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初三第一轮复习方法4

发布时间:2013-11-25 12:30:36  

初三第一轮复习方法

龚辉 太仓市沙溪实验中学

【复习要达成的目标】

1.通过全面地复习梳理,理解与掌握知识要点,形成基本的知识体系;

2.能进行正确的运算、简单地识图与推理,形成基本的数学技能;

3.正确掌握概念、定理、公式、法则及一些实用的数学规律与结论;

4.基本具备几种数学思想:数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、化归思想;掌握几种数学方法:配方法、换元法、待定系数法、列举法等.

【复习内容比重与时间安排】

1.数与代数:中考所占比重大概在45﹪,分值大约58分左右.复习课时安排21课时左右.

2.空间与图形:中考所占比重大概在40﹪,分值大约在52分左右.复习课时安排在26课时左右.

3.概率与统计:中考所占比重大概在15﹪,分值大约在20分左右.复习课时安排在7课时左右.

4.第一轮复习基本要控制在四月底完成,各地区可以根据实际情况作相应的调整.

【复习方法指导】

一、第一轮复习的基本原则

这个阶段的复习目的是让学生全面复习基础知识,加强基本技能训练,渗透数学的基本思想,做到全面、扎实、系统.

1.依纲扣本,系统复习

“纲”指的是教学大纲、新课程标准和《苏州中考补充说明》,它们是中考命题的依据,对我们进行的第一轮复习工作具有导向的作用;这里的“本”是指课本和《苏州市中考复习指导》,课本反映着教学大纲的要求,而《数学学习能力自测》则体现了中考命题的基本思路.

(1)以课本为主,把书中的内容进行归纳整理,使之形成体系;搞清课本上的每一个概念、公式、法则、性质、公理、定理;抓住基本题型,记住常用公式,理解来龙去脉.对经常使用的数学公式要进一步了解其推理过程,并对推导过程中产生的一些可能变化进行探究.使学生更好地掌握公式,胜过做大量习题,而且往往会有意想不到的效果.

例1 初二几何《直角三角形全等的判定》中有这样一个问题: 求证:有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等 这个问题学生不难证明,但教师不能到此为止,应引导学生进行多方面的探索: 探索1:能否将斜边上的高线改为斜边上的中线和对应角的角平分线? 命题1.有一条直角边及斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等. 命题2.有一条直角边及对应角的角平分线相等的两个直角三角形全等.

探索2:能否把直角三角形改为一般三角形?

命题3.有两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等.

让学生思考得出命题错误,因为三角形的形状不同,高线的位置不同.那么在什么条件下命题成立?学生自然提出下面三个命题:

命题4.如果两个锐角三角形的两条边和第三边的高线对应相等,那么这两个三角形全等.

命题5.如果两个直角三角形的两条边和第三边的高线对应相等,那么这两个三角形全等.

命题6.如果两个钝角三角形的两条边和第三边的高线对应相等,那么这两个三角形全等.

大多数学生认为这样分类以后,三个命题肯定正确,对命题6教师引导学生画图探究,可以发现如图13-1中的ΔABC和ΔADC符合条件但结论不成立. A

图13-1

探索3:把命题3的高线变为中线或角平分线呢?

命题7.有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.

命题8.有两边及这两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等.

【说明】该题源于课本,是在原有例习题基础上的“再发现”和“再创造”.因此,在第一轮复习中,一定要立足课本,回归基础,加强变式教学与训练,对课本中的典型例习题多引申、多研究,引导学生理清知识体系,帮助他们建立起初中数学基础知识的网络,避免题海战术,切实打好扎实基础,真正做到落实“三基”.

例2 初二几何有这样一道例题:

求证:顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.

【说明】这道题的复习价值很高,教师可以把条件中的四边形分别换成矩形、菱形、正方形或等腰梯形,引导学生探索相对应的中点四边形的形状,还可以探索:满足什么条件的四边形,它所得的中点四边形形状分别是矩形、菱形、正方形?仅仅一道题目,便覆盖了《四边形》一章几乎全部的定义、定理.

(2)对一些很容易被学生忽略的内容,如实习作业、探究性活动、定理的推导、“想一想”、“做一做”、“读一读”等等,教师在备课、编题时都应当予以重视,不可忽略.

例3 初三数学《直线与圆的位置关系》一节中,在讲授切线与切线长定理之后,引导学生思考:(1)过圆外一点如何画圆的一条切线(不能估计)、两条切线?并说明理由;(2)如何用尺规作图的方法作出上述两条切线,并说明理由.

【解】

P

图13-3-1

图13-3-2

(1)如图13-3-1,将直角三角形板置于圆上,使一条直角边过圆心,另一条过点P,直角顶点在圆周上,则直角顶点即为切点;过此切点画OP的垂线,与⊙O的交点即为另一个切点.

(2)如图13-3-2,连结OP,以OP为直径作辅助圆,与⊙O的两个交点即为切点. (说理略)

【说明】本题以课本知识为背景,以画图与作图为载体,让学生通过观察、操作、发现和证明等过程,考查了学生的说理能力与创新精神,在一个小题中涉及了直线与圆的位置关系一节中许多关键的知识点,具有较好的复习指导价值.

2.夯实基础,学会思考

数学中考试题中,基础题占的分值最多.因此,初三数学复习教学中,必须扎扎实实地夯实基础,使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求;在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速.

让学生学会思考是从根本上提高成绩,解决问题的良方,我们要“教会学生思考”,并且要“让学生学会思考”.会思考是要学生自己“悟”出来,自己“学”出来,教师教给学生的是思考问题的方法和策略,然后让学生用学到的方法和策略,在解决具有新情境问题的过程中,感悟出如何进行正确的思考.

例4 如图13-3,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A,二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.

⑴求点A与点C的坐标;

⑵当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx

的关系式.

【说明】这是一道代数和几何的综合题,把这道题分

解后可以发现,它其实由以下六个主要知识点组合变

化而成:

①求抛物线与x轴的交点坐标; 图13-3

②已知抛物线的一般式,求抛物线的顶点坐标;

③用待定系数法求二次函数的解析式; ④抛物线是轴对称图形;

⑤菱形的对角线互相垂直且平分;

对于那些基础知识不扎实,基本图形不会找,分析问题能力不强的学生,都是不能完整地解答出这道题的.

另一方面,我们也注意到,中考压轴题的分值设定十分细致、比较合理,基础知识复习扎实的同学,只要你动笔,就能很容易拿到分数.这样的命题及评分导向,有利于提高学生复习基础知识的积极性,促使老师和学生在第一轮复习中高度重视“三基”的复习,避免为了中考最后一两道压轴题而随意拔高第一轮复习的要求.

3.强调通法,淡化技巧,数学基本方法过关

中考数学命题除了着重考查基础知识外,还十分重视对数学方法的考查,如待定系数法,配方法,换元法等数学方法.在复习时应对每一种方法的内涵,所适应的题型,包括解题步骤等都应熟练掌握.

例5 对比下列两个试题:

(1)已知x- 1 =3,求多项式:x3-x2-7x+5的值; x

(2)已知x- 1 =3,求代数式:(x- 1 )2-x+ 1 的值. xxx

【说明】第(1)题是带有技巧的特殊方法,不属于通性通法,而第(2)题考查了整体代换的数学思想.逐渐淡化带有某种技巧的特殊方法,逐步重视通性通法的考查,应该成为中考考查的方向.因此老师们在第一轮复习过程中,要重视通性通法的教学,不要把精力荒废到钻研疑难怪题上.

4.重视对数学思想理解及运用的渗透

要对数学思想有目的,有计划地渗透,不可能全到第二轮复习中才讲.如告诉了自变量与因变量,要求写出函数解析式,或者用函数解析式去求交点等问题,都需用到函数的思想,教师要让学生加深对这一思想的理解,多做一些相关内容的题目;方程思想,它是利用已知量与未知量之间联系和制约的关系,通过建立方程把未知量转化为已知量;数形结合的思想,它是沟通代数与几何的桥梁;分类讨论思想,它是中考的热点和难点.

例6 如图13-4直角坐标系中,已知点P(-2,-1),

点T(t,0)是x轴上的一个动点. (1)求点P关于原点的对称点P?的坐标; (2)当t取何值时,△P? TO是等腰三角形?

【说明】此题涉及等腰三角形的分类讨论,△P? TO按顶点

的不同可分为:①以O为顶点,则T1(5,0),T2(5,0);

②以P? 为顶点,则T3(4,0);③以T为顶点,则T4( 5 ,0). 4

二、第一轮复习常用的几点操作方法

1.以《数学学习能力自测》为蓝本,梳理整个初中数学知识点,复习大致程序是:

⑴要求学生课前必须完成当天所要复习内容的基本知识并完成《中考复习指导》

基础演练习题;

⑵上课前老师必须调查学生的自习与练习情况,摸清学生学习现状,在此基础之上,评讲学生的练习,提出学生在该知识点学习中存在的问题;

⑶选取典型例题评讲.例题范围:《数学学习能力自测》中的例题探究和适当的补充例题,选取的问题必须侧重基础,题型全面,适当提高;

⑷学生课后按时完成《数学学习能力自测》中强化训练习题,并做好及时批阅和辅导,特别关注学生答题规范和无谓的失误.

2.第一轮复习要面向全体学生,尤其是学困生,复习教学要做到“低起点、多归纳、快反馈”.

⑴低起点.由于第一轮复习面向全体学生,尤其是基础较差的学困生,因此教学的起点必须低,以数、式的运算为起点,将教材原有的内容降低到学生可接受的程度上进行教学.从学生已掌握的知识、例子作为起点,通过新旧知识的异同点类比进行复习教学.如“解不等式”可以与“解方程”进行类比,“分式”可以通过“分数”、“相似形”可通过“全等形”进行类比教学等;

⑵多归纳.针对学生的实际情况,要给予学生多归纳、总结,使学生掌握一定的条理性和规律性.归纳主要是两个层面,第一是对课本知识的归纳,做到书越读越薄,第二是对例题与习题教学后的归纳,强调解题规律的剖析,注重解题过程的分析,形成特定的解题策略和方法.只有不断的总结,才能真正做到举一反三.

⑶快反馈.在第一轮复习中教师对于作业、练习、测验中的问题,应采用集中讲授和个别辅导相结合,或将问题渗透在以后的教学过程中等办法进行反馈、矫正和强化.及时反馈,可以提高补缺的效果,使学生及时获得帮助;受到激励,有利于激发学生的学习热情,提高非智力因素的教学作用.

3.对于第一轮复习的课堂教学,仍需有例题的讲解,并通过例题进行思维训练以及方法提炼.对于例题的处理,除了让学生先练后讲、讲在关键处之外,还要注意例题的价值分析,即对例题的解题方法的提练,否则就失去例题的作用,就等于是一道常规的训练题而已,要强调方法的重要性.

4.在第一轮复习时,除了快步走,还要多回头,多注意循环训练,每周应有一定的时间来进行巩固训练.回头训练时应该注意不是炒冷饭,而是注意收集前期复习中学生出现的一些错例,一些存在不足的知识点,进行针对性强的知识弥补训练.

5.注重对尖子生的培养.在解题过程中,要求他们尽量走捷径、出奇招、有创新,注重逻辑关系,力求解题完整、完美,以提高中考的正确率和优秀率.同时,对于尖子生在强化双基教学的同时,可以引导他们研究近年来各地中考大题,并以思想方法为主线对大题进行分类,以专题的形式进行思维的启迪.

三、第一轮复习时应注意的几个误区及相应的对策

1.复习无计划,效率低,体现在重点不准,详略不当,对大纲和教材的上下限把握不准.

【对策】教师必须明确方向,突出重点,对中考“考什么”、“怎样考”应了如指掌,总复习能否取得较佳的效果,是要看教师对《课标》、《考试说明》等理解是

否透彻,研究是否深入,把握是否到位,对于删去的内容就不要再花时间复习了,对于调整的内容按调整后的要求进行复习.

2.复习不扎实,漏洞多,体现在:

⑴高档题难度太大,扔掉了大块的基础知识;

⑵复习速度过快,学生心中无底;

⑶要求过松,对学生有要求无落实,大量的复习资料,只布置不批改.

【对策】不能让学生过早地做综合练习题及中考模拟题,而应以课本(或《数学学习能力自测》)的编排体系为主线进行系统复习.选题要难度适宜,举一反三,重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法;提倡增大课堂复习容量,但不是追求面面俱到,而是重点内容多用时间,非重点内容敢于舍弃,集中精力解决学生困惑的问题,增大思维容量,少做无用功,重点突出,让大部分学生学有新意,学有收获,学有发展.

3.解题不少,能力不高,表现在:

⑴以题论题,满足于解题后对一下答案,忽视解题规律的总结;

⑵题目无序,没有循序渐进;

⑶题目重复过多,造成时间、精力浪费.

【对策】要发挥学生主体地位作用,教会学生掌握复习策略(如做题,看书,独立思考,反思的好习惯),让学生参与解题活动,参与教学过程.

重视复习课中典型例题的讲解.通过例题让学生掌握学习方法,要求做到能举一反三,触类旁通.在例题教学中多用“变式训练”,如变条件、变结论、变图形、变式子、变表达方式等.习题也最好来源于课本和《中考复习指导》,对其中的题目进行演变,如适当改变题目的条件,改变题目的问法等等.

【命题趋势与方向预测】

1.重视数学基础知识、基本技能和数学思想的考查,并注重了考查方式的创新. 例7.写出一个无理数,使它与2的积是有理数,这个数是 .

2.在试卷中充分体现考查学生的实践能力和自主探究的能力,操作题、探究题和开放题等都将成为考试的热点和重点.

例8.用一条宽相等的足够长的纸条打一个结,如图13-5-1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图13-5-2A 所示的正五边形ABCDE,则∠BAC=.

3.继续体现《标准》的一些

新要求.选材时注意趣味性、现

图13-5-1

实性、开放性,注意学科之间的

整合,规律探索类题和运动类题继续是中考的亮点.

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初三数学第二轮复习方法

吴宇红 常熟市第一中学

【复习要达成的目标】

如果说第一轮复习阶段是总复习的基础,是重点,侧重双基训练,那么第二轮复习阶段就是第一阶段复习的延伸和提高,绝不是第一轮复习的压缩,而是一个知识点巩固、完善、综合、提高的过程. 即巩固第一轮学习成果,强化知识系统的记忆;完善是通过专题复习,查漏补缺,进一步完善强化知识体系;综合,是减少单一知识的训练,增强知识的连接点,增强题目的综合性和灵活性;提高是培养和提高思维能力,概括能力以及分析问题解决问题的能力.

【复习内容比重与时间安排】

1.复习内容

第二轮复习的时间相对集中,在一轮复习的基础上,进行拔高,适当增加难度;第二轮复习重点突出,特别是在热点、难点内容上.在这一轮复习中,要以数学思想、方法为主线,学生的综合训练为主体,减少重复,突出重点.这就需要充分发挥教师的主导作用,可进行以专题复习和专题模拟训练相结合的形式.专题通常分为“运动型问题”、“探究性问题”、“应用性问题”、“实验、操作型问题”、“阅读理解型问题”、“代数、几何综合型问题”等等.

2.时间安排

【复习方法指导】

下面以“阅读理解型问题”为例谈谈复习的一些具体做法,以资共勉. 阅读题是近几年中考中的热点新题型,这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规,不仅考查学生的阅读能力,而且综合考查数学意识和数学综合应用能力,尤其侧重于考查数学思维能力和创新意识.其基本的解题策略是:首先认真阅读题目中介绍的新知识,包括定义、公式、表示方法、背景及如何计算等,并且正确理解引进的新知识,读懂示例的过程及应用;其次能根据对呈现的新知识、新方法等进行

灵活运用,提炼题目的数学本质与内涵,抽象概括出数学思想与方法,注重知识的迁移与创新等.

一、方法模拟迁移型阅读:

此类问题,常常是事先给出问题背景,但在问题背景中却蕴含某种数学思想或方法,然后要求解答者通过阅读与理解,不仅要看懂背景问题所提供的思想或方法,还要能将所学到的思想或方法去解答后面所提出的新问题.

例1 在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y) (x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是: ________.(写出一个即可)

【分析】通过阅读,要求学生理解密码产生的原理,实质是考查因式分解,同时渗透了如何求代数式的值.

例2 定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数.

(1)若特征数为[2,k-2]的一次函数为正比例函数,求k的值;

(2)设点A,B分别为抛物线y=(x+m)(x-2)与x,y轴的交点,其中m>0,且△OAB的面积为4,O为原点.求图象过A,B两点的一次函数的特征数.

【分析】本题是定义类阅读理解题,要求学生根据呈现的新知识进行灵活运用.本质上重点考查学生对一次函数及二次函数知识的综合运用能力.本题难点在于第(2)小题,根据题中已知条件,在m>0的情况下,抛物线y=(x+m)(x-2)与x轴的交点(-m,0)、(2,0)分布在x轴的两侧,而抛物线与y轴的交点(0,-2m)在y轴的负方向上,由此想到满足条件的一次函数解析式应该有两个.从而根据△OAB的面积为4可得到m=2,题目得解.

【解】 (1)∵特征数为[2,k-2]一次函数为y=2x+k-2,

∴k-2=0,

∴k=2.

(2) ∵抛物线与x轴的交点A1(-m,0),A2(2,0),与y轴的交点为B(0,-2m). ∴ 若S?OBA1?4,则

若S?OBA21m?2m?4,m=2. 21?4,则?2?2m?4,m=2. 2

∴ 当m=2时,满足条件.此时抛物线为y=(x+2)(x-2), 它与x轴的交点为(-2,0),(2,0),与y轴的交点为(0,-4),

∴一次函数为y=-2x-4或y=2x-4,

∴特征数为[-2,-4]或[2,-4].

二、判断纠错型阅读:

此类问题,常常是事先给出详细的解答过程,但在解答的过程中却设下错误的陷阱,而这些错误也往往是学生在学习、应用这个知识的过程中常犯的错. 这就要求老师指导好学生认真读题,对给出的解答过程的每一步都仔细判断,确定解答或变形的依据,然后仔细判断题中给出的这个解答过程是否符合这个依据. 在“细”字上下功夫,可谓细节决定成功.

例3 阅读下列题目的解题过程:

已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.

【解】∵a2c2-b2c2=a4-b4 (A)

∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) (B)

∴c2=a2+b2 (C)

∴△ABC是直角三角形.

问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ;

(2)错误的原因为: ;

(3)本题正确的结论为: .

【分析】本题主要考查在等式两边同除以同一个数或式子时,必须保证这个数或式的值是非零的才行.而在实际考试或学生在做练习时,常常忽视这一点,因而造成解题的失误而丢分.

【解】(1)上述解题过程,从C步开始出现错误;

(2)错误的原因为:没有考虑a2-b2=0,就在等式的两边同除以了这个式子;

(3)当a2-b2=0时,得a=b,此时△ABC是等腰三角形.当a2-b2≠0时 △ABC是直角三角形. 所以本题正确的结论为:△ABC是直角三角形或等腰三角形.

例4 下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:

学习等腰三角形的有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲:“其余两角是30°和120°”;王华同学说:“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法.

(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?

(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示.)

【分析】本题以等腰三角形为背景提出一个学生很容易出现错误的问题.通过问题的正确解答,培养学生树立用分类的思想去正确求解等腰三角形的相关问题.而在实际考试或学生在做练习时,学生常常忽视这一点,因而造成解题的失误而丢分.

【解】(1)答:上述两同学回答的均不全面,应该是:

其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.

理由如下:

当∠A是顶角时,设底角是?.

则30?+?+?=180?,∴?=75?.∴其余两角是75°和75°.

当∠A是底角时,设顶角是β,

∴30?+30?+β=180?,β=120?.

∴其余两角分别是0°和120°.

(2)感受答有“分类讨论”,“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的语句就可以.

【说明】本题体现了分类讨论的思想.全面考虑问题的各种可能情形是数学严谨性的体现.

三、归纳、猜想型阅读

此类问题,常常是事先给出问题背景,但在问题背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论.她要求读者通过阅读与理解,不仅要归纳、猜想出背景问题所蕴含的规律或结论,还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面所提出的新问题.

例5 阅读下面材料并完成填空.

你能比较两个数20012002和20022001的大小吗?为了解决这个问题,先把问题一

+般化,即比较nn1和(n+1)n的大小(n≥1的整数).然后,从分析n=1,n=2,n=

3,??,这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论.

(1)通过计算,比较下列①~③各组两个数的大小(在横线上填“>”“<”或“=”)

①12_____21; ②23______32; ③34______43;

④45>54; ⑤56>65; ⑥67>76; ⑦78>87;?

+(2)从第(1)小题的结果经过归纳,可以猜想出nn1和(n+1)n的大小关系是:_______.

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,可以得到20012002______20022001(填“>”“<”或“=”).

【分析】本题从几个特殊的范例启发学生,不难发现其中的规律.

【解】(1) ① 12 < 21; ② 23 < 32; ③34 > 43;

++(2) 当n≤2时 nn1<(n+1)n ;当n>2时,nn1>(n+1)n

(3) 20012002 > 20022001

【说明】本题是考查学生归纳、探索规律能力的概括探究型阅读题,渗透了不完全归纳法的思想.

四、补充完善型阅读

此类问题,常常是事先给出问题背景,但在问题背景中有着不完善的解答过程或蕴含某种结论.它要求读者通过阅读与理解,不仅要完善解答过程,还要解答后面所提出的新问题.

例6 我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下,它们会全等?

(1)阅读与证明:

对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).

对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:

已知:△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1Cl,∠C=∠Cl. 求证:△ABC≌△A1B1C1.

(请你将下列证明过程补充完整)

【证明】分别过点B,B1作BD⊥CA

于D,

B1 D1⊥C1 A1于D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90°,

∵BC=B1C1,∠C=∠C1,

∴△BCD≌△B1C1D1, 图14-1

∴BD=B1D1.

(2)归纳与叙述:

由(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.

【分析】本题第(1)问是考查学生边边角证三角形全等,虽然学生都清楚边边角不能证明2个任意三角形全等,但通过分类后可以分别证明,这个并不困难.关键是第

(2)问结论的正确表述,虽然三种情况下都能证出全等,但不能概括成一种情况,还是要归纳为三种分别得出结论.

【解】(1)分别过点B,B1作BD⊥CA于D,

B1 D1⊥C1 A1于D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90°,

∵BC=B1C1,∠C=∠C1,

∴△BCD≌△B1C1D1,

∴BD=B1D1.

又∵AB=A1B1,∠ADB=∠A1D1B1=90°.

∴△ADB≌△A1D1B1,

∴∠A=∠A1,

又∵∠C=∠C1,BC=B1C1,

∴△ABC≌△A1B1C1.

(2)若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,且AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,则△ABC≌△A1B1C1.

若△ABC、△A1B1C1均为直角三角形,且AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,则△ABC≌△A1B1C1.

若△ABC、△A1B1C1均为钝角三角形,且AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,则△ABC≌△A1B1C1.

例7 如图14-2-1,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,但AD≠CD,我们称这样的四边形为“半菱形”.小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”,他的说法正确吗?请你判断并证明你的结论.

【分析】“半菱形”是一

类“特殊”的四边形,其

面积计算无现成的公式

可套用.但我们想到的是

四边形往往通过转化成

三角形来研究,而三角形图14-2-1 图14-2-1 的面积计算是同学们相

当熟悉的,这样问题就归结为证明两对角线互相垂直,结合已知条件问题也就顺利得到解决.

【解】他的说法正确.

证明如下:

方法一:如图14-2-2,设AC,BD交于点O,

?AB=AD,BC=DC,AC=AC,

∴△ABC≌△ADC,

∴∠BAC=∠DAC, 而AB=AD,

∴AO⊥BD.

?S?ABD?

∴11BD?AO,S?BCD?BD?CO, 22

1111BD?AO?BD?CO?BD(AO?CO)?BD?AC2222S四边形ABCD?S?ABD?S?BCD?

方法二:?AB=AD,

∴点A在线段BD的中垂线上.

又?CB=CD,

∴点C也在线段BD的中垂线上,

∴AC所在的直线是线段BD的中垂线,即BD⊥AC,

设AC,BD交于点O, ?S?ABD?11BD?AO,S?BCD?BD?CO,故: 22

1111BD?AO?BD?CO?BD(AO?CO)?BD?AC 2222S四边形ABCD?S?ABD?S?BCD?

【命题趋势与方向预测】

综观实行课程标准来,我省历年各地试卷普遍关注对数学核心内容、基本能力和基本思想方法的考查,关注对学生数学活动过程的考查,试题背景注意贴近教材和学生的生活实际,试题形式总体稳定并有所创新.预测明年试卷将根据课程标准的理念,继续注重基础,突出能力,关注创新,力求发展.在试题的呈现形式上体现为:紧扣教材,重视对数学基础知识、基本技能和基本思想方法的考查;突出数学与生活实际、数学与其他学科的整合;注重对“实验操作”能力的考查,注意考查

阅读理解、信息加工处理的能力;增强试题的变化性和开放度,注重对探索能力的考查等.

【复习建议】

(1)第二轮复习不再以节、章、单元为单位,而是以专题为单位.专题的划分要合理.

(2)专题的选择要准,时间安排要合理.专题选的准不准,主要取决于对课程标准和中考题的研究.专题要有代表性,切忌面面俱到;专题要有针对性,围绕热点、难点、重点,特别是中考必考内容选定专题;根据专题的特点安排时间,重要处要狠下功夫,不惜“浪费”时间,舍得投入精力.

(3)注重解题后的反思.

(4)以题代知识,由于第二轮复习的特殊性,学生在某种程度上远离了基础知识,会造成程度不同的知识遗忘现象,解决这个问题的最好办法就是以题代知识.

(5)专题复习应适当拔高.专题复习要有一定的难度,没有一定的难度,学生的能力是很难提高的,而提高学生的能力,这是第二轮复习的主要任务.但也要兼顾各种因素,把握好一个度,讲解过程中要兼顾能力的发展和基础的积累.要使每个专题使学生都有收获,不同的学生都有感悟.

(6)专题复习的重点是揭示思维过程.学生应做一定量的数学题,积累解决综合问题的经验,增强自信心.但切忌搞题海战术.不能加大学生的练习量,把学生推进题海.

(7)专题模拟训练应及时到位,一般2~3个专题结束可进行一次模拟训练,目的是考查学生运用数学知识解决新问题的能力,进一步培养学生的数学思想,发展学生的数学思维.

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专题一 运动型问题

丁海燕 张家港市崇实初级中学

【试题特点】

聚焦近几年中考的运动型问题,运动型问题主要包含质点运动型问题与图形变换型问题两类.是以各种几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题,探求图形中的某一元素的运动变化中,其结论的不变或变化规律.它集代数、几何知识于一体,题目灵活、多变,动静结合,较好地渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想,综合性较强,已成为中考热点试题.

【试题分类赏析】

(一)质点运动型问题

1.在选择题中探究两变量的函数大致图象.

例1 如图15-1,AB是半圆O的直径,点P从点O出发沿OA-AB-BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间

为t,则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是 ( )

O

A.

B. C. D.

【分析】P点在线段OA上时,s随着t的增大而增大,P点在半圆AB点上时,在PO的长始终等于半径,P点在线段OB上时,s随着t的增大而减小.

【解】选C.

【说明】此类选择题主要借函数图象反映两变量的变化趋势,可通过抓住一些特殊点和一般点进行比较,揭示了运动与静止,一般与特殊的内在的联系.

2.填空题探究点在运动过程中的最值问题.

例2 如图15-2,在锐角三角形ABC中,AB

=C,∠BAC=45?,∠BAC的平分线交BC于点D,

M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最

小值是_______.

【分析】AD是∠BAC的平分线,AD所在直线是∠

BAC的对称轴,则在边AC上必存在点N的对称点

DN图15-2

N?,则MN?=MN,则BM+MN=BM+MN? ≥N?B.当N,M,B三点共线时,BM+MN最小,就等于N?B.而N?B最小即N?B⊥AC时,所以BM+MN的最小值为4.

【解】4.

例3 已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是 .

【分析】取AB的中点D,连结CD、OD,

则CD

=2a,OD=a

2,求OC的长的最

大值,就是求OC≤CD+OD

2a,

OC

2a.

2a.

【说明】例2这种类型的题目比较普遍常见,利用图象的对称性和两点之间线段最短求两线段之和的最小值,而例3不常见,图中Rt△ABO随着动点A,B的移动形状发生改变,正△ABC随着动点A,B的移动边长,形状没有改变,但位置发生改变,但Rt△ABO中斜边上的中线始终等于斜边的一半,正△ABC中AB边上的中线

(定值),当且仅当O,D,C三点共线时等于号成立.例2和例3恰好都运用了当三点不共线时,两边之和大于第三边,当三点共线时,等于号成立.当等号成立时,是左边两线段和的最小值就等于右边线段,右边线段的最大值就等于左边的两线段之和.

3综合题中探究动点问题中的定值.

例4 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y?124x?x?10与x轴的189

交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点

的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四

边形?请写出计算过程;

(3)当0<t<9时,△PQF的面积是否总2

为定值?若是,求出此定值,若不是,请说

明理由;

【分析】本题的(2)题考查无论为何值,PA

=QC的等量关系不变,以此等量关系来

列方程求t的值;第(3)题△PQF面积的值图15-4

与底和高有关,本题以PF为底,高是定

值(平行线间的距离处处相等),观察底PF是否与t无关,也是定值.本题涉及三组相似三角形的相似比,最终确定的△QEC与△FAE相似比是1:4,从而AF=OP,从而PF=AO=18.

122x?8x?180,令y=0得x?8x?180?0,?x?18??x?10??0 【解】(1)y?18

∴x?18或x??10, ??

∴A(18,0).令x?0得y?10即B(0,?10).

∵BC∥OA,

∴点C的纵坐标为-10, 124x?x?10得x?8或x?0, 由?10?189

即C?8,?10?且易求出顶点坐标为?4,??

?98??. 9?

98). 9∴A(18,0),B(0,?10),C(8,?10),顶点坐标为(4,?

(2)若四边形PQCA为平行四边形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可,而PA?18?4t,CQ?t故18?4t?t得t?18. 5

(3)设点P运动t秒,则OP?4t,CQ?t,0?t?4.5,

说明P在线段OA上,且不与点OA重合,

∵QC∥OP知△QDC∽△PDO,

∴QDQCt1DQ1???则? DPOP4t4,QP5

∵△QDE∽△QPF

∴QEDQ1QE1? ??∴QFQP5EF4

∵△QEC∽△FEA

QCQE1?? AFEF4

∴AF?4t?OP ∴

∴PF=OA=18

又点Q到直线PF的距离d?10,∴S?PQF?11?PF?d??18?10?90, 22

于是△PQF的面积总为90.

【说明】动点问题实质就是考查学生用字母表示线段的能力,在因动点而导致的图形的变化过程中能牢牢把握其中的量与量之间的关系,运动路程用速度*时间来表示,剩余路程用线段长减运动路程,相似三角形对应线段成比例,用相似比来表示对应线段.本题结合图形能发现图形中所具有的平行四边形的对边平行且相等.这些方法是在动点的综合题中经常要运用的方法,要学生通过训练达到熟练用字母来表示线段,实质就是函数的思想,用一个变量来表示另一个变量.定值问题是特殊的常量函数,所表示的量是个常量.

4综合题中探究动点问题中的常用的分类讨论的数学思想.

例5 如图15-5,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60o

(1)求⊙O的半径.

(2)若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动,设运动的时间为t(s) (0<t<2),连接EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形.

BAF

B

AB

图15-5

【分析】本题第(2)题随着点E和点F的运动,△BEF的形状发生改变,△BEF有如

oo上图的两种可能,要对△BEF的形状进行分类讨论(1)∠EFB=90,(2) ∠FEB=90

【解】(1)∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90?.

∵BC=2cm, ∠ABC=60 o,

∴AB=4 cm,即⊙O的半径为2cm..

(2)AE=2t,BF=t,BE=4-2t.

4?2t

BE4?2t14??,t=. 当(2)∠FEB=90?时,cos60o=BFt25

4∴t=1或. 5

【说明】动点问题中随着点的运动图形的形状会发生改变,所以当它图形是直角三当(1)∠EFB=90?时,cos60o=BFBE?t, t=1. 角形,等腰三角形,或三角形相似等问题常常要对它进行分类讨论.近几年中存在性问题中也常常体现分类讨论的思想.

(二)图形运动型问题(主要以几何图形、函数图象的平移为主)

(1)综合题中探究几何图形的运动而导致重叠部分形状的改变

28例6 如图15-6-1,已知直线l1:y??与3x3

直线ly??2x?16相交于点C,l1、l2分别交x轴于A、2:B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,

顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合. (1)求△ABC的面积; 图15-6-1 (2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;

(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t (0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.

【分析】本题是将矩形DEFG平移,导致与?ABC重叠图形的形状发生改变.

要求能分析出图中哪几个临界点,对自变量进行分段,用关于t的函数来表示.

28【解】(1)由x??0,得x??4,∴A点的坐标为(-4,0). 33

由?2x?16?0,得x?8.

∴B点的坐标为(8,0).

∴AB?8???4??

12.

28?

?x?5?y?x?

由?, 33,解得?

y?6.???y??2x?16

∴C点的坐标为(5,6).

11

?yc??12?6?36. ∴S?ABC?AB?22

?yD?(2)∵点D在l1上且xD?xB?8,

∴点D坐标为(8,8),

28

?8??8. 33

∵点E在l2上且yE?yD?8, ??2xE?16?8.?xE?4.∴E点坐标为(4,8)∴OE=8-4=4,EF=8

(3)①当0≤t<3时,如图15-6-2,矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR (t=0时,为四边形CHFG).过C作CM?AB于M,则

Rt△RGB∽Rt△CMB.

图15-6-3

图15-6-4

图15-6-2 ∴

BGRGtRG

?,,即?∴RG?2t. BMCM36?Rt△AFH∽Rt△AMC,

112

∴S?S△ABC?S△BRG?S△AFH?36??t?2t??8?t???8?t?.

223

421644

.即S??t?t?

333

②当3≤t<8时如图15-6-3,矩形DEFG与△ABC的重叠部分为梯形HFGR. 由①知,HF=

2

?8?t?. 3

∵Rt△AGR∽Rt△AMC,

RCAGRG12?t

??∴,即,

CMAM69

∴s?1122880?8?t?12?t?4即S=?t?. ?HF?RG??FG??????.?22?333?3?

③当8≤t≤12时,如图15-6-4所示,矩形DEFG与△ABC的重叠部分为△AGR, 由②知,AG?12?t,RG?

∴S=2?12?t?, 3112111442AG?RG??12?t??12?t?.即S??12?t?.∴S?t2?8t?. 223333

【说明】图形的平移导致与其他图形的重叠部分形状发生改变,考查学生能运用函数,数形结合、分类讨论等数学思想在解题中灵活运用,也是对学生动手操作、空间想象能力的考查.

【教学建议】

(1)对于想象能力不够强的学生,为防止在分类讨论时分类不完整,也可让学生运用透明的纸片或网格纸做实验,在实验中仔细观察.特别是遇到更复杂的重叠部分的情况.如09年山西的第26题,但09年长春的第26题就考查学生的空间想象能力,无法动手实验.

(2)平时上课可借助多媒体几何画板演示图形移动过程中图形的的形状在改变而且重叠部分的面积也在变化的例题,让学生积累这类题的感性认识,积累解题经验.本题还可以在此基础上进行延伸拓展:求重叠部分面积的最大值.即求函数的最值问题,也是中考热点之一.

(2)探究抛物线的平移

例7 已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).

①求该函数的关系式; ②求该函数图象与坐标轴的交点坐标;

③将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至点A′,B′, 求△OA′B′的面积.

【分析】③题利用第②小题求得的与x轴的交点求出将原函数向右平移的距离,即可求得A′,B′的坐标,进而构造求得△OA′B′ 面积.

【解】①由顶点A(-1,4),可设函数关系式为y?a(x?1)2?4,(a?0).由图象过点B(2,-5),得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数关系式为y=-(x+1)2+4.

②令x?0,得y=-(0+1)2+4=3,故图象与y轴交点为(0,3).令y=0,得0=-(x+1)2+4,解得x1??3,x2?1.故图象与x轴交点为(-3,0)和(1,0). ③函数图象向右平移3个单位后经过原点.故A′(2,4).B′(5,-5).从而S△OA?B??15.

【说明】本题抛物线平移的可通过一组对应点(-3,0)向右平移一个单位到(0,0)

确定平移的距离为3,从而得到其他点A(-1,4),B(2,-5)两点的对应点A′(2,4),B′(5,-5),然后根据点的坐标求△OA′B′面积.也可以平移坐标轴,如把x轴上移2个单位,把y轴左移3个单位,相当于把抛物线下移2个单位,再右移3个单位.平移是初中几何图形的四大变换之一,也和函数图象及坐标轴紧密相关,是中考的常考内容.试题的出现形式也不拘一格,选择、填空、作图以及压轴题都有平移的身影,但不管以什么形式出现,牢牢掌握平移的特征是解决此类问题的法宝.

【命题趋势与复习建议】

1.命题趋势

通过以上分析,运动型问题作为中考试卷中的“区分题”或“压轴题”并非偶然或巧合.预测2010年中考运动型问题命题将突出以下几个特点:

(1)运动型问题的设置会注意知识面的覆盖,考查学生的基础知识、基本

技能、基本思想方法的“三基”要求,及逻辑思维能力、综合运算能力、 空间想象能力和用所学基础知识分析和解决问题的能力的“四能”.

(2)此类试题具有动静结合,以静制动,从特殊到一般的特征,综合性较

强,既可考查几何知识(相似,等腰三角形及特殊的四边形,圆)的综合运用能力,又能联系函数与方程等重点代数知识,处于知识点的交汇处,预测运动型试题作为中考填空或倒数两个压轴题的可能性较大.

(3)试题将进一步强调试题的基础性、应用性、开放性、探究性.

2.复习建议

(1)学习课标,深研教材.重视核心内容的教学,抓好基础,发展能力,以期达到“以不变应万变”的效果.

(2)加强近几年试题研究.把握中考运动型问题的考查方式及试题特点,教学设计可设“运动型专题”,在解题教学中,要充分重视利用多媒体课件直观演示或实物操作,从中发现运动变化规律,增强感性认识,并适时适度进行一题多解、一题多变的训练,达到举一反三,融会贯通,克服畏难情绪,激发学生的探究热情.

(3)注重解题后的反思,使学生在反思中明确解这类试题时,不论是点动,线动还是形动,关键是抓住“静”的瞬间,“以静制动”是良策,有机渗透数学思想方法是解题关键.

(4)平时的教学实践多思考设计一些新颖的动态场景,(如几何画板的运用)让学生通过实验,操作,观察,和分析,归纳来发现规律等.提高学生的数学素养和空间想象能力.让学生运用所学的数学基本知识和基本技能,结合数学方法和数学思想来提高分析问题,解决问题的能力决非朝夕就能实现的,需要师生在平时的教学中日积月累的.

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专题二 探究性问题

张家港市崇实初级中学 林虹

【试题特点】

在近几年全国各地的中考试卷中,常常能看到许多值得回味的探究性问题.所谓探究性问题,是指问题的条件或结论尚不明确,需通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.这类问题能很好地实现对学生数学品质的考查,这和新课程的理念相符,因此探究性问题也就很自然地成为近几年新课程中考的热点问题.

探究性问题的“探究性”是与传统问题的“明确性”相对而言的.一般情况下,传统问题条件完备,结论明确,只需计算结果或对结论加以论证.而探究性问题则是通过对问题的剖析,选择并建立恰当的数学模型,经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路.

【试题分类赏析】

探究性问题按探究方向可分为条件探究题、结论探究题、规律类探究题、开放性探究题、存在性探究题、动手操作类探究题等.

D A 1。条件探究题

条件探究题一般采用分析法进行逆推. 例1 如图16-1,在四边形ABCD中,已知AB与

CD不平行,?ABD??ACD,请你添加一个条

C 件: ,使得加上这个条件后能够推出 图16-1 AD∥BC且AB=CD.

【分析】四边形的知识往往转化为三角形的知识来解决.本题要得到AB=CD,只需两个三角形全等,即?ABD≌?ACD或?ABC≌?DCB.若需?ABD≌?ACD,因已有?ABD??ACD和公共边AD,故只需添另一对角相等. 若需?ABC≌?DCB分析类似.

【解】?DAC??ADB,?BAD??CDA,?DBC??ACB,?ABC??DCB,OB?OC, OA?OD;(任选其一)

【说明】本题型的特征是缺少确定的条件,必须添加

必要的条件,才能是结论成立,而这个条件往往不止

一个.这类题求解时首先要从结论入手,执果索因,逆

向思维,探索结论成立的条件.

2.结论探究题

结论探究题一般运用综合法推导.

例2 如图16-2,在?ABC中,AB=2BC,点D、

点E分别为AB、AC的中点,连结DE,将△ADE绕

点E旋转180?得到△CFE.试判断四边形BCFD的形

状,并说明理由. 图16-2

1?【分析】由三角形中位线定理可知DE=BC,DE∥BC.又由?ADE旋转180可得2

DE=EF,故DF=BC,得平行四边形BCFD.又易得BD=BC,从而四边形BCFD为菱形

【解】四边形BCFD是菱形,理由如下:

∵点D、点E分别是AB、AC的中点 1∴DE=BC,DE∥BC 2

又∵?CFE是由?ADE旋转180而得

∴DE=EF

∴DF∥BC,DF=BC

∴四边形BCFD是平行四边形

又∵AB=2BC,且点D为AB的中点

∴BD=BC

∴四边形BCFD是菱形

【说明】这类题给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论.它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论.这类题主要考察解题者的发散性思维和所学知识的应用能力.

3.规律类探究题

规律类探究题则是综合合情推理与演绎推理,使得问题得解.

例3 观察下表,回答问题:

第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍.

【分析】根据上表中图形的数量,列出下表:

?

把表中“△”的个数与“○”的个数分别与图形序号进行比较,可以发现在第n (n为正整数)个图形中,“△”的个数是n2,“○”的个数4n

要使图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍,则需n2=5﹙4n﹚

解得n1=0,n2=20(因为正整数,故0不合题意,舍去),所以第20个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍.

【解】20

【说明】探索规律问题在中考试卷中已经屡见不鲜,通常以探索一种图形数量规律的居多,而本题要同时探索两种图形的数量规律,而且通过两种图形数量之间的等量关系,把方程融入其中,别具一格。我们在教学中,也应该学会洞察知识之间新的契合点,培养学生的创造性思维。

4.开放性探究题

开放性探究题中的“开放性”是与传统问题中条件结论的“封闭性”相对而言的.其开放性主要体现在问题的答案不唯一,在知识结构方面要求学生有较全面、扎实的数学功底,在思维方式方面要求学生会自主地进行多层次、多角度的探索,其解答往往能很好地考查学生的基本数学素质,体现了“以人为本”的思想——对于同一问题,不同的学生站在不同的角度有着不同的理解.

例4 一辆汽车从A地驶往B地,前1路段为普通公路,其余路段为高速公路.已3

知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.

请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次....方程组解决的问题,并写出解答过程. ...

【分析】本题要求就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出问题,而且只能用“二元一次方程组”来解决问题。下面从列表分析,看能有多少种不同的提问方式:

表中有A、B、C、D、E 5个空,我们可以任意选2个空作为问题提出来,都满足题目要求。这样就有10种提问方式下面仅列举4种方式。

方式1:从A、B这2个空来提问:普通公路和高速公路各为多少千米?

【解】设普通公路长为xkm,高速公路长为ykm.

根据题意,得2x=y,xy??2.2 60100

解得x=60,y=120

方式2:从D、E这2个空来提问:汽车在普通公路和高速公路各行驶了多少小时?

【解】设汽车在普通公路上行驶了xh,高速公路上行驶了yh

根据题意,得x?y?2.2,60x?2?100y

解得x=1,y=1.2

方式3:从A、C这2个空来提问,普通公路和两地公路总长各为多少千米?

【解】设普通公路长为xkm,两地公路总长为ykm

1xy?xy,??2.2 360100

解得x=60,y=180

方式4:从A、D这2个空来提问:普通公路有多少千米,汽车在普通公路上行驶了多少小时?

【解】设普通公路长为xkm,汽车在普通公路上行驶了yh

根据题意,得x=60y,2x=100(2.2﹣y)

解得x=60,y=1

【说明】本题是一道应用题,给出一些条件,但没有明确提问.该题要求考生根据所给信息,就自己提出的问题进行解答.这属于结论“有限”开放型题目.说到“有限”,是因为题目实际上限定了只能就该汽车的“路程”或“时间”提问,并且提出的问题要能用“二元一次方程组”解决.它要求解题者从分利用条件进行大胆而合理的猜测,发现规律,得出结论.这类题主要考察考生的发散性思维和所学知识的应用能力.

5。存在性探究题

存在性探究题一般在假设存在的基础上建立适当的数学模型(如函数、方程、不等式等),运用一定的数学思想方法(如数形结合、分类讨论等),通过计算或推理确定是否存在.

例5 如图16-3,在直角坐标系中,点A的根据题意,得x?坐标为??2,0?,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120?,得到线段OB.

(1)求点B的坐标; (2)求经过A,O,B三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使

?BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;

若不存在,请说明理由. (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x

轴的下方,那么?PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及?PAB的最大面积;若没

有,请说明理由.

【分析】(3)中要使?BOC的周长最小,只需在抛物线的对称轴上找点C使得OC﹢BC最小.根据“两点之间线段最短”,利用轴对称性可得点O关于抛物线对称轴的对称点为点A,连结点A点B与抛物线的对称轴的交点就是所求的点C

1?1(4)假设P?x,y?,则?

PAB的面积可表达为.故可得当x??时,

x???2?22

?PAB

的面积的最大值

?1 P??

,?2??【解】(1)B

,此时?(2)设抛物线的解析式为y?ax?

x?a?,代

入点B

,得a?

因此y?

?, 2 (3)如图16-4,抛物线的对称轴是直线 x??1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,?BOC的周长最小.

设直线AB为y?kx?b

图16-4

?k????k?b??,

所以?解得?

???2k?b?0.?

b??因此直线AB为y?

当x??

1时,y?

?, 因此点C的坐标为?.

(4)如图16-5,过P作

y轴的平行线交AB

S?PAB?S?PAD?S?PBD?1???x?2??????2x

?1

(yD?yP)(xB?xA)2

2??????3?

??

?

1?? x????2?2

?11当x??时,?

PAB,此时P??, ?

?2?2

【说明】本题同时涉及代数与几何知识,是综合性很强的题型.(3)中抛物线的对称轴相当于一条河流,点B 、点C相当于两个村庄,此小题的数学模型为“一条河流两个村庄”.(4)中利用图形的分割表达出三角形的面积,得到数学模型“二次函数”,再应用二次函数的最值解决问题.重点考查了学生综合分析问题、解决问题的能力及想象、推理能力.在复习时要对函数、一元二次方程及图形的变换等内容熟练掌握,并对此类题型作重点练习.

6.动手操作类探究题

例6 在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A, C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图16-6). (1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数; (3)设?MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你

的结论.

【分析】⑴边OA在旋转过程中所形成的图形是以OA为半径,45?为圆心角的扇形.

⑵求正方形OABC旋转的度数即求

?AOM的度数.易得?OAM≌?OCN,从而

?AOM??CON,又由于直线y=x与x轴的夹角为45?, 图16-6

x

1所以?AOM?(90??45???????? 2

⑶延长BA交y轴于E点,得?OME≌?OMN,从而MN=ME,再由线段的等量代换的?MBN的周长p=AB﹢BC=4?

【解】(1)∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,

∴OA旋转了45?.

45??22?∴OA在旋转过程中所扫过的面积为?. 3602

(2)∵MN∥AC,

∴?BMN??BAC?45?,?BNM??BCA?45?.

∴?BMN??BNM.

∴BM=BN.

又∵BA=BC,

∴AM=CN.

又∵OA=OC,?OAM??OCN,

∴?OAM≌?OCN.

∴?AOM??CON. 1∴?AOM?(90??45????????. 2

∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为

45?????????????. (3)答:p值无变化. 【证明】延长BA交y轴于E点, 则?AOE=45?-?AOM, ?CON=90?-45?-?AOM=45?-?AOM,

∴?AOE??CON.

又∵OA=OC,?OAE=180?-90?=x 90?=?OCN, ∴?AOE≌?OCN. 图16-7

∴OE=ON,AE=CN.

又∵?MOE??MON?450,OM=OM,

∴?OME≌?OMN.

∴MN=ME=AM﹢AE.

∴MN= AM﹢CN.,

∴p?MN?BN?BM?AM?CN?BN?BM?AB?BC?4.

∴在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.

【说明】操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进行图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换,通过操作和理解性的思考,考察解题者的空间想象、推理和创新能力.题目既有难度中等的小型题,也有注重知识形成过程、体现数学思想方法的探索性问题.解决此问题的关键是抓住图形变化中的不变性.引导学生一步步思考,层次分明,层层递进,能较好地培养学生的探究能力.

【命题趋势与复习建议】

1.命题趋势

探究性问题命题的设置往往综合观察、实验、归纳、猜想、论证等探究性活动.通过对近几年各地中考试题的分析,不难发现如下趋势:

(1)探究题未必是难题.许多探究性问题都是以经典的基础题甚至是课本习题为背景改编而成.

(2)对于《数学课程标准》中“新增”内容或增加篇幅的内容,如概率统计、图形的变换、课题学习等,因为其“新”,故而引发了命题者的无限遐想,于是以此为背景产生了众多新试题.

(3)新课程强调学生的活动,于是,实验操作也就自然地走进了中考试题.

(4)探究问题往往是各地中考“压轴题”的命题方向,在实际探究过程中.往往要用到各种数学思想方法,如分类讨论思想、数形结合、化归思想、函数与方程思想,等等.

2.复习建议

为使学生能更好地适应探究性问题的挑战,在复习中,教师应注意以下几个方面:

(1)在课堂教学中,问题的呈现方式应具有多样性,活泼多样的题型更有利于激发学生的探究欲望.

(2)在所选课堂例题的问题设置方面,跨度不妨适当大一点,从而使得问题更具挑战性.

(3)利用经典的传统问题改编一些难度适中的探究题,让学生通过实践切实理解探究题的探究性及其一般探究方法.

(4)结合生活实践创设相应的情境,放手让学生去进行一些有关数学学科的研究性活动,以增强学生的探究能力.

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专题三 应用性问题

姚建萍 张家港市崇实初级中学

【试题特点】

应用性问题,是指有实际背景或现实意义的数学问题.在近几年的中考试题中,涌现了一批贴近生活实际、富有时代气息的新型应用性问题.应用题突出考察学生的创新意识和实践能力,它主要有以下几个特点:

(1)取材于学生熟悉的生活实际,创设新情境,具有时代气息和教育价值.

(2)呈现方式多样,往往是文字语言、图形、表格、图像等结合使用.

(3)新型应用题——课题研究性学习类试题悄然出现,立意深、情境新、思维价值高.

(4)重视考查学生的数学建模思想和应用数学的意识和能力.

【试题分类赏析】

应用性问题的类型一般有方程(组)应用问题、不等式(组)应用问题、函数应用问题、统计应用问题、几何应用问题等.

1.建立方程(组)模型

方程(组)模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系上更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界.

例1 五一期间某校组织七、八年级的同学到某景点郊游,该景点的门票全票票价为15元/人,若为50~99人可以八折购票,100人以上则可六折购票.已知参加郊游的七年级同学少于50人,八年级同学多于50人而少于100人.若七、八年级分别购票,两个年级共计应付门票费1575元,若合在一起购买折扣票,总计应付门票费1080元.问:

(1)参加郊游的七、八年级同学的总人数是否超过100人?

(2)参加郊游的七、八年级同学各为多少人?

【分析】根据问题中的等量关系可以判断这是一道方程组应用题,考查了学生列方程组解应用题的能力,解题时首先通过估算判断出参加郊游的七、八年级同学的总人数的范围,这为解决第(2)问提供一个平台,第(2)问应抓住两种购票方案的等量关系列出方程组,从而解决问题.

【解】(1)全票为15元,则八折票价为12元,六折票价为9元. ?100?15?1500?1575

∴参加郊游的七、八年级同学的总人数必定超过100人.

(2)设七、八年级参加郊游的同学分别有x人、y人,由(1)及已知

50?y?100,x?y?100. 得:x?50,

依题意可得:??15x?12y?1575?x?45,解之得:? ?9(x?y)?1080?y?75

答:参加郊游的七、八年级同学分别为45人和75人.

【说明】近年来的中考应用题往往与实际生活紧密联系,善于创造问题新情境.本题的知识点主要考查方程或方程组的应用,抓住题中的等量关系是解决此类问题的关键.

2.建立不等式(组)模型

现实世界中普遍存在着不等关系,如日常生活中的市场营销、经济核算、规划策略等问题,许多命题者将社会热点、新闻事件等重大题材摄入视野,构思成问题情境,这些问题往往可以运用不等式(组)模型来解决.

例2 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产A、B两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得的利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如下表:

(1)冰箱厂有哪几种生产方案?

(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?“家电下乡”后

农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种

方案下政府需补贴给农民多少元?

(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品:体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6000元,实验设备每套3000元,办公用品每套1800元,把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种.

【分析】根据问题中的不等关系可以判断这是一道不等式(组)应用问题,考查了学生列不等式(组)解应用问题的能力,第(1)问只需根据“利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元”列出不等式组,然后求不等式的整数解;第(2)问可以用算术方法计算三种生产方案的生产成本,也可以运用函数的性质加以说明,第(3)问根据“用尽且三种物品都购买”的等量关系列出三元一次方程,然后分类讨论求方程的整数解,从而解决问题,也可以用排列的方法解决.

【解】(1)设生产A型冰箱x台,则B型冰箱为?100?x?台,由题意得: 47500≤(2800?2200)x?(3000?2600)?(100?x)≤48000

解之得:37.5≤x≤40 ?x取正整数 ∴x取38,39或40.

y?2200x?2600(100?x)??400x?260000

∴y随x的增大而减小,∴当x?40时,y有最小值260000.

即生产A型冰箱40台,B型冰箱60台,该厂投入成本最少,

此时,政府需补贴给农民(2800?40?3000?60)?13%?37960(元)

(3)实验设备的买法共有10种.

【说明】近年来比较流行的规划策略类等问题,主要涉及一元一次不等式组的应用,及不等式组整数解的问题,在列不等式组求解的过程中要注意方案的完整性及最优化.学生习惯于解方程或方程组应用问题,而事实上不等式(组)的应用问题更广泛,教学中需要引起足够的重视.

3.建立函数模型

函数是刻画动态变化过程中数量之间关系的数学模型,考查学生从实际问题情境中构建函数模型的能力已成为中考的重中之重.

例3 王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图17-1-1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图17-1-2所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

图17-1-1 图17-1-2

(1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式;

(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间才能使这30分钟的学习收益总量最大?(学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)

【分析】本题以学生的学习效益为背景,贴近学生的生活并具有一定的新颖性.其数学模型实际上就是一次函数与二次函数,渗透了是函数思想和分类讨论的数学思想.本题的数量关系主要通过函数图象来呈现,解决本题的关键在于审清题意,结合文字语言,从函数图象中提炼出有用的信息进行建模.第(3)问中,若设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟,则他用于解题的时间为(30-x)分钟.其学习效益总量应该是上述两个函数的“生成函数”,然后利用函数的性质解决问题.

【解】(1)设y?kx,把(2,4)代入,得k?2,

?y?2x.自变量x的取值范围是:0≤x≤30.

2 (2)当0≤x≤5时,设y?a(x?5)?25,把(0,0)代入得:25a?25?0,

?a??1,?y??(x?5)2?25??x2?10x

当5≤x≤15时,y=25, ?所求的函数关系式是:

2??x?10x?0剟x?y????25?5剟x15?5?.

(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟,则他用于解题的时间为(30?x)分钟,学习效益总量为W.

①当0≤x≤5时,

W??x2?10x?2(30?x)??x2?8x?60??(x?4)2?76.

?当x?4时,W最大?76.

②当5≤x≤15时,

W?25?2(30?x)??2x?85.

?W随x的增大而减小,?当x=5时,W最大?75.

综上所述,当x?4时,W最大?76.此时30?x?26.

即王亮用于解题的时间为26分钟,用于回顾反思的时间为4分钟时,学习收益

总量最大.

【说明】本题综合考查学生对一次函数及二次函数知识的运用能力,考查学生从图表中获取信息的能力,对分段函数的理解.函数作为初中数学的一个重要内容,也是一个重要考点,它与实际生活紧密联系,函数型应用题主要考查学生运用函数知识和函数思想解决实际问题的能力.特别注意的是,实际问题不能忽略自变量的取值范围.

4.统计型应用问题

统计型应用题,主要考查统计思想与方法,通过对数据的收集、描述、分析,作出合理的决策,同时考查学生应用数学的意识和处理数据的能力.统计型应用题的取材相当广泛.

A B

图17-2 例4 在学习“轴对称图形”内容时,王老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示).

(1)小明的这三件文具中,可以看作是轴对称图形的是(填字母代号);

(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案,在答题卡的指定位置画出草图..

(只须画出一种);

(3)小红也有同样的一副三角尺和一个量角器.若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件,则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少?(请画树状图或列表计算)

【分析】本题以学生最熟悉的“三角尺和量角器”为载体,结合轴对称图形知识考查学生的轴对称知识,用分析法(画树状图法或列表法)求等可能事件的概率,命题者层层设置问题,由易到难.

【解】(1)B,C

(2)如图:

(3)画树状图或列表

开始

B A B C A B C A B C

(A,A) (A,B) (A,C) (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (C,C)

一共有9种结果,每种结果出现的可能性是相同的.而其中能恰好拼成轴对称图形的结果有五种,分别是(A,A) 、(B,B)、(C,C)、(B,C)、(C,B),所以两件文具可以拼成 5一个轴对称图案的概率是 . 9

【说明】新课标实施后,统计知识在中考中的地位越来越高.这类试题往往选材于学生的生活实际,考查学生用统计与概率的知识分析和处理数据,解决实际问题的能力.

5.几何型应用问题

几何型应用题,主要考查学生从实际问题中抽象出几何模型,运用三角形、四边形、相似形、三角函数等知识解决问题.几何型应用题的取材非常广泛,大到工程建设,小到一个零部件.

例5 如图17-3-1、图17-3-2,是一款家用的垃圾桶,踏板AB(与地面平行)或绕定点P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP?A?P,BP?B?P).通过向下踩踏点A到A?(与地面接触点)使点B上升到点B?,与此同时传动杆BH运动到B?H?的位置,点H绕固定点D旋转(DH为旋转半径)至点H?,从而使桶盖打开一个张角?HDH?.

如图17-3-3,桶盖打开后,传动杆H?B?所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直,垂足为点M、C,设H?C=B?M.测得A?P6c,mP?B,12?cDm?.H要使桶盖张开的角度?HDH?不小于60°,那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm?(结果保留两位有效数字) (1.73)

D

图17-3-3 图17-3-1 图17-3-2

【分析】本题以学生熟悉的“家用的垃圾桶”为题材,阅读量比较大,需要学生阅读文字语言的同时,结合示意图,抽象出图形中的三角形,然后运用相似三角形和三角函数等知识解决问题.

【解】过点A?作A?N?AB垂足为N点,

在Rt△H?CD中,

若?HDH?不小于60°,

D

H?C

≥sin60??

H?D2

H?D?

?B?M?H?C≥2

A?NA?P

?

B?MB?P

即H?C≥

?Rt△A?NP∽Rt△B?MP, ∴

∴A?N?

图17-3-4

A?P·B?M6?≥?3.5cm

B?P12

∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm.

【说明】几何应用题内容丰富,诸如测量、取料、剪裁、方案设计、美化设计等.解答此类问题的一般方法是认真分析题意,把实际问题抽象转化为几何问题,进而运用几何知识求解.

【命题趋势与复习建议】 1.命题趋势

纵观各地的应用性试题发现,方程类试题常与函数问题融为一体,问题情境更贴近学生的生活实际,从研究函数的数学性质转移到函数知识的实际应用,特别是

函数型应用题明显增多,而且这些应用性问题越来越贴近学生的生活实际.同时,课题学习应引起每一个教师的重视,预测今后将有更多的课题研究性学习类应用题出现在中考试卷中,这类试题对学生的动手操作能力、问题探究能力、数学建模等能力的考查要求比较高.

2.复习建议

为使学生对应用性问题掌握的更好,在复习中,教师应注意以下几个方面:

(1)要指导学生认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象概括,将实际问题转化为相应的数学模型.鉴于应用题篇幅长,信息容量大,涉及的知识点多,已知与未知关系隐蔽等特点,教育学生阅读时必须仔细.在阅读时应找出题目的已知数据和一些重要关系,对这些重要信息可通过做记号的形式加以注明,这样就可得到一个简缩的问题.

(2)在教学中应要求学生关注社会热点问题,善于用数学的眼光去观察、分析、思考日常生活中的问题.让学生经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程,培养学生主动观察、实验、猜想、探究、交流的能力.教师和学生平时应收集一些数学应用的实例.对于课题学习,设法给学生提供动手操作、亲身实践的机会,从而帮助学生增强应用数学的意识.

(3)在应用题复习中,教师为了解决难点,讲得往往太多,规范性的要求也提得太多,学生的解题策略仅仅是遵照老师指定的某一条路径去进行,虽然能在雷同的练习中发挥较好,但一旦遇到新的类型就无从下手.为此,教师在复习中应侧重于引导学生如何分析,给学生更多的自主解答时间和空间.

(4)在综合试卷的训练中要重视应用性问题的练习.知识的掌握需要一个反复的过程,应用题也不例外,这需要在每次的综合卷训练中反复加强,要求学生不能就题论题,要从其实质中掌握应用题的解决方法,以便做一个,会一类,使学生在训练中更系统地掌握解应用题的基本思想和基本方法,巩固知识,拓宽视野,提高解题效率,努力提高应用题的得分率.

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