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首师大二附中自研试题 13.5.24

发布时间:2014-01-06 16:53:03  

首师大二附中自研试题(一)2013、05、24

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1、已知集合M?{x||x?1|?2},N为自然数集,则M∩N为

A.{-1,0,1,2} ( ) B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}

2、执行如图所示的程序框图,输出的s值为 ( )

A. ?3 1B. ? 2C. 1 3

D. 2

3、若直线??x?3t,?x?3cos?,(t为参数)与圆?(?为参数)相切,则b?( ) y?1?4t,y?b?3sin?,??A ?4或6 B ?6或4 C ?1或9 D ?9或1

4、若sin?

A.

5、定义在R上的函数f(x)满足f(x?1)??f(x),当x∈(0,1]时,f(x)?cosx,设a?

f0(5.) ???3?x??,则sin2x的值为 ( ) ?4?51916147 B. C. D. 25252525

b?

f c?f,则a,b,c大小关系是( )

A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a

y2

6、设平面区域D是由双曲线x??1的两条渐近线和直线6x?y?8?0所围成三角形的边界42

及内部.当(x,y)?D时,x2?y2?2x的最大值为

1

( )

A.24 B.25 C.4 D.7

7、某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )

A.4种 B.10种 C.18种 D.20种

8、如图所示,正方体ABCD?A?B?C?D?的棱长为1, E,F分别是棱AA?,CC?的中点,过直线

E,F的平面分别与棱BB?、DD?交于M,N,

设BM? x,x?[0,1],给出以下四个命题: ①平面MENF?平面BDD?B?;

②四边形MENF周长L?f(x),x?[0,1]是单调函数; ③四边形MENF面积S?g(x),x?[0,1]是单调函数;

④四棱锥C??MENF的体积V?h(x)为常函数; 以上命题中正确命题的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9、(x?)n的展开式各项系数的和等于512,那么n;其展开式的第四项为 . 10、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示,那么此三棱锥的体积是,左视图的面积是 .

1x

俯视图

11、已知向量a,b满足:|a|?1,|b?,则a与b的夹角为 ;|6,a?(b?a)?2

|2a?b|?.

12、如图中阴影部分的面积是

2

P

BO

C

13、如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B、C两点,D是OC的中点,连结AD并延长交⊙O于点E.若PA?23,?APB?30?,则AE= .

14、如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内,它从原点运动到(0,1),接着它按如图所

示的x轴、y轴的平行方向来回运动,(即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…),且每秒移动一个单位,那么粒子运动到(3,0)点时经过了____________秒;2000秒时这个粒子所处的位置为____________。

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15、(本小题13分)在?ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c. 满足2acosC?ccosA?b.(Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求sinAcosB+sinB的最大值.

3

16、(本小题13分)袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;

(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记?为摸出两球中白球的个数,求?的期望和方差.

4

17、(本小题14分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?AC?5,D,E分别为BC,BB1的中点,四边形B1BCC1是边长为6的正方形. (Ⅰ)求证:A1B∥平面AC1D; (Ⅱ)求证:CE?平面AC1D; (Ⅲ)求二面角C?AC1?D的余弦值.

5

18、(本小题13分)已知函数f(x)?eax?(?a?1),其中a??1. (Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;

(Ⅱ)若存在x1?0,x2?0,使得f(x1)?f(x2),求a的取值范围.

6

ax

19、(本小题13分)设数列?an?的前n项和为Sn,且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2 (n=1,2,3?).

(Ⅰ)求证:数列Sn+1为等比数列; (Ⅱ)求通项公式an; {}

?bn?(Ⅲ)若数列??是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{bn}的前n项和为Tn. ?an?

7

20、(本小题14分)若圆C过点M(0,1)且与直线l:y??1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,

????????A、B(A在y轴的右侧)为曲线E上的两点,点P(0,t)(t?0),且满足AB??PB(??1).

(Ⅰ)求曲线E的方程;

(Ⅱ)若t=6,直线AB的斜率为

求圆N的方程;

(Ⅲ)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l上,求证:t1,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处有共同的切线,2

????????与QA?QB均为定值.

8

参考答案及评分标准20120525

一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

(9) 9;84x3 (10)3 2 (11)?

3;

;(12) 32

3 (13) 10 7(14) 15;(24,44)

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15、解:(Ⅰ)由正弦定理及2acosC?ccosA?b得,

2sinAcosC?sinCcosA?sinB.

在?ABC中,A?B?C??,

?A?C???B,即sin(A?C)?sinB.

?2sinAcosC?sinCcosA?sin(A?C)?sinAcosC?sinB?sinAcosC?sinB ?sinAcoCs?0

又?0?A??,0?C??,

?sinA?0.?cosC?0. ?C??

2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得C??

2,?A?B??

2,即B??

2?A.

?sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-(sinB-125

2)+4

0<B<?

2,

?当sinB=1

2,即B=?

6时,sinAcosB+sinB取得最大值5

4.

16、解:(Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件A,

摸出一球得白球的概率为2

5,

9

摸出一球得黑球的概率为3

5,

所以P(A)=2

5×33212

5+5×5=25.

答:两球颜色不同的概率是12

25.

(Ⅱ)由题知?可取0,1,2, 依题意得 P(??0)?3

5?2

4?3

10,P(??1)?32233211

5?4?5?4?5,P(??2)?5?4?10 则E??0?3

10?1?3

5?2?1

10?4

5,

D????4?23?4?23?4?219

?0?5???10???1?5???5???2?5???10?25. 摸出白球个数?的期望和方差分别是4

5,9

25.

17、(Ⅰ)证明:连结AC1,与AC1交于O点,连结OD.

因为O,D分别为AC1和BC的中点,所以OD∥A1B. 又OD?平面AC1D,A1B?平面AC1D, 所以A1B∥平面AC1D. ???4分 (Ⅱ)证明:在直三棱柱ABC?A1B1C1中, BB1?平面ABC,又AD?平面ABC,所以BB1?AD.

因为AB?AC,D为BC中点,

所以AD?BC.又BC?BB1?B, 所以AD?平面B1BCC1. 又CE?平面B1BCC1,

所以AD?CE.

因为四边形B1BCC1为正方形,D,E分别为BC,BB1的中点, 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD,?CC1D??BCE.

10

答:

所以?BCE??C1DC?90?.

所以C1D?CE.

又AD?C1D?D,

所以CE?平面AC1D. ????????9分 (Ⅲ)解:如图,以B1C1的中点G为原点,建立空间直角坐标系. 则A(0,6,4),E(3,3,0),C(?3,6,0),C1(?3,0,0).

????

由(Ⅱ)知CE?平面AC1D,所以CE?(6,?3,0)为平面AC1D的一个法向量.

设n?(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量,

?????????

AC?(?3,0,?4),CC1?(0,?6,0).

???????3x?4z?0,?n?AC?0,由?????可得 ??

??6y?0.??n?CC1?0.3

令x?

1,则y?0,z??.

4

所以n?(1,0,?).

34

????

????CE?n?. 从而cos?CE,n??|CE|

?|n|

因为二面角C?AC1?D为锐角, 所以二面角C?AC1?D的余弦值为

18、8. (Ⅰ)解:f?(x)?aeax

.????????14分 25

(x?1)[(a?1)x?1]

x2

① 当a??1时,令f?(x)?0,解得 x??1

f(x)的单调递减区间为(??,?1);单调递增区间为(?1,0),(0,??)

当a??1时,令f?(x)?0,解得 x??1,或x?

1 a?1

11

② 当?1?a?0时,f(x)的单调递减区间为(??,?1),(1,??) a?1

1单调递增区间为(?1,0),(0,) a?1

③ 当a?0时,f(x)为常值函数,不存在单调区间 ④ 当a?0时,f(x)的单调递减区间为(?1,0),(0,1) a?1

1单调递增区间为(??,?1),(,??) a?1

a1a?1?f()?e(a?1)2?1 a?1(Ⅱ)解:① 当a?0时,若x?(0,??),f(x)min

若x?(??,0),f(x)max?f(?1)?e?a?1,不合题意 ② 当a?0时,显然不合题意

a?a③ 当?1?a?0时,取x1??,则f(x1)?e2(a?1)?0 22

取x2??1,则f(x2)?e?a?0,符合题意 ④ 当a??1时,取x1?1,则f(x1)??e?1?0

取x2??1,则f(x2)?e?a?0,符合题意 综上,a的取值范围是[?1,0).

19、证明:(Ⅰ)因为 Sn+1=3Sn+2,

所以 Sn+1+13Sn+2+1==3. Sn+1Sn+1

又S1+1=3,

所以 {Sn+1}是首项为3,公比为3的等比数列.

n* (Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn?3?1,n?N.

12

当n=1时,a1=S1=2.

当n?2时,an?Sn?Sn?1?(3n?1)?(3n?1?1)

?3n?1(3?1) ?2?3n?1.

当n=1时符合上式, 故an?2?3n?1,n?N*.

?bn? (Ⅲ)因为 数列??是首项为1,公差为2的等差数列,

?an?

所以 bn=1+2(n-1)=2n-1. 所以 bn?2(2n?1)?3n?1 an

所以Tn?2?1?30?2?3?31???2(2n?1)?3n?1

所以 3Tn?2?1?31?2?3?32???2(2n?3)?3n?1?2(2n?1)?3n

所以 ?2Tn?2?4?31?4?32???4?3n?1?2(2n?1)?3n

?2?2?3?6?2(2n?1)?3?(4?4n)?3?4

所以 Tn?2?(2n?2)?3n

20、解、(Ⅰ)因为点C到定点M的距离等于到定直线l的距离,根据抛物线定义可知,点C

的轨迹是以点M为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为:x=4y.

(Ⅱ)因为t=6,直线AB的斜率为2nnn11,所以直线AB的方程是y=x+6. 22

1?y?x?6,? 由?得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4). 2

?x2?4y?

11x,所以 抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为?6?3. 22

1 所以 直线NA的方程为y??x?11. 3 因为 y'=

13

由线段AB的中点(1,1313)得线段AB的垂直平分线方程为y???2(x?1),即22

y??2x?17. 2

13??y??x?11,x??,??323??32 由?得?即N(-,). 22?y?23.?y??2x?17

???2?2

所以 圆C的方程为(x+322323232125. )+(y-)=(-4+)2+(4-)=22222

2x12x2(Ⅲ)设A(x1,),B(x2,),Q(m,-1). 44

2x12x2x2

+1+1+1x1x2x 由可知,x1,x2是方程=,==即x2-2mx-4=0的两x1-m2x2-m2x-m2

根,所以 x1+x2=2m,x1x2=-4.

2x2x12x12--t 又因为A,P,B共线,所以. =x2-x1x1

即x1x2=-4t. 所以 -4t=-4.即 t=1.

2????????x12x2?1)?(x2?m,?1) 所以QA?QB?(x1?m,44

22x12x2x12?x24m2?822??1 ??4?2m?m?1??1?0. ?x1x2?m(x1?x2)?m?16442

所以 t与QA?QB均为定值.

????????

14

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