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必修一二四复习检测试卷

发布时间:2014-08-05 21:03:41  
2014 暑期辅导阶段卷(二)
一.选择题(共 10 小题) x 1.设集合 A={x 丨丨 x﹣1 丨<2},B={y 丨 y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩ B=( A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 2.函数 f(x)= A.(0,2) 的定义域为( B.(0,2] ) D.[2,+∞)
x



C.(2,+∞)

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(log32)的值为( A.﹣2 B. C. D.2 ﹣ 4.在定义域内既为奇函数又为增函数的是( ) 3 A. B.y=sinx C.y=x x y=( )



D.y=log

x

5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= A.﹣1 B.0 + C.1 +2 C. D.2

,则 f(2011)的值为(



6.设 O 为△ ABC 内部的一点,且 A.1 B.

=0,则△ AOC 的面积与△ BOC 的面积之比为( D.2 cos3x 的图象( )



7.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. B. 向右平移 个单位 向左平移 个单位

C.

向右平移

个单位

D. 向左平移

个单位

8.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( ) A. 若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ nB. 若 m⊥ α, n?α, 则 m⊥ nC. 若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ αD. 若 m∥ α,m⊥ n,则 n⊥ α 9.已知棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,该三棱锥的侧视图可能为( )

A.

B.

C.

D.

10.已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f

(x4) ,且 x1<x2<x3<x4,则 A.(20,32) B.(9,21) C.(8,24)

的取值范围是( D.(15,25)



二.填空题(共 5 小题) 11.直线 x+2y+2=0 与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于 _________ .

12.已知向量 与 的夹角为 60°,且 =(﹣2,﹣6) ,| |=

,则 ? = _________ .

13. (2014?漳州模拟)已知函 f(x)=

,则 f(f( ) )= _________ .

14.方程 sinx+

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于 _________ .

15.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥ 平面 ABCD,过 A 点的截面 AEFG 分别交 PB,PC, PD 于点 E,F,G,且 PB⊥ AE,PD⊥ AG.下列结论正确的是 _________ (写出所有正确结论的编号) . ① BD∥ 平面 AEFG; ② PC⊥ 平面 AEFG; ③ EF∥ 平面 PAD; ④ 点 A,B,C,D,E,F,G 在同一球面上; ⑤ 若 PA=AB=1,则四棱锥 O﹣AEFG 的体积为 .

三.解答题(共 6 小题) 16.已知集合 A={x|m<x<m+2},B={x|1<2 <8}. (1)若 m=﹣1,求 A∪ B; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 17.已知函数 f(x)= 点的距离为 π. (Ⅰ )求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ )若 f( )= ( <α< ) ,求 cos(α+ )的值. sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ ≤φ< )的图象关于直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高
﹣x

18.已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图象过点(



)和点(



﹣2) . (Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上的最高点 到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 19.如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F、G 分别为 AC、DC、 AD 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )求三棱锥 D﹣BCG 的体积. 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

20.已知圆 C 经过 A(5,2) ,B(3﹣ ,2﹣ ) ,且圆心 C 在直线 x=3 上. (1)求圆 C 的方程; (2)求过 D(0,1)点且与圆 C 相切的两条切线方程. 21.若定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣1 成立,且当 x>0 时,f (x)>1. (1)求证:f(x)﹣1 为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; 2 (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3.

2014 暑期辅导阶段卷(二)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?山东)设集合 A={x 丨丨 x﹣1 丨<2},B={y 丨 y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩ B=( A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 考点: 专题: 分析: 交集及其运算.
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x



解答:

集合. 求出集合 A,B 的元素,利用集 合的基本运算 即可得到结论. 解: A={x 丨丨 x ﹣1 丨<2}={x 丨﹣1<x<3}, B={y 丨 y=2 , x∈[0, 2]}={y 丨 1≤y≤4}, 则 A∩ B={x 丨 1≤y<3}, 故选:C 本题主要考查 集合的基本运 算,利用条件求 出集合 A,B 是 解决本题的关 键.
x

点评:

2. (2014?山东)函数 f(x)= A.(0,2) 考点: 专题: 分析: B.(0,2] 函数的定义域 及其求法. 计算题;函数的 性质及应用. 分析可知,
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的定义域为( C.(2,+∞)

) D.[2,+∞)

解答:

,解出 x 即可. 解:由题意可 得,

, 解得 , 即

点评:

x>2. ∴ 所求定义域为 (2,+∞) . 故选:C. 本题是对基本 计算的考查,注 意到“真数大于 0”和“开偶数次 方根时,被开方 数要大于等于 0”, 及“分母不为 0”,即可确定所 有条件.高考中 对定义域的考 查,大多属于容 易题.
x

3. (2014?广安三模)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(log32)的值为( A.﹣2 B. C. D.2 ﹣



考点:

专题: 分析:

函数奇偶性的 性质;函数的 值. 函数的性质及 应用. 根据函数奇偶 性的性质,进行 转化即可得到 结论.
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解答:

解:∵ log32>0, ∴ ﹣log32<0, ∵ f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x<0 时,f x (x)=3 , ∴ f(﹣log32)= ﹣f(log32) , 即 f(log32)= ﹣f(﹣log32)= ﹣

=

点评:

, 故选:B. 本题主要考查 函数值的计算, 利用函数奇偶 性的性质以及 指数函数的性 质是解决本题 的关键.

4. (2014?吉林二模)在定义域内既为奇函数又为增函数的是( ) 3 A. B.y=sinx C.y=x D.y=log x y=( )

x

考点:

专题: 分析:

解答:

函数单调性的 判断与证明;函 数奇偶性的判 断. 函数的性质及 应用. 利用函数的奇 偶性与单调性 的定义, 判定 A、 B、 C、 D 选项中 的函数是否满 足条件即可. 解:
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A.y= 是非奇非偶的 函数,也是减函 数,∴ 不满足条 件,故 A 不选; B.y=sinx 是奇 函数,但在区间 [2kπ+ 2kπ+ , ]

(k∈Z)上是减 函数,在区间 [2kπ﹣ ,

2kπ+

](k∈Z)

上是增函数,∴ 不满足条件,故 B 不选; 3 C.y=x 是定义 域内的奇函数, 也是增函数,满 足条件,故 C 选; D.y= x是 非奇非偶的函 数,也是减函 数,∴ 不满足条 件,故 D 不选; 故选:C. 本题考查了基 本初等函数的 奇偶性与单调 性问题,是基础 题.

点评:

5. (2014?黄山一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 值为( ) A.﹣1 考点:

,则 f(2011)的

B.0 对数的运算性 质;函数的值.
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C.1

D.2

专题: 分析:

解答:

计算题;压轴 题. 通过函数的表 达式,利用 f (2011)推出 x >0 时,函数的 周期,求出 f (2011) =f (1) , 然后求解函数 的值. 解:f(2011) =f(2010)﹣f (2009)=f (2009)﹣f (2008)﹣f (2009)=﹣f (2008)=

点评:

﹣f(2007)+f (2006)=﹣[f (2006)﹣f (2005)﹣f (2006)]=f (2005) . 函数 f(x)x>0 时,周期为 6, ∴ f (2011) =f ( 1) =f (0) ﹣f (﹣1) =log21﹣log22 =﹣1. 故选 A. 本题主要考查 对数的运算性 质和有理数指 数幂的化简求 值的知识点,解 答本题的关键 是熟练对数的 运算性质,此题 难度一般.

6. (2014?陕西一模)设 O 为△ ABC 内部的一点,且 A.1 B. C.

+

+2

=0,则△ AOC 的面积与△ BOC 的面积之比为(



D.2

考点: 专题: 分析:

解答:

向量的加法及 其几何意义. 平面向量及应 用. 利用向量的运 算法则:平行四 边形法则得到 O 是 AB 边的中线 的中点,得到三 角形面积的关 系. 解:设 AB 的中 点为 D,
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∵ +

+2

=

0, ∴ O 为中线 CD 的中点, ∴ △ AOC, △ AOD, △ BOD 的面积相 等,

点评:

∴ △ AOC 与 △ AOB 的面积之 比为 1:2, 同理△ BOC 与 △ A0B 的面积之 比为 1:2, ∴ △ AOC 的面积 与△ BOC 的面积 之比为 1:1 故选:A. 本题考查向量 的运算法则:平 行四边形法则 及同底、同高的 三角形面积相 等. cos3x 的图象( )

7. (2014?浙江)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. B. 向右平移 个 向左平移 个 单位 C. 向右平移 单位 考点: 单位 D. 个 向左平移 单位 函数 y=Asin (ωx+φ)的图 象变换. 三角函数的图 像与性质. 利用两角和与 差的三角函数 化简已知函数 为一个角的一 个三角函数的 形式,然后利用 平移原则判断 选项即可. 解:函数 y=sin3x+cos3x=
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专题: 分析:

解答:

,故只需将函数 y= cos3x 的 图象向右平移 个单位, 得到 y=

=

点评:

的图象. 故选:C. 本题考查两角 和与差的三角 函数以及三角 函数的平移变 换的应用,基本 知识的考查. )

8. (2014?辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥ α,n∥ α, B.若 m⊥ α,n?α,C.若 m⊥ α,m⊥ n,D.若 m∥ α,m⊥ n, 则 m∥ n 则 m⊥ n 则 n∥ α 则 n⊥ α 考点: 空间中直线与 直线之间的位 置关系. 空间位置关系 与距离. A.运用线面平 行的性质,结合 线线的位置关 系,即可判断; B.运用线面垂 直的性质,即可 判断; C.运用线面垂 直的性质,结合 线线垂直和线 面平行的位置 即可判断; D.运用线面平 行的性质和线 面垂直的判定, 即可判断. 解: A. 若 m∥ α, n∥ α,则 m,n 相交或平行或 异面,故 A 错; B.若 m⊥ α, n?α,则 m⊥ n, 故 B 正确; C.若 m⊥ α, m⊥ n,则 n∥ α或 n?α,故 C 错;
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专题: 分析:

解答:

点评:

D.若 m∥ α, m⊥ n,则 n∥ α或 n?α 或 n⊥ α,故 D 错. 故选 B. 本题考查空间 直线与平面的 位置关系,考查 直线与平面的 平行、垂直的判 断与性质,记熟 这些定理是迅 速解题的关键, 注意观察空间 的直线与平面 的模型.

9. (2014?甘肃二模)已知棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,该三棱锥的侧视图可 能为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

简单空间图形 的三视图. 空间位置关系 与距离. 利用三视图的 定义,直接判断 选项即可. 解:侧视图是从 左向右看,侧视 图的底边长应 当是正三角形 的高, 俯视图可知三 棱锥的一条侧 棱在俯视图中 是一个点,另两 条侧棱重合于 底面三角形的
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点评:

边, ∴ B 满足题意. 故选:B. 本题考查几何 体的三视图的 作法,考查空间 想象能力以及 视图的应用能 力.

10. (2014?宁城县模拟)已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(x1)

=f(x2)=f(x3)=f(x4) ,且 x1<x2<x3<x4,则 A.(20,32) 考点: B.(9,21) C.(8,24) D.(15,25)

的取值范围是(



函数的零点与 方程根的关系.
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专题: 分析:

综合题;函数的 性质及应用. 画出函数 f(x) 的图象,确定 x1x2=1, x3+x4=12,2< x3<x4<10,由 此可得则

解答:

的取值范围. 解:函数的图象 如图所示, ∵ f (x1) =f (x2) , ∴ ﹣ log2x1=log2x2, ∴ log2x1x2=0, ∴ x1x2=1, ∵ f (x3) =f (x4) , ∴ x3+x4=12,2< x3<x4<10 ∴

=x3x4﹣ (x3+x4)

+1=x3x4﹣11, ∵ 2<x3<x4<10 ∴

的取值范围是 (9,21) . 故选:B.

点评:

本小题主要考 查分段函数的 解析式求法及 其图象的作法、 函数的值域的 应用、函数与方 程的综合运用 等基础知识,考 查运算求解能 力,考查数形结 合思想、化归与 转化思想,属于 中档题.

二.填空题(共 5 小题) 11. (2014?南平模拟)直线 x+2y+2=0 与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于 2 . 考点: 直线的一般式 方程与直线的 垂直关系. 直线与圆. 利用直线相互 垂直与斜率之 间的关系即可 得出. 解:∵ 直线 x+2y+2=0 与直 线 ax﹣y+1=0 互 相垂直,
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专题: 分析:

解答:

∴ ,解得 a=2. 故答案为:2. 本题考查了直 线相互垂直与 斜率之间的关 系,属于基础 题.

点评:

12. (2014?重庆)已知向量 与 的夹角为 60°,且 =(﹣2,﹣6) ,| |= 考点: 专题: 分析: 平面向量数量 积的运算. 平面向量及应 用. 利用向量的模、 夹角形式的数 量积公式,求出 即可
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,则 ? =

10 .

解答:

解:∵ =(﹣2, ﹣6) , ∴



=2 =10. 故答案为:10. 本题考查了向 量的数量积公 式,属于基础 题.

点评:

13. (2014?漳州模拟)已知函 f(x)=

,则 f(f( ) )=



考点:

对数的运算性 质;函数的值.
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专题: 分析:

函数的性质及 应用. 利用分段函数

解答:

直接进行求值 即可. 解:由分段函数 可知 f( ) = ,

f (f ( ) ) =f (﹣ 2)= .

故答案为: . 点评: 本题主要考查 分段函数求值, 比较基础. cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于

14. (2014?上海)方程 sinx+



考点:

专题: 分析:

两角和与差的 正弦函数;正弦 函数的图象. 三角函数的求 值. 由三角函数公 式可得 sin
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(x+ 可知 x+ 或 x+

)= ,

=2kπ+



=2kπ+ ,k∈Z,结

解答:

合 x∈[0,2π], 可得 x 值,求和 即可. 解: ∵ sinx+ cosx= 1, ∴ sinx+ = , 即 sin(x+ ) cosx

= , 可知 x+ 或 x+ =2kπ+ ,k∈Z, 又∵ x∈[0,2π], ∴ x= x= ∴ , + = ,或 =2kπ+ ,

故答案为: 点评: 本题考查两角 和与差的三角 函数公式,属基 础题.

15. (2014?安徽模拟)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥ 平面 ABCD,过 A 点的截面 AEFG 分别交 PB,PC,PD 于点 E,F,G,且 PB⊥ AE,PD⊥ AG.下列结论正确的是 ① ② ④ (写出所有正确结论的编号) . ① BD∥ 平面 AEFG; ② PC⊥ 平面 AEFG; ③ EF∥ 平面 PAD; ④ 点 A,B,C,D,E,F,G 在同一球面上; ⑤ 若 PA=AB=1,则四棱锥 O﹣AEFG 的体积为 .

考点:

专题: 分析:

空间中直线与 直线之间的位 置关系. 综合题;空间位 置关系与距离. ① 证明 EG∥ BD, 可得结论;② 证
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明 AE⊥ PC, AG⊥ PC, 即可证 明 PC⊥ 平面 AEFG; ③ 利用反 证法可以得出 结论; ④ 由② 可知 OA=OB=OC=O D=OE=OF=OG = AC, 故点 A, B, C, D, E, F, G 在同一球面 上;⑤ 若连接 AF,取 AF 的中 点 M, 连接 OM, 可求四棱锥 O﹣ AEFG 的体积. 解:∵ PB⊥ AE, PD⊥ AG, AB=AD, ∴ PB=PD, PE=PG, ∴ EG∥ BD, ∴ BD∥ 平面 AEFG,∴ ① 正确; 由已知可得 BC⊥ 平面 PAB, CD⊥ 平面 PAD, ∴ AE⊥ BC, AG⊥ CD, ∵ PB⊥ AE, PD⊥ AG, ∴ AE⊥ PC, AG⊥ PC, ∴ PC⊥ 平面 AEFG, ∴ ② 正确; 由② 可知 EF⊥ PC,∴ EF 与 BC 必相交,假 设 EF∥ 平面 PAD,由 BC∥ 平 面 PAD, 可得平 面 PAD∥ 平面 PBC,显然矛 盾,∴ ③ 错误; 由② 可知 OA=OB=OC=O D=OE=OF=OG

解答:

= AC,∴ 点 A, B, C, D, E, F, G 在同一球面 上,∴ ④ 正确; 连接 AF,取 AF 的中点 M, 连接 OM,则 OM∥ PC,∴ OM⊥ 平面 AEFG,由 已知可得 AE= AF= ∴ EF= OM= , , , , ∴ 四棱

锥 O﹣AEFG 的 体积 V= =

,∴ ⑤ 错误. 故答案为:① ② ④ . 本题考查空间 中直线与直线 之间的位置关 系,考查学生分 析解决问题的 能力,难度中 等.

点评:

三.解答题(共 6 小题) 16. (2014?信阳一模)已知集合 A={x|m<x<m+2},B={x|1<2 <8}. (1)若 m=﹣1,求 A∪ B; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 考点: 集合的包含关 系判断及应用; 并集及其运算.
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﹣x

专题: 分析:

规律型. (1)当 m=﹣1 时, 求出集合 A, B,利用集合的 运算求 A∪ B; (2)利用条件

解答:

A?B, 确定条件 关系即可求 m 的取值范围. 解: (1)当 m= ﹣1 时,A={x| ﹣1<x<1}, B={x|1<2 < 8}={x|﹣3<x< 0}. ∴ A∪ B={x|﹣3< x<1}. (2)若 A?B, 则 , 即
﹣x

, ∴ ﹣3≤m≤﹣2. 本题主要考查 集合的基本运 算以及集合关 系的应用,比较 基础.

点评:

17. (2014?重庆)已知函数 f(x)= 相邻两个最高点的距离为 π. (Ⅰ )求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ )若 f( )= ( <α<

sin(ωx+φ) (ω>0,﹣

≤φ<

)的图象关于直线 x=

对称,且图象上

) ,求 cos(α+

)的值.

考点:

专题: 分析:

函数 y=Asin (ωx+φ)的图 象变换;运用诱 导公式化简求 值. 三角函数的图 像与性质. (Ⅰ )由题意可 得函数 f(x)的 最小正周期为 π 求得 ω=2.再根 据图象关于直
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线 x= 结合﹣

对称, ≤φ<

可得 φ 的

值. (Ⅱ )由条件求 得 sin(α﹣ )

= . 再根据 α﹣ 的范围求得 cos(α﹣ )的

值,再根据 cos (α+ )

=sinα=sin[(α﹣ )+ ],利

解答:

用两角和的正 弦公式计算求 得结果. 解: (Ⅰ )由题意 可得函数 f(x) 的最小正周期 为 π,∴ =π,

∴ ω=2. 再根据图象关 于直线 x= 称,可得 2× +φ=kπ+ ,k∈z. 结合﹣ ≤φ< 对

可得 φ=﹣ . (Ⅱ )∵ f( = ( ) , ∴ sin(α﹣ )= ,∴ sin )

< α<

(α﹣

)= .

再根据 0<α﹣ < , )

∴ cos(α﹣ =

=

, )

∴ cos(α+

=sinα=sin[(α﹣ )+ (α﹣ cos ]=sin ) +cos ( α﹣

)sin = + = . 点评: 本题主要考查 由函数 y=Asin (ωx+φ)的部 分图象求函数 的解析式,两角 和差的三角公 式、的应用,属 于中档题.

18. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) .





(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上的最高点 到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 考点: 平面向量数量 积的运算;正弦 函数的单调性;

专题: 分析:

函数 y=Asin (ωx+φ)的图 象变换. 平面向量及应 用. (Ⅰ )由题意可 得 函数 f(x) =msin2x+ncos2 x,再由 y=f(x) 的图象过点
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( 点 (



)和 , ﹣2) ,

解方程组求得 m、n 的值. (Ⅱ )由(Ⅰ )可 得 f(x)=2sin (2x+ ) , 根据

函数 y=Asin (ωx+φ)的图 象变换规律求 得 g(x)=2sin (2x+2φ+ )

的图象,再由函 数g (x) 的一个 最高点在 y 轴 上, 求得 φ= ,

解答:

可得 g(x) =2cos2x. 令 2kπ ﹣π≤2x≤2kπ, k∈Z,求得 x 的 范围, 可得 g (x) 的增区间. 解: (Ⅰ )由题意 可得 函数 f (x) = ? =msin2x+ ncos2x, 再由 y=f(x)的 图象过点( ) 和点 ( ﹣2) ,可得 , ,

. 解得 m= , n=1. (Ⅱ )由(Ⅰ )可 得 f(x) = sin2x+cos2 x=2 ( sin2x+ co

s2x)=2sin (2x+ ) .

将 y=f(x)的图 象向左平移 φ (0 <φ<π) 个单位 后, 得到函数 g(x) =2sin[2(x+φ) + ]=2sin )

(2x+2φ+

的图象,显然函 数g (x) 最高点 的纵坐标为 1. y=g(x)图象上 各最高点到点 (0,3)的距离 的最小值为 1, 故函数 g (x) 的 一个最高点在 y 轴上, ∴ 2φ+ =2kπ+

,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= ,

故 g(x)=2sin (2x+ )

=2cos2x. 令 2kπ﹣ π≤2x≤2kπ, k∈Z,

求得 kπ﹣ ≤x≤kπ, 故 y=g (x) 的单 调递增区间是 [kπ﹣ ,kπ],

点评:

k∈Z. 本题主要考查 两个向量的数 量积公式,三角 恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换规 律,余弦函数的 单调性,体现了 转化的数学思 想,属于中档 题.

19. (2014?辽宁)如图,△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ ABC=∠ DBC=120°,E、F、G 分 别为 AC、DC、AD 的中点. (Ⅰ )求证:EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )求三棱锥 D﹣BCG 的体积. 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

考点:

专题: 分析:

棱柱、棱锥、棱 台的体积;直线 与平面垂直的 判定. 综合题;空间位 置关系与距离. (Ⅰ )先证明 AD⊥ 平面 BGC, 利用 EF∥ AD, 可得 EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )在平面 ABC 内,作
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AO⊥ CB,交 CB 的延长线于 O, G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半,利 用 VD﹣BCG=VG


BCD=

解答:

,即可求三棱锥 D﹣BCG 的体 积. (Ⅰ )证明: ∵ AB=BC=BD=2 .∠ ABC=∠ DBC =120°, ∴ △ ABC≌ △ DBC, ∴ AC=DC, ∵ G 为 AD 的中 点, ∴ CG⊥ AD. 同理 BG⊥ AD, ∵ CG∩ BG=G, ∴ AD⊥ 平面 BGC, ∵ EF∥ AD, ∴ EF⊥ 平面 BCG; (Ⅱ )解:在平 面 ABC 内,作 AO⊥ CB,交 CB 的延长线于 O, ∵ △ ABC 和△ BCD 所在平面互相 垂直, ∴ AO⊥ 平面 BCD, ∵ G 为 AD 的中 点, ∴ G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△ AOB 中, AO=ABsin60° ﹣ , ∴ VD﹣BCG=VG﹣
BCD=

=

= .

点评:

本题考查线面 垂直,考查三棱 锥体积的计算, 正确转换底面 是关键. ,2﹣ ) ,且圆心 C 在直线 x=3 上.

20. (2014?沈阳模拟)已知圆 C 经过 A(5,2) ,B(3﹣ (1)求圆 C 的方程; (2)求过 D(0,1)点且与圆 C 相切的两条切线方程. 考点: 圆的切线方程; 圆的一般方程.
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专题: 分析:

综合题;直线与 圆. (1) 解法 1: 利 用圆心 C 在直 线 x=3 上, 设圆 C 的方程为(x 2 ﹣3) +(y﹣b) 2 2 =R ,代入 A, B 的坐标,可得 圆 C 的方程; 解 法 2:圆心 C 在 AB 的垂直平分 线 l 上,求出其 方程,与直线 x=3 联立,求出 圆心坐标,可得 圆 C 的方程; (2)当斜率不 存在时,不存在 经过 D(0,1) 的切线; 解法 1: 切线方程为 y=kx+1 与圆的

解答:

方程联立,利用 方程有唯一一 个解,可求切线 方程;解法 2: 利用直线与圆 相切,可得圆心 C(3,2)到直 线 kx﹣y+1=0 的距离等于圆 的半径,可求切 线方程. 解: (1) 解法 1: ∵ 圆心 C 在直线 x=3 上, ∴ 设圆 C 的方程 为(x﹣3) +(y 2 2 ﹣b) =R . ∵ 圆 C 经过 , ∴
2

, ∴

,∴ 解方程组得 , ∴ 设圆 C 的方程 2 为(x﹣3) +(y 2 ﹣2) =4. 解法 2:∵ 圆C 经过 , ∴ 圆心 C 在 AB 的垂直平分线 l 上,且 AB 的中 点坐标

. ∵

, ∴

. ∴ 直线 l 方程为

. ∵ 圆心 C 在直线 x=3 上, ∴

, ∴

,∴ 圆心 C(3, 2) , ∵

,∴ 圆 C 的方程 为(x﹣3) +(y 2 ﹣2) =4. (2)当斜率不 存在时,不存在 经过 D(0,1) 的切线; 解法 1:当斜率 存在时,设切线 的斜率为 k,则 切线方程为 y=kx+1. 解方程组
2

, 2 得 (x﹣3)+ (kx 2 ﹣1) =4,即 2 2 (k +1)x ﹣2 (k+3)x+6=0. ∵ 方程有唯一一 个解,∴ △ =4

(k+3) ﹣4×6 2 (k +1)=0, 2 ∴ 5k ﹣6k﹣ 3=0, ∴ 解方程得 ,∴ 切线方程

2

. 解法 2: ∵ 直线与 圆相切, ∴ 圆心 C (3,2)到直线 kx﹣y+1=0 的距 离等于圆的半 径, ∴

, ∴ ∴ 4k +4=9k ﹣ 6k+1, ∴ 5k ﹣6k﹣ 3=0, ∴ 解方程得 ,∴ 切线方程
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点评:

本题考查圆的 方程,考查直线 与圆的位置关 系,考查分类讨 论的数学思想, 考查学生的计 算能力,属于中

档题. 21. (2012?宜宾一模)若定义在 R 上的函数 f(x)对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣1 成立, 且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)﹣1 为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3. 考点: 函数奇偶性的 判断;函数单调 性的判断与证 明;一元二次不 等式的解法. 计算题;证明 题. (1)要判断函 数的奇偶性方 法是 ( f x) +f (﹣ x)=0.现在要 判断 f(x)﹣1 的奇偶性即就 是判断[f(x)﹣ 1]+[f(﹣x)﹣ 1]是否等于 0.首先令
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专题: 分析:

x1=x2=0 得到 f (0)=1;然后 令 x1=x,x2=﹣ x,则 f(x﹣x) =f(x)+f(﹣x) ﹣1 证出即可; (2)要判断函 数的增减性,就 是在自变量范 围中任意取两 个 x1<x2∈R, 判 断出 f(x1)与 f (x2)的大小即 可知道增减性. (3)已知 f (x1+x2) =f (x1) +f(x2)﹣1,且 f(4)=5,则 f (4)=f(2)+f (2)﹣1?f(2) =3.由不等式 2 f(3m ﹣m﹣2) 2 <3,得 f(3m ﹣m﹣2)<f

(2) ,由(2) 知,f(x)是 R 上的增函数,得 到 3m ﹣m﹣2 <2,求出解集 即可. 解: (1)定义在 R 上的函数( f x) 对任意的 x1, x2∈R,都有 f (x1+x2) =f (x1) +f(x2)﹣1 成 立, 令 x1=x2=0,则 f(0+0)=f(0) +f(0)﹣1?f (0)=1, 令 x1=x,x2=﹣ x,则 f(x﹣x) =f(x)+f(﹣x) ﹣1, ∴ [f(x)﹣1]+[f (﹣x)﹣1]=0, ∴ f(x)﹣1 为奇 函数. (2) 由 (1) 知, f(x)﹣1 为奇 函数, ∴ f(﹣x)﹣1= ﹣[f(x)﹣1], 任取 x1,x2∈R, 且 x1<x2, 则 x2 ﹣x1>0, ∵ f(x1+x2)=f (x1)+f(x2) ﹣1, ∴ f(x2﹣x1)=f (x2)+f(﹣x1) ﹣1=f(x2)﹣[f (x1)﹣1]= f(x2)﹣f(x1) +1. ∵ 当 x>0 时,f (x)>1, ∴ f(x2﹣x1)=f (x2)﹣f(x1) +1>1,∴ f(x1) <f(x2) , ∴ f(x)是 R 上
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解答:

的增函数. (3)∵ f(x1+x2) =f(x1)+f(x2) ﹣1,且 f(4) =5, ∴ f(4)=f(2) +f(2)﹣1?f (2)=3. 2 由不等式 ( f 3m ﹣m﹣2)<3, 2 得 f(3m ﹣m﹣ 2)<f(2) , 由 (2) 知, f (x) 是 R 上的增函 数, ∴ 3m ﹣m﹣2< 2 2,∴ 3m ﹣m﹣4 <0,∴ ﹣1<m < , ∴ 不等式 f(3m ﹣m﹣2)<3 的 解集为(﹣1, ) . 点评: 考查学生掌握 判断函数奇偶 性能力和判断 函数增减性的 能力,灵活运用 题中已知条件 的能力.
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