mm.

2.(2012.丽水)如图,数周的单位长度为1,若A,B两点表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是

___________. 11 D. 2012201211 D.? 33

BA

3.(2008年.金华中考)如果+3吨表示运进仓库3吨大米,则运出仓库5吨大米表示为( )

A.-5吨 B.5吨 C.-5 D.5

4.(2009嘉兴)实数x,y在数轴上的位置如图所示,则( )

A.x?y?0 B.y?x?0

C.x?y?0 D.y?x?0 x0

嘉兴 y

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