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四中真题(尖子班)解法-7页-有 3

发布时间:2013-12-25 09:44:14  

四中历年真题展示

1、用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体,若拆下沿棱的小正方体,则余下92个小正方体(见右图)。留下的多面体的表面积是 。

〔分析〕①本题是整体化思考的经典范例。一是从整体考虑拆之前和拆之后

表面积的变化关系,二是本题可以用三视图法。

②由于大长方体的长、宽、高都大于2,否则拆后剩下的图形与题

意不符。用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体,体积就是140,

把140分解成3个大于2的自然数的乘积,只有一种情况140=7×5×4,所

以大长方体的长、宽、高分别是7,5,4;表面积是(4×5+4×7+5×7)×2=166。

③拆下沿棱的小正方体后,对比原来的表面积,相当于每个面减少4个1×1=1的小正方形,所以留下的多面体的表面积是: 166-4×6=142。

2、七个圆内填入七个连续自然数,使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数,那么 写A的圆内应填入 。

〔解法1〕①从整体出发,既然知道两两相邻圆圈中的数之和,就很容易得到这7个圆圈中的数相加的和为(10+6+9+12+8+11+14)÷2=35。

②而除了A以外,其他六个圆圈中数的和等于6+12+11=29,所以A=35-29=6。

〔解法2〕①第一步与上面的解法相同, 先算出7个圆圈中的数相加的和为

(10+6+9+12+8+11+14)÷2=35。

②注意到9+8+I0+14=41,这个和41实际上等于A被计算两遍后与其

它六个数的和,所以A的值为41-35=6。

3、从时钟指向4点整开始,再经过分钟,时针、分针正好第一次成直角。

〔解法〕4点整时,时针、分针相差20个小格;时针、分针成直角时,两者恰好相差15个小格,所以第一次成直角时分针需要追上时针20-15=5个小格。分针的速度为“l小格/分钟”,115而时针的速度为“个小格/分钟”, 所以再经过(20-15)÷(1-)=5分钟,时针、121212

分针正好第一次成直角。

4、一辆汽车把货物从城市运往山区,往返共用了20小时,去时所用时间是回来的l.5倍,去时每小时比回来时慢12公里。这辆汽车往返共行驶了 公里。

〔解法〕①“去时所用时间是回来的l.5倍”,把回来的时间看作1份,则去时所用的时间是

1.5份,所以回来的时间为20÷(1.5+1)=8小时,去时所用时间为8×1.5=12小时。

②“去时所用时间是回来的l.5倍”,往返路程不变,路程相同,速度和时间成反比例。

V去︰V回=1︰1.5=2︰3 V去=12÷(3-2)×2=24千米/时

③往返路程为24×12×2=576(千米)。

答:这辆汽车往返共行驶了576公里。

1

5、某个自然数被187除余52,被188除也余52,那么这个自然数被22除的余数是 。

〔解法〕①“某个自然数被187除余52,被188除也余52”,这个自然数应该是187和188的公倍数再加上52,可以设这个数为187×188×n+52。

②187×188×n+52=17×11×94×2×n+52=17×94×(11×2)×n+52

=17×94×n×22+52

显然,17×94×n×22是22的倍数,因此这个数被22除的余数与52被22除的余数相同,52=22×2+8,所以这个自然数被22除的余数是8。

192021916、已知r满足〔r+〕+〔r+〕+〔r+〕+??+〔r+〕=546,求〔100r〕。 100100100100

19202191、、、??、都小于1,所以每一100100100100

项的得数都与〔r〕或〔r+1〕相同。〔 〕是取整数的意思。

35②因为546÷73=7,7×73<546<8×73 (7×73=511;8×73=584)。所73

以这73项,前面的若干项是7,后面的若干项是8。根据“鸡兔同笼”的解法,( 8×73-546)÷(8-7)=38,前38项的整数部分是7,后35项的整数部分是8。即

19?38?119?38 r+<8 且r+≥8 100100

解上面的2个不等式,得 r+0.56<8 且r+0.57≥8 合并在一起考虑

7.43≤ r <7.44 743≤100 r<744

所以, 〔100r〕=743

7、下面有三组数:

13131⑴2,1.5,12 ⑵0.7,1.55 ⑶,9 ,1.6,8 364220

从每组数中取出一个数,把取出的三个数相乘,那么所有不同取法的三个数乘积的和是多少? 〔解法〕①等是左边有91-18=73项。因为

〔解法〕①先从简单情况想起,寻找规律。假如有两组数,(a、b)、(c、d、e)。从每组数中取出一个数,把取出的2个数相乘,那么所有不同取法的2个数乘积的和是多少呢? (a+b)×(c+d+e)=a c+a d+a e+b c+b d+b e

将等式左边用乘法分配律展开得到的多项式就是所有不同取法的2个数乘积的和。

13131② (2+1.5+12)×(0.7+1.55)×(+9 +1.6+8) 364220

=16×2.25×20=720

13131说明:将(2+1.5+12)×(0.7+1.55)×(+9 +1.6+8)展开,得到的多项364220

式就是所有不同取法的三个数乘积的和。

8、22名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师。家长和老师共22人)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2入,至少有一名男老师,那么在这22人中,共有爸爸多少人?

2

22=11人,家长最少是12人。2

老师最多不超过22-12=10人。妈妈和爸爸和起来最少是12人,妈妈比爸爸多,所以妈妈最12少是+1=7人;女老师比妈妈多2人,所以女老师最少是7+2=9(人)。女老师最少是9人,2

而老师最多不超过10人,因此男老师至多l人,但题中指出,至少有1名男老师,所以男老师就是l人,女老师不多于9人,也不少于9人,恰好是9人,而妈妈有7人,那么爸爸人数是:22-9-l-7=5(人),即在这22人中,爸爸有5人。

小结:本题多次运用最值问题思考方法,且巧借半差关系,得出不等式的范围。正反结合讨论的方法也有体现。

9、某工厂金工车间有77个工人。每个工人平均每天可以加工甲种零件5个,或乙种零件4个,或丙种零件3个。已知3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件恰好配成一套。问:应安排生产甲、乙、丙三种零件各多少人,才能使生产的三种零件恰好配成套? 〔解法〕①家长和老师共22人,家长比老师多,所以家长多于

〔解法〕①首先考虑生产l套零件,完成甲、乙、丙三种零件各需要多少名工人。

31生产甲种零件的工人需要3÷5=人,生产乙种零件的工人需要l÷4=人,生产54

丙种零件的工人需要9÷3=3人,所以生产1套零件甲、乙、丙三种零件的工人人数之比为31::3=12︰5∶60。 54

②当77名工人一起生产时,显然也应该按此比例来生产,所以生产甲种零件的工人

125需要77×=12人,生产乙种零件的工人需要77×=5人,生产丙种零件的12?5?6012?5?60

60工人需要77×=60人。 12?5?60

10、一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前l小时到达;如果原速行驶100千米后,再将车速提高30%,也可比原定时间提前l小时到达。求甲、乙两地之间的距离。

〔解法〕①题目给出的距离信息只有lO0千米这一条,还需要找出驾车行驶100千米的时间以及行驶全程的总时间才能求出甲、乙两地距离。

车速提高20%,那么前后两次的速度比为1︰(1+20%)=5︰6。因为前后两次所行路程相同,路程相同时间和速度成反比例,所以前后两次所用的时间比为6︰5,提速之后时间减少l小时,而恰好减少1份,由此可求出原计划从甲地到乙地的时间为:l÷(6-5)×6=6(小时),而汽车提速后从甲地到乙地只用5小时。

②而这辆车如果提速30%,提速前后的速度比为1︰(1+30%)=I0︰13,那么这辆车行驶相同路程前后两次所花的时间为13︰10。原来13小时的路程,提速30%后只用10小时就行了,节省了13-10=3小时,提速之后每行使10小时就可以比原来节省3小时,那么现在是“原速行驶100千米后,再将车速提高30%,也可比原定时间提前l小时到达”,则提速

13?1013135后行驶的时间应该是1÷=小时,所以以原速行驶100千米的时间就是6-=小31333

5时。这辆车原来的速度为100÷=60千米/小时,而原计划从甲地到乙地的时间是6小时,3

所以甲、乙两地之间的距离为:60×6=360(千米)。

3

11、从1到100这100个自然数中,取出两个数,要使它们的和大于100,则共有种不同的取法。

〔解法〕设每次所取的两个数是α和b,且α>b,保证α+b>100。

当α=l00时, b 可以取99~1的所有自然数,有99种取法;

当α=99时, b 可以取98~2的所有自然数,有97种取法;

当α=98时, b 可以取97~3的所有自然数,有95种取法;

当α=97时, b 可以取96~4的所有自然数,有93种取法;

当α=96时, b 可以取95~5的所有自然数,有91种取法;

?? ??

当α=52时, b 可以取51~49的3个自然数,有3种取法;

当α=51时, b 可以取50这1个自然数,有1种取法;

2所以,共有1+3+5+7+9+??+97+99=50=2500种不同的取法。

12、在足球表面有五边形和六边形图案(见右图),每个五边形与5个六边形相连,

每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是 。

〔解法〕设五边形有α个,六边形有b个。

每个五边形有5条边,α个五边形共有5α条边。这5α条边都与六边形的边相邻。

每个六边形有6条边,而每个六边形有3条边与自己的同类相邻,被浪费掉了,其余的6-3=3条边才与五边形相邻。也就是说,每个六边形有3条边与五边形相邻,b个六边形共有3b条边与五边形相邻。于是,我们可以列出这样的等式: 5α=(6-3)b 5α=3b α︰b=3︰5 答:五边形和六边形的最简整数比是3︰5。

313、2个蟹将和4个虾兵打扫龙宫的,8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫。现在需10

清扫整个龙宫,那么单让蟹将去干与单让虾兵去干进行比较,虾兵比蟹将要多用多少个?

〔解法〕

①设1个蟹将能打扫龙宫的比例为χ,1个虾兵能打扫龙宫的比例为y。

31 解方程组得χ= 1012

1χ+10y== 30

11 ② 如果单让蟹将去干需要1÷=12(个),如果单让虾兵去干需要1÷=30(个)。 1230

虾兵比蟹将多用了30-12=18(个)。

14、一条船往返于甲、乙两港之间。已知船在静水中的速度为每小时8千米,平时逆行与顺行所用时间比为2︰1。一天,因下暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9小时,甲、乙两港相距多少千米?

〔解法〕㈠ 平时:

①平时逆行与顺行所用时间比为2︰1。因为路程相同,速度与时间成反比例,所以平时的逆水速度和顺水速度之比为1︰2。设平时的水流速度为χ千米/小时。

8(8-χ)︰(8+χ)=l︰2,解得χ=千米/时。 3χ+4y =

4

816㈡暴雨后:②水流速度为×2=千米/时。 33

1640168③顺水速度为8+=千米/时。逆水速度为8-=千米/时。 3333

840④暴雨后这艘船顺水和逆水航行所用时间的比是︰=1︰5,而这条船往返共用9小时,33

13340可得暴雨后顺水航行时间为9×=小时,甲乙两港之间的距离为×=20千米。 1?5232

11115、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且A D=AB,BE=BC,CF=CA,求三角334

形DEF的面积。

〔解法〕①三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比例关系不容易直接求

出,但是三角形ABC中其它3个三角形的面积却可以根据“鸟头定理”求出

来。

223②由题意可知,BD=AB,EC=BC,AF=AC。根据“鸟头定理”,334

212211可得S△DBE=× S△ABC=S△ABC; S△EFC=×S△ABC=S△ABC; 339346

131S△ADF=×S△ABC=S△ABC; 344

21113 ③所以,S△DEF=1×(1---)= 96436

16、甲、乙两班的学生人数相等,各有一些学生参加数学选修课,甲班参加数学选修课的人1数恰好是乙班没有参加的人数的,乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的3

1。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几? 4

〔解法l〕①设甲班没有参加的是4χ人。乙班没有参加的有3y人。

那么甲班参加的人数是y人,乙班参加的人数是x人

由于两班人数相等,所以4χ+y=x+3y, 可得3χ=2y,即x︰y=2︰3。

8②因此甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的4x÷3y=8÷9=。故甲班没9

8有参加的人数是乙班没有参加的人数的。 9

〔解法2〕①列一元一次方程。

假设两班人数都为“l”,设甲班参加的人数为χ,则甲班未参加的为(1-χ),进而1?x知道乙班参加的人数是。 甲班参加的人数为χ,则乙班未参加的人数是3χ,进而知4

1?x道乙班参加的人数是1-3χ。 和1-3χ都表示乙班参加的人数,所以可以列出方程: 4

1?x3 =1-3χ 解得χ=。

411

5

3389=;乙班未参加的为×3=,甲班没有参加的人数是乙班没11111111

889有参加的人数的÷=。 11119

17、某小学即将开运动会,一共有十项比赛,每位同学可以任报两项,那么要有____人报名参加运动会,才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同。 ②甲班未参加的为1-

〔分析〕一共有十项比赛,每位同学可以任报两项,那么有c2

10=45种不同的比赛项目组合方

式。那么,由抽屉原理知,至少要有45+l=46人报名时才能题意。

18、著名的数学家斯蒂芬?巴纳赫于1945年8月31日去世,他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数)。则他出生的年份是____年,他去世时的年龄是 岁。

22〔分析〕首先找出小于1945,大于1845的完全平方数,有1936=44,1849=43,显然只有1936符合实际

情况,所以斯蒂芬?巴纳赫在1936年为44岁。

那么他出生的年份为1936-44=1892年,

他去世的年龄为1945-1892=53岁。

19、已知:s=l+11+111+1111+??+111?11(共100个1),那么,s的最后四个数字构成的四位数 。

〔分析〕S是100项之和,这lO0项中,个位有100个l,十位有99个l,百位有98个l,千位有97个l。 S的最后四个数字只与千位以下的数有关。

而100×l+99×lO+98×100+97×1000=100+990+9800+97000=107890。

所以S的最后四个数字是7890。

20、有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是693,如果把所有这样的分数从大到小排列,那么第二个分数是 。

〔分析〕把693分解质因数:693=3×3×7×l1。为了保证分子、分母不能约分(否则就不是最简真分数), 相同质因数要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母。分子从大到小排列是ll,9,7,l;所以第二个分数是911。最大的分数是。 7763

6

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