haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中作文初中作文

初中奥数不等式题型解法初探

发布时间:2013-12-10 09:01:56  

.

初中奥数不等式题型解法初探

(摘要):

(关键词):不等式

不等式涉及数量之间大小的比较,揭示变量之间的制约关系,其内容非常丰富,应用相当广泛,在数学的所有领域中都起着重要作用。初中数学竞赛中不等式的题目多种多样,解题方法和技巧也是多种多样,通过对不等式的解法的学习,可以开阔学生的解题思路,活跃学生思维,从而达到提高学生智力的目的。

一、比较法

比较法是实数比较大小中最常用的方法,常用的比较方法有:作差、作商、平方、倒数等方法。

(一)、作差比较

20011999与的大小 20022000

20011999解:- 20022000

2001?2000?1999?2002= 2002?2000例1、比较:

(20002?2000)?(20002?2000?2)= 2002?2000

2>0 2002?2000

20011999∴> 20022000=

(二)、作商比较

例2、设P=-

R的大小关系? 111,Q=-,R=-,则P、Q、12345?1234612344?1234612344?12345

1

P12344解:∵==<1 1Q12345?12344?12346?∴P<Q

∴P>Q

同理Q>R

(三)、平方比较

例3、比较:+2001与22000的大小。

解:(?2001)2=4000+2?2000

.

=4000+22000?1

(22000)2=4×2000

=4000+22000

∴(22000)2>(?2001)2 ∵?2001>0,22000>0

∴22000>?2001

(四)、倒数比较

例4、比较-与-的大小。 解:∵221

?1

?1

?=? =+ ∴>1

? ∵->0,->0 ∴-<-

二、放缩法

放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不到结论,或得出相反的结论的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。

例5、已知x、y是实数,且x2+xy+y2=1

求证:1≤x2-xy+y2≤3 3

1≤x2-xy+y2≤3 3分析:因为x2+xy+y2=1,欲证

即证:?2≤2xy≤2 3

由完全平方可知,x2+y2≥2xy,或x2+y2≥-2xy

证明:①当x,y同号时,x2+y2≥2xy

则x2+xy+y2≥2xy+xy=3xy

.

∴3xy≤1,0<xy≤

∴x2-xy+y2≥xy

∴x2-xy+y2≥1 31 3

②当x,y异号时,

x2+y2≥-2xy

则x2+xy+y2≥-2xy+xy=-xy

∴-xy≤1

0>xy≥-1

∴x2-xy+y2≥-3xy

x2-xy+y2≤3

∴1≤x2-xy+y2≤3 3

③当x,y中有一个为0,则另一个为1,则x2-xy+y2=1,显然满足。 证毕

总之,如何确定放缩的尺度是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。而基本不等式,在放缩法的应用有着重要作用。

三、构造法

在不等式的解题过程中,构造技巧常被采用,作为促进转化、简化、证明的手段,无疑它是最能体现创造思维和转化能力的重要一环。

(一)构造二次函数

例6、已知当0≤x≤1时,二次三项式x2-2ax+a2-1的值恒为正数,求实数a的范围。 解:令y=x2-2ax+a2-1=[(x—a)2-1] =(x-a—1) (x-a+1)

则这个函数的图象与x轴交总为(a-1,0),(a+1

∵二次项系数为1,∴图象开口向上

∵当0≤x≤1时,二次三项式的恒为正数

∴函数图象,如图所示

可分两种情况:

①由a-1>1时,得a>2 ②由a+1<0时,得a<-1 ∴a的取值范围是a>2或a<-1

(二)构造图形

例7、已知0<a<c,0<b<c,求证:a2?b2+a2?(c?b)2+(c?a)2?(c?b)2+(c?a)2?b2≥22c

分析:根据题意,可联系勾股定理,此题可作长为c的正方形,a、b为其边上的线段长。

由图可知:a?b=AE

22(c?a)2?(c?b)2=CE c=AC

.

根据三角形两边之和大于第三边,可得:

D a2?b2+(c?a)2?(c?b)2≥2c

2222同理可得:a?(c?b)+(c?a)?b≥2c

当a=b=c时,取等号 2

上两式相加即得所需证明的不等式成立。 B C

四、反证法

x2?y2?z2y2?z2?x2z2?x2?y2

例8、设正数x、y、z满足不等式>1 ??2xy2yz2zx

求证:x+y-z>0

证明:由题设不等式变形得:z(x2+y2-z2)+x(y2+z2-x2)+y(z2+x2-y2)-2xyz>0 z[(x+y)2-z2]+x[(y-z)2-x2]+y[(z-x)2-y2]>0 分解因式得:(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0 (*)

不妨设0<x≤y≤z

∵y+z>x,z+x>y

假设x+y-z≤0,则(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)≤0

这与(*)式矛盾

∴x+y-z>0

以上都是从问题的结构特征着手,多角度、多方面、多层次地思考问题,仔细分析数量关系,揭示条件与结论的联系,联想概念、性质、定理、公式,依次确定科学合理的解题方法,从而使问题得到简捷、巧妙地解决。这种灵活的证题方法,可以达到提高学生智力,培养解题技巧和创造力的目的。

参考文献

1、岑申、王而治 数学竞赛阶梯训练 浙江教育出版社 1999.1

2、刘汉文 初中数学竞赛同步辅导 华中师大出版社 1999.1

3、单 、熊斌 奥数教程 华东师大出版社 2000.11

4、丰宪、愚石 初中数学竞赛题解精选 华中师大出版社 1999.2

5、方运加、董凤举 数学奥林匹克教材 首都师大出版社 1994.8

.

初中奥数不等式题型解法 初探 作者: 傅永华 所在学校:诸暨市店口一中 :2001年12月 写作日期

.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com