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图形中点能想到什么

发布时间:2013-12-09 11:25:07  

由中点联想出去?

? 高屋建瓴

线段的中点是几何图形中一个特殊的点,它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识,恰当地利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键,由中点想到什么?常见的联想途径是:中线倍长;作直角三角形斜边的中线;构造中位线;构造中心对称全等三角形等。

1. (“希望杯”邀请赛试题)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10厘米,则MD的长为____________________.

2. (2011年北京市竞赛题)如图,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为____________________.

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3. (太原市竞赛题)如图,已知AD为△ABC的角平分线,AB<AC,在AC上截取CE =AB,

M、N分别为BC、AE的中点,求证:MN∥AD.

4. (山东省中考题)已知正方形ABCD中.E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥ BD

交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)求证:EG =CG;

° (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45,如图②所示,取DF中点G.连接EG,CG.

问(l)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得到什么结论?

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5. (“祖冲之杯”邀请赛试题)如图,以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD

和Rt△ACE,且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点,求证:DM =ME.

6. (2011年黄冈市中考题)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上

中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,FC=3,则EF=________

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7. (山东聊城中考题)如图,□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、

F、C分别是OC、OD、AB的中点.

求证:(1) BE⊥ AC; (2)EG =EF.

8. (宁波中考题)如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,

连结CE、CD,求证:CD= 2EC.

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9. (重庆市竞赛题)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F,M、N分别为

AB、CD中点,MN分别交BD、AC于P、Q,且∠FPQ= ∠FQP,若BD=10,则AC=____.

10. (山东省竞赛题)在菱形ABCD中,∠A =100°,M,N分别是边AB、BC的中点,

MP ⊥CD于点P,则么∠NPC的度数为____________.

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11. (河北省竞赛题)如图,在四边形ABCD中一组对边AB =CD,另一组对边AD≠BC,分

别取AD、BC的中点M、N,连结MN,则AB与MN的关系是( ).

A. AB =MN B.AB>MN

C.AB<MN D.以上三种情况均可能出现

12. (全国初中数学联赛试题)如图,已知在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、

CB到E、F,使DE =DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于点P.

求证:∠PAE=∠PBF.

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13. (山东省竞赛题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,试判断AB+CD与

AD +BC的大小,并证明你的结论.

14. (江苏省竞赛题)已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE =90°.如图甲,连结DE,设M为DE的中点.

(l)求证:MB =MC;

(2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图 乙的位置,试问:MB=MC是否还能成立?并证明其结论.

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15. (江苏省中考题)如图,在△ABC内取一点P,使么∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB

于点D,PE⊥AC于点E,求证:DE的垂直平分线必经过BC的中点M.

16. (四川省竞赛题)如图,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的

角平分线,若BF=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为________

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17. (2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),

分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是_____________________ ,QE与QF的数量关系式: ___________________________________;

(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;

(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.

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