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抛物 老师doc

发布时间:2013-12-01 10:31:00  

抛物线习题精选精讲

(1) 抛物线——二次曲线的和谐线、

(2) 【例1】P为抛物线y?2px上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴( )

2

A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定

【解析】如图,抛物线的焦点为F?

?p?

,0?,准线是 ?2?

p

.作PH⊥l于H,交y轴于Q,那么PF?PH, 2

p

且QH?OF?.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

2111

中位线,MN??OF?PQ??PH?PF.故以

222l:x??

PF为直径的圆与y轴相切,选B..

(2)焦点弦——常考常新的亮点弦

2

l【例2】 过抛物线y?2px?p?0?的焦点F作直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点,求证: (1AB?x1?x2?p (2112

?? AFBFp

【证明】(1)如图设抛物线的准线为l,作

AA1?lA1,BB1?l于B1,则AF?AA1?x1?

p

, 2

YABF?BB1?x2?

p

.两式相加即得: 2

11

AB?x1?x2?p

(2)当AB⊥x轴时,有

AF?BF?p,?

112

??成立; AFBFp

2

l

当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:

p??

y?k?x??.代入抛物线方程:

2??

p?p22?222

k?x???2px.化简得:kx?p?k?2?x?k?0

2?4?

2

2

?1?

k2

∵方程(1)之二根为x1,x2,∴x1?x2?.

4

x1?x2?p111111

??????

pp2

AFBFAA1BB1x?px?p

x1x2??x1?x2??12

2224

- 1 - - 1 -

?

x1?x2?px1?x2?p2

. ??

pp2pp2p?x1?x2?p???x1?x2??

2424

112

??成立. AFBFp

故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有

(3)切线——抛物线与函数有缘

【例3】证明:过抛物线y?2px上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 【证明】对方程y?2px两边取导数:2y?y??2p,?y??

2

2

p

.切线的斜率 y

k?y?

x?x0

?

pp.由点斜式方程:y?y0??x?x0??y0y?px?px0?y02y0y0

?1?

2

?y0?2px0,代入()即得:1 y0y=p(x+x0)

(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

2

例如:1.一动圆的圆心在抛物线y?8x上,且动圆恒与直线x?2?0相切,则此动圆必过定点 ( )

A.?4,0?B.?2,0?C.?0,2?D.?0,?2?

显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2.抛物线y?2px的通径长为2p;

3.设抛物线y?2px过焦点的弦两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?,那么:y1y2??p

2

2

2

以下再举一例

【例4】设抛物线y?2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点

【证明】如图设焦点两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?, 那么:y1y2??p?CA1?CB1?y1y2?p.

设抛物线的准线交x轴于C,那么CF?p.

2

2

2

??A1FB1中CF?CA1?CB1.故?A1FB1?90?.

这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

2

- 2 - - 2 -

(1)解析法——为对称问题解困排难.

【例5】(07.四川文科卷.10题)已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于( )

A.3 B.4 C.32 D.42

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段 AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB为:. 由y??x

B

X

的方程

l?xy=0

?y?x?m2

?x?x?m?3?0?2

?y??x?3

?1?

设方程(1)之两根为x1,x2,则x1?x2??1. 设AB的中点为M(x0,y0),则x0?

x1?x211?11?

??.代入x+y=0:y0=.故有M??,?. 222?22?

2

从而m?y?x?1.直线AB的方程为:y?x?1.方程(1)成为:x?x?2?0.解得: ,B(1,2)

.?AB?,选C. x??2,1,从而y??1,2,故得:A(-2,-1)

(2)几何法——为解析法添彩扬威

【例6】(07.全国1卷.11题)抛物线y?4x的焦点为F,准线为l,经过F

物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积( )

A.4 B

. C

. D.8 【解析】如图直线AF

时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线l交x轴于M,则FM?p?2,

2

Y且∠KFM=60

°,∴KF?4,S?AKF

2

?4?.选C. 4

°

F(1,0)【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的

面积用公式S??

2

a计算.

(3)定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线

x2y2

C1:2?2?1(a?0,b?0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2;抛物线C2的线为l,

ab

- 3 - - 3 -

焦点为F2;C1与C2的一个交点为M,则

A.?1 B.1

F1F2MF1

?

MF1MF2

等于( )

C.?

1 2

D.

1 2

【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距c,离心率为e,作 MH?l于H,令

MF1?r1,MF2?r2.∵点M在抛物线上,

r

?MH?MF2?r2,故??1?e,

MHMF2r2

MF1MF1

|MF1|

这就是说:的实质是离心率e.

|MF2|

其次,

|F1F2|

与离心率e有什么关系?注意到: |MF1|

2ce?2ae?r1?r2??1????e?1???e?1. r1r1r1?e?

F1F2MF1

?

这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于

|F1F2||MF1|

???e?1??e??1.∴选 A..

|MF1||MF2|

抛物线定义的妙用

一、求轨迹(或方程)

例1. 已知动点M的坐标满足方程

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对

,则动点M的轨迹是( )

解:由题意得:即动点

到直线

的距离等于它到原点(0,0)的距离

为准线的抛物线。

由抛物线定义可知:动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线故选C。

二、求参数的值

例2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点解:设抛物线方程为,准线方程:∵点M到焦点距离与到准线距离相等

到焦点距离为5,求m的值。

- 4 -

- 4 -

解得:

,则∴抛物线方程为把三、求角 代入得:例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为

__________。

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

图1

解:如图1,由抛物线的定义知:

由题意知:

故选C。

四、求三角形面积

例4. 设O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若面积。

解析:如图2,不妨设抛物线方程为,点、点

,。求△OPQ的

图2 则由抛物线定义知:

又由即,则得:

又PQ为过焦点的弦,所以

- 5 - - 5 -

则 所以,

点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是常见的基本技能。

五、求最值

例5. 设P是抛物线上的一个动点。

(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值;

(2)若B(3,2),求的最小值。

解:(1)如图3,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是

由抛物线的定义知:点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。

于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小。

显然,连结AF交曲线于P点,则所求最小值为,即为。

图3

(2)如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点

,则有

即的最小值为

4 ,则

图4

- 6 - - 6 -

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