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初中奥数题目_勾股定理

发布时间:2013-11-27 08:06:36  

九年级数学竞赛专题 勾股定理

一、选择题

1.△ABC周长是24,M是AB的中点MC=MA=5,·则△ABC的面积是( )

A.12; B.16; C.24; D.30

2.如图1,在正方形ABCD中,N是CD的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则AM:AB=( )

A.3311; B.; C.; D. 3632

3.如图3,P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,那么,正方形ABCD的面积是( )

A.200; B.225; C.256; D.150+102

4.如图4,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若在AB、AC上各

取一点N、M,使得BM+MN的值最小,这个最小值为( )

A.12; B.102; C.16; D.20

二、填空题 (4)

1. 如图,△ABC中,AB=AC=2,BC边上有10个不同的点

P1,P2,?P10,记

Mi?APi2?PiB?PiC(i = 1,2,……,10),那么,

M1?M2???M10=_________。

2. 如图,设∠MPN=20°,A为OM上一点,OA=43,D为ON上

一点,OD=83,C为AM上任一点,B是OD上任意一点,那

么折线ABCD的长最小为__________。

- 1 -

3.如图,四边形ABCD是直角梯形,且AB=BC=2AB,PA=1,PB=2,PC=3,那么梯形ABCD的面积=__________。

24.若x + y = 12,那么x?4?y2?9的最小值=___________。

5.已知一个直角三角形的边长都是整数,且周长的数值等于面积的数值,那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题

1.如图△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度。

2.如图,在△ABC中,AB=2,AC=, ∠A=∠BCD=45°,求BC的长及△BDC的面积。

- 2 -

3.设a,b,c,d都是正数。 求证:a?c?d?2cd??c?

4.如图,四边形ABCD中, ∠ABC=135°,∠BCD=120°,AB=,BC=5-,CD=6,求AD。

22222a2?b2?d2?2ad

5.如图,正方形ABCD内一点E,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2?6,求此正方形的边长。

- 3 -

答案

一、选择题

1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

解答:

1.∵MA=MB=MC=5, ∴∠ACB=90°

知周长是24,则AC+BC=14,AC+BC=10,

∴2AC·BC=(AC+BC)-(AC+BC) = 14-10=4×24 ∴S?ABC?222222221AC?BC?24 2

2.如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB

∴AM:MB=OB:BT

∴MB=2AM·BT (1)

令DN=1,CT=MD=k,则AM=2 – k

所以BM=2AB2?AM2?4?(2?k)2

2BT= 2 + k代入(1),得4 + (2 – k )= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =

所以AM:AB=4 321:2 = 33

3.如图,过O作EF⊥AD于E,交BC于F;过O作GH⊥DC于G,交AB于H

设CF=x,FB = y, AH = s, HB = x,

所以OG=x, DG = s

所以OF=OB- BF=OC-CF 即4- x= 3- y

所以x- y= 16 – 9 =7 (1)

同理有OH=1- s= 3- t

所以t- s= 3- 1= 8 (2)

又因为OH+HB=OB 即y+ t= 9

(1)-(2)得(x+s) – (y+ t) = – 1222222222

2222222222222222222222222

- 4 -

所以OD2=x2+ s2= (y2+ t2) – 1 = 9 – 1 = 8 所以OD=22

4.如图,过P作EF⊥AB于E,交CD于F,则PF⊥CD

所以PF=PA=PB=10,E为AB中点

设PE = x,则AB=AD=10 + x

所以AE=11AB=(10 + x) 22

在Rt△PAE中,PA2=PE2+AE2

所以102= x2+ [1(10 + x )]2 所以x = 6 2

22所以正方形ABCD面积=AB=(10 + 6) = 256

5.如图,作B关于AC的对称点B,连A B,

则N点关于AC的对称点N在A B上,

这时,B到M到N的最小值等于B→M→N的最小值,等于B到A B的距离BH,连B与A B和DC的交点P,

则S?ABP=''''''''1×20×10=100, 2

由对称知识,∠PAC=∠BAC=∠PCA

所以PA=PC, 令PA=x,则PC=x,PD=20 – x, 在Rt△ADP中,PA=PD+AD

所以 x = (20 – x ) + 10 所以 x = 12.5 因为S?ABP=

所以BH=

二、填空题

1.40;

2.12;

3.'2222221'PA·BH 22S?ABP100?2??16 PA12.5153?2; 42

4.13;

5.6,8,10或5,12,13

解答:

- 5 -

1.如图,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD和Rt△APiD中,AB2=AD2+BD2 APi2?AD2?PiD2

所以AB?APi?AD?BD?(AD?PiD) 22222

?BD2?PiD2

?(BD?PiD)(BD?PiD)

?PiC?PiB

所以APi?PiC?PiB?AB?4 所以Mi?4

所以M1?M2???M10?40

3. 如图,作A关于ON的对称点A,D关于OM的对称点D, 连结AB,CD,则AB=AB,

CD=CD,从而AB+BC+CD=AB+BC+CD≥AD

因为∠AON=∠MON=∠MOD=20°,所以∠AOD=60° 又因为OA'=OA=43,OD'=OD=8,

所以OD=2OA

即△ODA为直角三角形,且∠OAD=90°

''所以AD=OD?OA'2'222''''''''''''''''''''?(83)2?(43)2?12

所以,折线ABCD的长的最小值是12

3.如图,作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,

设AB = m, PM = x, PN = y,则

?x2?y2?4(1)?22?x?(m?y)?1(2)

?22(m?x)?y?9(3)?

由(2)、(3)分别得,

x2?m2?2my?y2?1 (3)

y2?m2?2mx?x2?9 (4)

m2?3; 将(1)代入(4)得m?

2my?3?0?y?2m2

- 6 -

m2?5将(1)代入(5)得m?2mx?5?0?x?; 2m2

把x,y的表达式分别代入(1)得m?10m?17?0

因为m2>0 所以m2=5+22

所以 AB=m?

所以SABCD?425?22,BC?5?22,AD?1153(AD?BC)?AB??2 24215?22 2

4.如图,AB=12,AC=2,BD=3,且AB⊥AC,AB⊥BD,P在AB上且PA=x,PB=y,连PC,PD,

在Rt△CAP和Rt△DBP中

PC?AC2?PA2?x2?4,

PD?BD?PB?22 y?92

如图,P点在P0位置时,PC+PD的值最小,为线段CD的长度,而 22CD=(2?3)?12?13 2所以x?4?y2?9的最小值为13。

5.设三边长为a,b,c,其中c是斜边,则有

?a2?b2?c2(1)??ab a?b?c?(3)?2?

(2)代入(1)得a?b?(22abab?a?b)2 即(ab?4a?4b?8)?0 24

因为ab≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0 所以a?4?8(a,b为正整数) b?4

所以b – 4 = 1,2,4,8,

所以b = 5,6,8,12;

a = 12,8,6,5;

c = 13,10,10,13,

所以,三边长为6,8,10或5,12,13

三、解答题

1.如图,连结PA,PB,PC,设BD=x,CE=y,AF=z,

则DC=17-x,EA=18 – y,FB = 19 – z

在Rt△PBD和Rt△PFB中,有x?

PD?(19?z)?PF 2222

- 7 -

同理有:

y2?PE2?(17?x)2?PD2

z?PF?(18?y)?PE

22222 将以上三式相加,得x?y?z?(17?x)?(18?y)?(19?z)

即17x + 18y + 19z = 487

又因为x + y + z = 27,

所以x = z – 1,

所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 18

2.如图,作CE⊥AB于E,

则CE=AE=2222226AC? 22

64?6? 22

2所以BE=AB-AE=2 - 22又BC?CE?BE

22所以BC=CE?BE?7?26?6?1

再过D作DF⊥BC,交CB延长线于F,并设DF=CF=x,

则BF= x – BC = x + 1 - 6

又Rt△DFB∽Rt△CEB,

所以DF:BF=CE:BE,即x:(x + 1 - 6) = 64?6: 22

所以x = 3?26 2

所以S?BCD?113?269?6BC?DF??(6?1)?? 2224

4. 如图,构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD, 在Rt△ABE中,BE=AE2?AB2

a2?c2?d2?2cd 22所以BE=a?(c?d)?

在Rt△BCF中, 22BF=BC?CF?(a?b)2?d2?a2?b2?d2?2ab

22在R t△DEF中,EF=DE?

DF?2?c2

- 8 -

在△BEF中,BE+EF>BF 即a?c?d?2cd?b?c?22222a2?b2?d2?2ab

5. 如图,过A作AE∥BC交CD于E,则∠1=45°,∠2=60°, 过B作BF⊥AE于F,作CG⊥AE于G,

则Rt△ABF为等腰直角三角形,BCFG为矩形,

又因为AB=6,BC=5-,

所以BF=AF=2AB=3,所以CG=BF=3, 2

CG=2,EG=所以CE=2

1CG=1

所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6

DE=CD-EC=6-2=4

过D作DM⊥AE延长线于M

∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°

所以EM=1DE=2,DM=DE=2 22

AM2?DM2?(6?2)2?(2)2?2 在Rt△AMD中,AD=

5.如图,以A为中心,将△ABE旋转60°到△AMN,连NB,MB,则

AE+EB+EC=AN+MN+EC

因为AE=AN,∠NAE=60°

所以AE=NE

所以AE+EB+EC=MN+NE+EC

当AE+EB+EC取最小值时,折线MNEC成为线段,且MC=2?6,∠MBC=150°

在Rt△PMC中,设BC=x,PM=x,PB?x 22

x?x)2 2所以(2?6)?()?(

所以x = 2, BC=2

2x22

- 9 -

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