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优秀教案35-空间两点间的距离

发布时间:2014-08-05 21:04:37  
4.3.2 空间两点间的距离公式 一、教材分析
本节内容是数学 2 第四章圆与方程第 3 节空间直角坐标系的第 2 课时, 前面已经学习了平面直角坐 标系中两点间的距离公式以及空间直角坐标系.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经 常涉及到距离,如建筑设计中常常需要计算空间中两点间的距离,所以本节内容为解决实际问题提供了 方便.

二、学情分析 基于学生已经学习了平面内热议两点的距离公式,本节课重点讲空间中 任意两点间的距离。 三、教学目标
1、 通过距离公式的推导,培养学生探索问题的能力和运用知识的能力; 2、培养学生的严密性和条理性,激发学生的学习兴趣 3、采用“从特殊到一般”的方法,通过学生的积极思考和参与,从特殊情况的求解探寻出一般情况的 求解方法.

四、教学重难点:
重点: 理解并掌握空间两点间的距离公式及其运用. 难点:空间两点间的距离公式的推导.

五、教学过程 (一)引入新课--------复习引入
1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么? 2.在空间直角坐标系中,若已知两个点的坐标,则这两点之间的距离是惟一确定的,又怎么来求解 呢?

(二)探究新知
探究一:空间任意一点与原点之间的距离

,() 思考 1:在空间直角坐标系中,坐标轴上的点 A( x,0,0) B(0, y,0) , , C0
离分别是什么?

z 与坐标原点 O 的距

OB ? y , OC ? z .
思考 2: 在空间直角坐标系中, 坐标平面上的点 A( x, y,0) ,B(0, y, z) ,C ( x,0, z ) 与坐标原点 O 的 距离分别是什么?

OA ? x 2 ? y 2 , OB ?

y 2 ? z 2 , OC ? x 2 ? z 2 .

思考 3: 在空间直角坐标系中, 设点 P( x, y, z ) 在 xOy 平面上的射影为 M , 则点 M 的坐标是什么?

PM , OM 的值分别是什么?
1

M ( x, y, 0) , PM ? z , OM ? x 2 ? y 2 .
思考 4:基于上述分析,你能得到点 P( x, y, z ) 与坐标原点 O 的距离公式吗?

OP?

2 2 2 x ? y ? z

思考 5:如果 OP 是定长 r ,那么方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形是什么? 以原点为圆心,以 r 为半径的球面. 探究二:空间两点间的距离公式 在空间中,设点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 在 xOy 平面上的射影分别为 M , N 思考 1:点 M , N 之间的距离如何?

MN ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

2:若直线 PP 1 2 垂直于 xOy 平面,则点 P 1, P 2 之间的距离如何?

PP 1 2 ? z1 ? z2 .
3:若直线 PP 1 2 平行于 xOy 平面,则点 P 1, P 2 之间的距离如何?

PP 1 2 ? MN ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

4:若直线 PP 1 2 是 xOy 平面的一条斜线,则点 P 1, P 2 的距离如何计算? 如图所示, 过 P1 作 P 垂足为 A , 2 N 的垂线, 在直角三角形 PP 1 2 即可.点 1 2 A 中根据勾股定理求 PP

P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离
PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z1 ? z2 ?
2 2

2

它对任意两点 P1、P2 都成立吗?(成立) 因此空间中点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离

PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z1 ? z2 ?
2 2

2

.

(三)理解新知
1、两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 P 1 2 ? 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离 PP 此公式与两点的先后顺序无关. 2、特别地,任一点 P( x, y, z ) 与原点间的距离 OP ?
2

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z1 ? z2 ?
2 2

2

,注意

x2 ? y 2 ? z 2 .

(四)运用新知 例 1.已知空间直角坐标系中两点 A(?3, ?1,1) , B(?2, 2,3) ,在 z 轴上求一点 P,使 PA ? PB , 求出点 P 的坐标并求 PA 的值.
2 2 2 解析:设 P(0,0, z ) 由 PA ? PB 得: 3 ? 1 ? z ?

2 2 ? 2 2 ? ( z ? 3) 2

所以, z ?

3 2

所以, P(0,0, ) , PA =

3 2

41 2

例 2.证明以 A(4,3,1) B(7,3,2) , C (5,2,3) 为顶点的三角形 ?ABC 是一等腰三角形. 解答:由两点间距离公式得: AB ?

(7 ? 4) 2 ? (1 ? 3) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 2 7 ,

BC ? (5 ? 7) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 2) 2 ? 6 , CA ? (4 ? 5) 2 ? (3 ? 2) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 6 ,
由于 CA ? BC ,所以 ?ABC 是一等腰三角形.

(五)课堂小结
我们这节课学习了什么?主要涉及到哪些数学思想方法? 1.知识:两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的距离公式:

PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z1 ? z2 ?
2 2

2

2.思想:学习中运用特殊到一般,再由一般到特殊的思想.还有“数” “形”结合的数学思想.

(六)布置作业

3

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