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24.2.2_直线和圆的位置关系_同步测控优化训练(含答案) 2

发布时间:2013-12-07 16:37:50  

24.2.2 直线和圆的位置关系

一、1.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.(1)以C为圆心,2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________;

(2)以C为圆心,4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________;(3)如果以C为圆心的圆和AB相切,则半径长为_________.2.三角形的内心是三角形_______________的交点.

3.⊙O的半径r=5 cm,点P在直线l上,若OP=5 cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

4.设⊙O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O至少有一个公共点,则d应满足的条件是( )

A.d=3 B.d≤3 C.d<3 D.d>3

二、

1.如图24-2-2-1,已知∠AOB=30°,M为OA边上一点,以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动,则当OM=_______________ cm时,⊙M与OB相切

.

图24-2-2-1

2.⊙O的半径为R,直线l和⊙O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是( )

A.d>R B.d<R C.d≥R D.d≤R

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为( )

A.8 B.4 C.9.6 D.4.8

4.⊙O内最长弦长为m,直线l与⊙O相离,设点O到l的距离为d,则d与m的关系是( )

A.d=m B.d>m C.d>{ EMBED Equation.3 |

5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

6.如图24-2-2-2,PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B.如果OP=4,PA=23,那么∠AOB等于(

) m D.d< 2

图24-2-2-2

A.90° B.100° C.110° D.120°

7.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、D、B三点,CB的延长线交⊙O于点E(如图24-2-2-3(1)).

- 1 -

在满足上述条件的情况下,当∠CAB的大小变化时,图形也随着改变(如图24-2-2-3(2)),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系

.

图24-2-2-3

观察上述图形,连结图24-2-2-3(2)中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段CE相等;

连结_____________________________.

求证:____________=CE.

证明:

8.如图24-2-2-4,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.

求证:∠ACB=∠

OAC.

图24-2-2-4

三、1.如图24-2-2-5,已知同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线

.

图24-2-2-5

2.如图24-2-2-6,是不倒翁的正视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=25°,求∠APB的度数.

3.已知如图24-2-2-7所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD+BC=AB,以AB为直径作⊙O,求证:⊙O和CD相切.

- 2 -

4.如图24-2-2-8所示,已知AB为⊙O的直径,C、D是直径AB同侧圆周上两点,且CD=BD,过D作DE⊥AC于点E,求证:DE是⊙O的切线.

5.如图24-2-2-9,已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和

C,以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长

.

6.如图24-2-2-10所示,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3 cm,BE=7 cm,

(1)求⊙O的半径;

(2)求线段DE的长

.

7.如图24-2-2-11,已知⊙A与⊙B外切于点P,BC切⊙A于点C,⊙A与⊙B的内公切线PD交AC于点D,交BC于点M.

(1)求证:CD=PB;

(2)如果DN∥BC,求证:DN是⊙B的切线.

- 3 -

8.在直角坐标系中,⊙O1经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B.

(1)如图24-2-2-12,过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,=,求直线AC的解析式;

(2)若⊙O1经过点M(2,2),设△BOA的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化?如果不变,求出其值;如果变化,求其变化的范围

.

- 4 - 24-2-2-12 图

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.

(1)以C为圆心,2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________;

(2)以C为圆心,4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________;

(3)如果以C为圆心的圆和AB相切,则半径长为_________.

思路解析:由勾股定理知此直角三角形斜边上的高是 cm,因此当圆与AB相切时,半径为 cm.

答案:(1)相离 (2)相交 (3) cm

2.三角形的内心是三角形_______________的交点.

思路解析:由三角形的内心即内切圆圆心到三角形三边相等.

答案:三个内角平分线

3.⊙O的半径r=5 cm,点P在直线l上,若OP=5 cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

思路解析:点P也可能不是切点,而是直线与圆的交点.

答案:D

4.设⊙O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O至少有一个公共点,则d应满足的条件是( )

A.d=3 B.d≤3 C.d<3 D.d>3

思路解析:直线l可能和圆相交或相切. 答案:B

二、课中强化(10分钟训练)

1.如图24-2-2-1,已知∠AOB=30°,M为OA边上一点,以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动,则当OM= cm时,⊙M与OB相切

.

图24-2-2-1

思路解析:根据切线的定义,可得OM=2×2=4.

答案:4

2.⊙O的半径为R,直线l和⊙O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是( )

A.d>R B.d<R C.d≥R D.d≤R

思路解析:直线l与⊙O有公共点,则l与直线相切或相交,所以d≤R.

答案:D

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为( )

- 5 -

A.8 B.4 C.9.6 D.4.8

思路解析:作CD⊥AB于D,则CD为⊙C的半径,BC===8,由面积相等,得AB·CD=AC·BC.

∴CD==4.8.

答案:D

4.⊙O内最长弦长为m,直线l与⊙O相离,设点O到l的距离为d,则d与m的关系是( )

A.d=m B.d>m C.d> D.d<

思路解析:最长弦即为直径,所以⊙O的半径为,故d>.

答案:C

5.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

思路解析:直径边必垂直于相切边.

答案:B

6.如图24-2-2-2,PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B.如果OP=4,PA=23,那么∠AOB等于(

)

图24-2-2-2

A.90° B.100° C.110° D.120°

思路解析:∵PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B,

∴PA⊥OA,PB⊥OB.∠APO=∠BPO.

∵OP=4,PA=2,∴OA=2.∴∠APO=∠BPO=30°,即∠APB=60°.∴∠AOB=120°.

答案:D

7.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、D、B三点,CB的延长线交⊙O于点E(如图24-2-2-3(1)).

在满足上述条件的情况下,当∠CAB的大小变化时,图形也随着改变(如图24-2-2-3(2)),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系

.

图24-2-2-3

观察上述图形,连结图24-2-2-3(2)中已标明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段CE相等;

- 6 -

连结_____________________________.

求证:____________=CE.

证明:

思路分析:由切线的性质定理和三角形中位线定理和线段垂直平分线性质定理来解决. 答案:AE

AE

证法一:如图,连结OD,

∵∠ABC=90°,CB的延长线交⊙O于点E,

∴∠ABE=90°.

∴AE是⊙O的直径.

∵D是AC的中点,O是AE的中点,

∴OD=CE.

∵OD=AE,∴AE=CE.

证法二:如图,连结BD,在Rt△ABC中,∠ABC=90°

,

∵D是AC的中点,

∴AD=CD=BD.∴∠1=∠2.

∵四边形AEBD内接于⊙O,

∴∠1=∠DAE.

∴∠2=∠DAE.∴AE=CE.

证法三:如图,连结

DE,

同证法一,得AE是⊙O的直径,

∴∠ADE=90°.

- 7 -

∵D是AC的中点,

∴DE是线段AC的垂直平分线.∴AE=CE.

8.如图24-2-2-4,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.

求证:∠ACB=∠

OAC.

图24-2-2-4

证明:连结OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点

F,

∵DE是圆的一条切线,E是切点,∴OE⊥DC.

又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.

∵OA=OE,∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.

又∵点A是OB的中点,∴点F是EC的中点.

∴AE=AC.∴∠1=∠2.

∴∠4=∠2=∠1,即∠ACB=∠OAC.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-2-2-5,已知同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线

.

图24-2-2-5

思路分析:证切线的两种方法是:①作半径,证垂直;②作垂直,证半径.本题属于②,前一个例题属于①.

证明:连结OE,作OF⊥CD于F.

∵AB切小圆于E,∴OE⊥AB.

∵OF⊥CD,AB=CD,∴OE=OF.∴CD是小圆O的切线.

2.如图24-2-2-6,是不倒翁的正视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B,不倒翁的鼻尖正

- 8 -

好是圆心O,若∠OAB=25°,求∠APB的度数

.

图24-2-2-6

思路分析:由切线的性质定理和等腰三角形“三线合一”定理解决.

解法一:∵PA、PB切⊙O于A、B,

∴PA=PB.∴OA⊥PA.

∵∠OAB=25°,∴∠PAB=65°.

∴∠APB=180-65°×2=50°

.

解法二:连结OB,如图(1).

∵PA、PB切⊙O于A、B,

∴OA⊥PA,OB⊥AB.

∴∠OAP+∠OBP=180°.

∴∠APB+∠AOB=180°.

∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=25°.

∴∠AOB=130°.∴∠APB=50°.

解法三:连结OP交AB于C,如图(2).

∵PA、PB切⊙O于A、B,

∴OA⊥PA,OP⊥AB.

OP平分∠APB,∴∠APC=∠OAB=25°.

∴∠APB=50°.

3.已知如图24-2-2-7所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD+BC=AB,以AB为直径作⊙O,求证:⊙O和CD相切.

- 9 -

图24-2-2-7

思路分析:要证⊙O与CD相切,只需证明圆心O到CD的距离等于半径OA(或OB或AB)即可,即在不知道圆与直线是否有公共点的情况下通常过圆心作直线的垂线段,然后证垂线段的长等于半径(“作垂直,证半径”),这是证直线与圆相切的方法之一.

证明:过O作OE⊥CD于点E.

∵OE⊥CD,∴∠OEC=90°.

∵∠D=90°,∴∠OEC=∠D.∴AD∥OE.

∵AD∥BC,∴AD∥BC∥OE.[来源:Zxxk.Com]

∵OA=OB,∴CE=DE.

∴OE= (AD+BC).

∵AD+BC=AB,

∴OE=AB.

∴⊙O与CD相切.

4.如图24-2-2-8所示,已知AB为⊙O的直径,C、D是直径AB同侧圆周上两点,且CD=BD,过D作DE⊥AC于点E,求证:DE是⊙O的切线.

图24-2-2-8

思路分析:要证DE是⊙O的切线,根据切线的判定定理,连结OD,只须证明OD⊥DE即可,即“作半径,证垂直”这是证明圆的切线的另一方法.

证明:连结OD、AD.

∵弧CD=弧BD,∴∠1=∠2.

∵OA=OD,

∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3.

∴AE∥OD.

∵AE⊥DE,∴OD⊥DE.

∴DE是⊙O的切线.

5.如图24-2-2-9,已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以

- 10 -

AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长.

图24-2-2-9

思路分析:从圆外一点引圆的两条切线,可证切线长相等,则可将四边形CDFP的周长转化为正方形边长的3倍. 解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°.

∴AF、BP都是⊙O的切线.

又∵PF是⊙O的切线,

∴FE=FA,PE=PB.

∴四边形CDFP的周长为

AD+DC+CB=2×3=6.

6.如图24-2-2-10所示,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3 cm,BE=7 cm,

(1)求⊙O的半径;

(2)求线段DE的长.

图24-2-2-10

思路分析:(1)连结OC,证OC为梯形中位线.在解有关圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径.

(2)连结AF,证四边形ADEF为矩形,从而得到AD=EF,DE=AF,然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长.

解:(1)连结OC.

∵MN切半圆于点C,

∴OC⊥MN.

∵AD⊥MN,BE⊥MN,

∴AD∥OC∥BE.

∵OA=OB,

∴OC为梯形ADEB的中位线.

∴OC=(AD+BE)=5 cm.

所以⊙O的半径为5 cm.

(2)连结AF.

∵AB为半圆O的直径,

∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.

又∠ADE=∠DEF=90°,

- 11 -

∴四边形ADEF为矩形. ∴DE=AF,AD=EF=3 cm.

在Rt△ABF中,BF=BE-EF=4 cm,AB=2OC=10 cm.

由勾股定理,得AF===2(cm),

∴DE=2 cm.

7.如图24-2-2-11,已知⊙A与⊙B外切于点P,BC切⊙A于点C,⊙A与⊙B的内公切线PD交AC于点D,交BC于点M.

(1)求证:CD=PB;

(2)如果DN∥BC,求证:DN是⊙B的切线.

图24-2-2-11

思路分析:证线段相等,一般先证两三角形全等.证圆的切线可以先作垂直,后证半径长即可.

证明:(1)∵BC切⊙A于点C,DP切⊙A于点P,

∴∠DCM=∠BPM=90°,MC=MP.

∵∠DMC=∠BMP,∴△DCM≌△BPM.

∴CD=PB.

(2)过点B作BH⊥DN,垂足为点H.

∵HD∥BC,BC⊥CD,∴HD⊥CD.

∴∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°.

∴四边形BCDH是矩形.

∴BH=CD.

∵CD=PB,∴BH=PB.

∴DN是⊙B的切线.

8.在直角坐标系中,⊙O1经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B.

(1)如图24-2-2-12,过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,=,求直线AC的解析式;

(2)若⊙O1经过点M(2,2),设△BOA的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化?如果不变,求出其值;如果变化,求其变化的范围

.

图24-2-2-12

思路分析:由切线的性质和勾股定理可求出A、C两点的坐标,这样直线AC的解析式可求.

- 12 -

解:(1)如图,过O作OG⊥AB于G,则OG=,

设OA=3k(k>0),

∵∠AOB=90°,=,

∴AB=5k,OB=4k.

∵OA·OB=AB·OG=2S△AOB,

∴3k×4k=5×.

∴k=1.

∴OA=3,OB=4,AB=5.

∴A(3,0).

∵∠AOB=90°,

∴AB是⊙O1的直径.

∵AC切⊙O1于A,

∴BA⊥AC.

∴∠BAC=90°.

在Rt△ABC中,∵=,

∴BC=.

∴OC=BC-OB=.

∴C(0,- ).

设直线AC的解析式为y=kx+b,则

∴k=,b=-.

∴直线AC的解析式为y=x-.

(2)结论:d+AB的值不会发生变化

,

设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T,如图所示. ∴BQ=BT,AP=AT,OQ=OP=.

- 13 -

∴BQ=BT=OB-,AP=AT=OA-.

∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d.

则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB.

在x轴上取一点N,使AN=OB,连结OM、BM、AM、MN. ∵M(2,2),∴OM平分∠AOB.

∴OM=2.

∴∠BOM=∠MON=45°.

∴AM=BM.

又∵∠MAN=∠OBM,OB=AN,

∴△BOM≌△ANM.

∴∠BOM=∠ANM=45°,∠ANM=∠MON.

∴OA+OB=OA+AN=ON==×OM=×2=4.

∴d+AB的值不会发生变化,其值为4.

- 14 -

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