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第4讲指数与指数函数

发布时间:2014-08-05 21:02:43  
第4讲
【2013 年高考会这样考】

指数与指数函数

1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用. 3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或比较大小. 【复习指导】 1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运算能力是高考得分 的保障,所以熟练掌握这一基本技能是重中之重. 2.本讲复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用图象掌握指数函数 的性质.重点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象与性质.

基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且,n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也 n 就是,若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 a叫做根式, 这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这 n 时,a 的 n 次方根用符号 a表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n n n 次方根用符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示.正负两个 n 次方根可 n 以合写为± a(a>0). n ?n ③? ? a? =a. n ④当 n 为奇数时, an=a;

?a≥0? ?a n 当 n 为偶数时, an= |a|=? . ?-a ?a<0? ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
* ①正整数指数幂:an=a· a· ?· na 个 (n∈N );

②零指数幂:a0=1(a≠0); 1 ③负整数指数幂:a-p=ap(a≠0,p∈N*); m n ④正分数指数幂:a n = am(a>0,m、n∈ N*,且 n>1); m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- n = m= (a>0,m、n∈N*且 n>1). a n n am ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q) ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q) ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1) x<0 时,0<y<1 x<0 时,y>1. 在(-∞,+∞)上是减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1; 在(-∞, +∞)上是增函 数

一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用 分数指数幂进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0 <a<1 和 a>1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. 三个关键点 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), 1? ? ?-1,a?. ? ? 双基自测 aπ 1.(2011· 山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 6 的值为( A.0 C.1 3 B. 3 D. 3 ).

aπ π 解析 由题意有 3a=9,则 a=2,∴tan 6 =tan 3= 3. 答案 D 2.(2012· 郴州五校联考)函数 f(x)=2|x-1|的图象是( ).

2x-1,x≥1, ? ? 解析 f(x)=??1?x-1 ? ? ,x<1, ? ??2? 答案 B

故选 B.

3.若函数 f(x)=

1 ,则该函数在(-∞,+∞)上是( 2 +1
x

).

A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值 解析 设 y=f(x),t=2x+1, 1 则 y= t ,t=2x+1,x∈(-∞,+∞)

B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值

t=2x+1 在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞). 1 因此 y= t 在(1,+∞)上递减,值域为(0,1). 答案 A 4.(2011· 天津)已知 a= 5 A.a>b>c C.a>c>b
log2 3.4

,b= 5

log4 3.6

?1? ,c= ? ? ?5?

log3 0.3

,则(

).

B.b>a>c D.c>a>b
log3 0.3

?1? 解析 c= ? ? ?5?
>log33=1,

= 5?log3 0.3 ? 5

log3

10 3

10 , log23.4>log22=1, log43.6<log44=1, log3 3

10 10 10 又 log23.4>log2 3 >log3 3 ,∴log2 3.4>log3 3 >log4 3.6 又∵y=5x 是增函数,∴a>c>b. 答案 C 1 1 5 . (2012· 天津一中月考 ) 已知 a 2 + a - 2 = 3 ,则 a + a - 1 = ______ ; a2 + a - 2 = ________. 1 1 解析 由已知条件(a +a- )2=9.整理得:a+a-1=7 2 2 又(a+a-1)2=49,因此 a2+a-2=47. 答案 7 47

考向一

指数幂的化简与求值

【例 1】?化简下列各式(其中各字母均为正数).

(1)

2 -1 1 1 1 ?a3· b ?-2· a-2· b3 6 a· b
5



5 1 -2 1 2 -3 1 (2)6a3· b · (-3a-2b-1)÷ (4a3· b )2. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键. 1 1 1 1 a-3b2· a-2b3 1 5 a6b6

解 (1)原式=

1 1 1 1 1 5 1 =a-3-2-6· b2+3-6=a. 5 1 2 -3 1 (2)原式=-2a-6b-3÷ (4a3· b )2 3? 5 1 ? 1 ?a3b-2? =-4a-6b-3÷ ? ? 5 1 3 =-4a-2· b-2 5 1 5 ab =-4· 3=- 4ab2 . ab 化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂. 【训练 1】 计算: 1 ? 1? ? 7?1 (1)0.027-3-?-7?-2+?29?2-( 2-1)0; ? ? ? ?
-1 3 ?1? 1 ? 4ab ? ? ? (2) 4 -2· 1. ? ? 0.1-2?a3b-3?2

? 27 ? 1 ?1? ?25?1 解 (1)原式=?1 000?-3-(-1)-2?7?-2+? 9 ?2-1 ? ? ? ? ? ? 10 5 = 3 -49+3-1=-45.

3 3 3 3 4 4 (2)原式= 100 · a2· a-2· b2· b-2=25a0· b0=25. 考向二 指数函数的性质

1 3 42· 42

1? 3 ? 1 【例 2】?已知函数 f(x)=?ax-1+2?· x (a>0 且 a≠1). ? ? (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. [审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通 过求最值解决. 解 (1)由于 ax-1≠0,且 ax≠1,所以 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2)对于定义域内任意 x,有 1? ? 1 f(-x)=?a-x-1+2?(-x)3 ? ?
x 1? 1 1? ? a ? =?1-ax+2?(-x)3=?-1-ax-1+2?(-x)3 ? ? ? ?

1? ? 1 =?ax-1+2?x3=f(x), ? ? ∴f(x)是偶函数. (3)当 a>1 时,对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1, ∴ax-1>0, 1 1 +2>0. a -1
x

1? ? 1 又 x>0 时,x3>0,∴x3?ax-1+2?>0, ? ? 即当 x>0 时,f(x)>0. 又由(2)知 f(x)为偶函数,即 f(-x)=f(x), 则当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上可知,当 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. 当 0<a<1 时,f(x)= ?ax+1?x3 . 2?ax-1?

当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0,

ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意; 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求 a 的取值范围是 a>1. (1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的 形式,另外,还可利用 f(-x)± f(x), f?x? 来判断. f?-x?

(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. e-x a 【训练 2】 设 f(x)= a + -x是定义在 R 上的函数. e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, a? ?e ex a ∴f(-x)=-f(x),即 a +ex=-? a + -x?, e ? ? 1? ? 整理得?a+a?(ex+e-x)=0, ? ? 1 即 a+a=0,即 a2+1=0 显然无解. ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), ex a e a 即 a +ex= a + -x, e 1? ? 整理得?a-a?(ex-e-x)=0, ? ? 1 又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a-a=0,得 a=± 1. 当 a=1 时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1- ex2-e-x2 = ?ex1-ex2??ex1+x2-1? , ex1+x2
-x -x

∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, ∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e-x a ∴函数 f(x)= a + -x, e 当 a=1 时在(0,+∞)为增函数, 同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数. 考向三 指数函数图象的应用 ).

ex+e-x 【例 3】?(2009· 山东)函数 y= x -x的图象大致为( e -e

[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性. e2x+1 2 解析 y= 2x =1+ 2x ,当 x>0 时,e2x-1>0 且随着 x 的增大而增大,故 e -1 e -1 y=1+ 2 >1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单 e -1
2x

调递减,又函数 y 是奇函数,故选 A. 答案 A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质,比如:函 数 y= ax-1 ex-e-x x , y = 2 ,y=lg(10 -1)等. ax+1

【训练 3】 已知方程 10x=10-x,lg x+x=10 的实数解分别为 α 和 β,则 α+β 的值是________.

解析 作函数 y=f(x)=10x,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x 的图象如图所示,由 于 y=f(x)与 y=g(x)互为反函数,∴它们的图象是关于直线 y=x 对称的.又直线 y=h(x)与 y=x 垂直,∴y=f(x)与 y=h(x)的交点 A 和 y=g(x)与 y=h(x)的交点 B 是关于直线 y=x 对称的.而 y=x 与 y=h(x)的交点为(5,5).又方程 10x=10-x α+β 的解 α 为 A 点横坐标,同理,β 为 B 点横坐标.∴ 2 =5,即 α+β=10.

答案 10

难点突破 3——如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除 最基本问题外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数 学思想. 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011· 福建五市模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内 ?f?x?,f?x?≥K, 有定义.对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2+ ?K,f?x?<K, x+e x, 若对任意的 x∈(-∞, +∞), 恒有 fK(x)=f(x), 则 K 的最大值为________.


二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 ?f1?x?,f1?x?≤f2?x?, 【示例】 ? 若 f1(x)=3|x-1|, f2(x)=2· 3|x-a|,x∈R,且 f(x)=? 则 ?f2?x?,f1?x?>f2?x?, f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立,则实数 a 的取值范围是________.

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