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04-1交流

发布时间:2014-01-25 14:55:33  

第4章 正弦交流电路
当电路中的激励(电源)为正弦量时,电路中各 部分的响应 (电压或电流 )也为正弦量, 这样的电 路就是正弦电路。 交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生 器所输出号电压都是随时间按正弦规律变化的。 正弦电路是电工学中很重要的部分。 本章讨论正弦电路的一些基本概念、基本理 论和基本分析方法。

§4.1 正弦电压与电流
? 前两章所讨论的都 是直流电路,其中 的电流和电压的大 小和方向都是不随 时间变化的。
I, U 0 0

正弦电压和电流 都是随时间按正弦规 律作周期性变化的, 其波形图可用正 弦曲线来表示: i, u + _ t

t

正弦电压与电流
? “+”表示电流(或电压)为正值,称为正半周,实 际方向与参考方向一致 ; ? “–”表示电流(或电压)为负值,称为负半周, 实际方向与参考方向相反。 i i i, u +
0

_

u t 正半周

R

u 负半周

R

正弦电压与电流

? 正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值 三个方面,它们分别由频率(或周期)、幅值(或 有效值)和初相位来确定。
? 称之为正弦量的三要素。

4.1.1 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间(秒)称为周期T。每 秒钟时间内变化的次数称为频率 f 。 频率是周期的倒数,即

1 f ? T

工程中常用频率的范围:

正弦电压与电流

? 我国电力的标准频率为50Hz;国际上多采用此 标准,但美、日等国采用标准为60Hz。 ?中频电炉的工作频率为500~8000Hz; ?高频电炉的工作频率为200~300kHz; ?无线电工程的频率为104~30×1010Hz。 ?低频电子工程的频率为20~20×103Hz。 正弦量变化快慢的衡量不仅用频率 f , 有时还用角 频率?来描述。它与频率和周期的关系为

2π ?? ? 2πf T

4.1.2 幅值与有效值

正弦电压与电流

正弦量在任一瞬间的值称为 瞬时值 ,用小写 字母表示,如e、i、u分别表示电动势、电流和电 压的瞬时值。(小写字母表示与时间有关的变量) 瞬时值中的最大值称为幅值或最大值,如Em、 Im、Um分别表示电动势、电流和电压的幅值(最大 值)。 正弦交流电流的解析式为:i =Imsin?t
说明或计量正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值,而 用有效值。如民用电的220V和工业用电的380V。 期的时间内,正弦交流电流 i 和直流电流 I 对同一电阻具 有相同的热效应,就用 I 表示 i 的有效值。

有效值是从电流的热效应来规定的。在一个周

即对于R,在一个周期内,正 弦交流电流 i 所作的功: A ? T i 2 R d t

正弦电压与电流

?0

对于同一R,在一个周期时间T内,直流电流 2 I 所作的功: A ? I RT 有

A ? ? i R d t ? I RT
T 0 2 2

代入 i = Im sin?t,并解出I ,得
I? 1 T

?

T

0

i dt ?
2

1 T

?

T

0

Im I sin ?t d t ? 2
2 m 2

可见,有效值与幅值的数学关系为方均根。
1 T

?0

T

1 sin ?t d t ? T
2

?0

T

1 ? cos 2?t 1 dt ? 2 2

正弦电压与电流

? 同理,对于正弦交流电压 u ? U m sin ?t 其有效值(方均根)

U?

正弦电动势 e 的有效值(方均根)为 Em E? 2 例 已知: u= U sin? t , Um =310V, f =50Hz, m 试求:有效值U 和 t =0.1s 时的瞬时值。 解 U m 310 U? ? ? 220V 2 2

1 T 2 Um ?0 u d t ? T 2

100 π u(0.1) ? U m sin 2 π ft ? 310 sin ?0 10

4.1.3 相位及初相位

正弦电压与电流

? 正弦量是随时间变化的,选取不同的计时零点, 正弦量的初始值就不同。为加以区分而引入相 位及初相位的物理量。 i 正弦电流的一般表达式为 其中(?t+ ?)为正弦电流的 ? 相位,? 称为初相位。 两个同频率正弦量的相位比较: u ? U m sin(?t ?? 1 ) 对于 i ? I m sin(?t ?? 2 )

i ? I m sin(?t ?? )

+
0

_

t

对于

(电压与电流的相位差) 定义 ? =(?1 – ?2)为相位差或初相差。

u ? U m sin(?t ?? 1 ) i ? I m sin(?t ?? 2 )

正弦电压与电流

当? =(?1 – ?2) > 0 时,称 u 比 i 越前 ? 角; 当? =(?1 – ?2) < 0 时,称 u 比 i 滞后 ? 角;
当? =(?1 – ?2) = 0 时,称 u 与 i 同相。 当? =(?1 – ?2) = 180° 时,称 u 与 i 反相(相位相 反),或相差180°
正弦交流电的广泛应用,因为正弦交流电的产生、传 输和变换方便快捷,在电阻、电感及电容电路中的响应均 为正弦量。

§4.2 正弦量的相量表示法
? 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量,表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。
? 表示一个正弦量可以多种方式,这也正是分析 和计算交流电路的工具。 u ①三角函数表示法: + u ? U sin(?t ? ? )
m

②正弦波形图示法: (见右图) ③ 相量表示法。

?

0

_

t

相量表示法
? 用相量表示正弦量,其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系,OX 为实轴、OY为虚轴。 设在复平面上一复数A(a , b)。 在直角坐标系上可表示为。 用极坐标系则表示为。 jy A ? a

b

A = a + jb A=r/? r?

0

x

变换关系为:

a2 ? b2

b ? ? arctan a

a ? r cos ? 或: b ? r sin ?

代入后,可得 考虑欧拉公式:

A=r (cos? + j sin? )
e ?e sin? ? 2j A = r e j?
j? ? j?

e ?e cos? ? 2
可改写为:

j?

? j?

jy

b

A

?
0

也可简记为:

A=r ?

a

x

?由此可得到复数的三种表示法,即直 角坐标式、指数式及极坐标式,三者可以互换。 ?其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及 极坐标式便于进行乘除运算。

现令有向线段OA绕原点O以角速度ω作逆时针旋 转,可得A点在纵轴上的投影坐标

为 jy y = |OA| ? sin (? t+ ?) A y 比较正弦电压 ? u = Um sin (? t+ ?) ?

A点的轨迹在复平面上的位
臵,可用复数表示为:

0

x

A(t)= r [cos(? t+?)+j sin(? t+?)] = r e j(? t+ψ)
=r/?t+?
可改写为 A(t)= r e j? · e j?t 其中 A= r e j? 相当于初始值。 与前面讨论的复数表示法一致。

通过上面讨论可知 动点A(复数)坐标的为 A(t)=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?) jy
= r e j(?t+?) = r / ?t+?
正弦量 u = Um sin(?t+?) A

ψ 0

复数量 A= r( cos? + j sin? )

x

A = r e j?
至此定义,用复平面上的静止量(复数)表示正弦 量 ( 初值 ),记为 ? U m ? U m e j? (幅值电压相量) j? 或 ? (有效值电压相量)

U ?Ue

※ 幅值相量与瞬时值之间的关系
j(?t+?) = r e = r ? t +? ? ? 相量(复数): A = r( cos? + jsin?) = r e j?

? 旋转相量: A(t)=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?)

? 交流电瞬时值: u(t) = Um sin(?t + ?)

?通过比较,将相量(r e j? )乘上一个时间因子 (e j? t),得到复数圆的轨迹,对其取虚部的结 果就是正弦量的瞬时值。

※虚单位 j 的数学意义和物理意义
? j= 及 |j|=1 ? j×j = j 2 = e j90°× e j90° = e j180°= –1 e j90°
j2 –1 o j3 j

jy

1
j4 x


?同理

j ? ?1

–j

j ? ?j
3



j ?1
4

由此,可认为虚单位 j 是复平面上角度为 90°的旋转因子。乘以 j 是向正方向旋转 90°;除以 j 是向负方向旋转90°。

例题 试写出表示uA=220 ?2 sin314t V, uB=220 ?2 sin(314t–120o ) V, 3.2.1 uC=220 ?2 sin(314t+120o ) V, 的相量,并画出相量图。


.
.

分别用有效值相量 U A U B U C 表示uA、 uB和uC 则
? U C

?

?

?

U A ? 220 / 0? ? 220 V
1 3 U B ? 220 / ? 120 ? ? 220 (? ? j )V 2 2 . 1 3 U C ? 220 / 120 ? ? 220 (? ? j )V 2 2 它们的相量图如右图:

120? 120?

? U A

? U B

i1 ? I1m sin(?t ? ? 1 ) ? 100 sin(?t ? 45?)A
i2 ? I 2m sin(?t ? ? 2 ) ? 60 sin(?t ? 30?)A
试求总电流 i 。

例题 3.2.2

? 对如图电路,设

i i2

i1



本题可用几种方法求解计算。

1. 用三 角函数 式求解

i ? i1 ? i2 ? I1m sin(?t ?? 1 ) ? I 2 m sin(?t ?? 2 ) ? I1m (sin ?t cos? 1 ? cos ?t sin? 1 ) ? I 2 m (sin ?t cos? 2 ? cos ?t sin? 2 ) ? ( I1m cos? 1 ? I 2 m cos? 2 ) sin ?t ? ( I1m sin? 1 ? I 2 m sin? 2 ) cos ?t

两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量, 设此正弦量为 i ? I m sin(?t ? ? ) ? I m cos? sin?t ? I m sin? cos ?t 则 i I m cos? ? I1m cos? 1 ? I 2m cos? 2

I m sin? ? I1m sin? 1 ? I 2m sin? 2 因此,总电流 i 的幅值为
I m ? ( I1m cos? 1 ? I 2m cos? 2 ) 2 ? ( I1m sin? 1 ? I 2m sin? 2

i2

?

i1

1 2 2 )

?

总电流 i 的初相位为 I1m sin? 1 ? I 2m sin

? 2 ? ? arctan ( ) I1m cos? 1 ? I 2m cos? 2

I m ? ( I1m cos? 1 ? I 2m cos? 2 ) 2 ? ( I1m sin? 1 ? I 2 m sin? 2 )
2

?

?

1

2

? I1m sin? 1 ? I 2 m sin? 2 ? ? ? arctan ? ? ? I1m cos? 1 ? I 2 m cos? 2 ? 由此,代入数据I1m=100A, I2m=60A, ? 1=45?,?2= –30?则
2 2 2 2 ( 70 . 7 ? 52 ) ? ( 70 . 7 ? 30 ) ? 122 . 7 ? 40 . 7 Im ? ? 129A

70.7 ? 30 ? ? arctan ( ) ? 18?20? 70 . 7 ? 52 进而,得

i ? 129sin(?t ? 18?20?) A

2. 用正弦波求解(图解法)

i
129sin (?t–18.3?)A

0
60sin (?t–30?)A

t
100sin (?t+45?)A

3. 用相量图求解
100/45?A

45° 18.3° 30°
60/-30?A

129/18.3?A

§4.3 单一参数的交流电路
? 在考虑电阻、电感或电容元件时,都将它们看 成是理想元件。即只考虑其主要因素而忽略其 次要因素。 ? 交流电路与直流电路对电阻、电感或电容的作 用结果都不同。 ? 电容对直流电路相当于开路;电感对直流电路 相当于短路。 ? 交流电路中的电容因有充放电现象的存在而有 电流通过;电感有自感电动势存在而阻碍了电 流变化。

4.3.1 电阻元件的交流电路
? 如图,选择电流和电压的参考方 向。根据欧姆定律(瞬时性)可得 i

即电阻端电压与其电流成正比。 若设 则 显然

u i? R



u ? iR

u

R

i ? I m sin?t

u ? RIm sin ?t ? Um sin ?t
Um ? RIm


U?RI

如果用相量表示,将有

i ? Im sin ?t
u ? Um sin ? t
. .

I m ? Im / 0?
.
. .

.

或 I ? I / 0?
.

.

U m ? Um / 0? 或 U ? U / 0?
i u
I
.

且 Um ? R Im 或 U ? R I ? 交流电路中的电阻,电流和电压相 位相同。这就是相量形式的欧姆定 律。也可写成
Im
.

R
U
.

Um ? R

.



U I? R

.

.

电阻在交流电路中的功率特性
(1)瞬时功率: 在任意瞬时,电压瞬时值u与电流瞬时值 i 的乘积,称为瞬时功率,用字母 p 表示。
电阻的瞬时功率为

p ? pR ? ui ? U m I m sin ?t Um Im ? (1 ? cos 2?t ) ? U I (1 ? cos 2?t ) 2 瞬时功率是在一个直流分量UI的基础上,叠加 上一个幅值为UI的正弦量。但总有 p ? 0。
2

(2)平均功率: 在一个周期内,电路消耗电能的平均速率, 即瞬时功率的平均值,称为平均功率。
交流电路中,电阻元件的平均功率为

1 T 1 T P ? ?0 pdt ? ?0 UI (1 ? cos 2?t )dt T T



?U I ? I R?U /R
一100? 电阻接入50Hz、有效值为10V的电源 上,问电流是多少?若频率改为5000Hz呢? 因电阻与频率 U 10 I? ? ? 0.1A ? 100 mA 无关,所以 R 100

2

2

4.3.2 电感元件的交流电路
? 电感元件
设一单匝线圈,当通过它的磁 通发生变化时,线圈中要产生感应 电动势。其大小为

e

?

d? e ? dt

根据物理学中的法拉第电磁感应定律,线圈 中的感

应电动势为

d? e?? dt

对于N匝线圈,其感应电动势为单匝线圈的N倍

d? d? e ? ?N ?? dt dt
其中:? =N? 称为磁通链。 当线圈中有电流 i 通过时, ? 或? 与 i 成正比:
u

i
? ?

eL i

? N? ? ? N? ? L i 或 L ? ? i i
u

L:线圈的电感(或自感,单位为H),它 是线圈的结构参数。 di 进而: e L ? ? L d t

eL

L

? 物理学中已导出均匀密绕线圈的电感为

L?

?SN
l

2

i
?

对于电感电路,应用基尔霍夫 定律可列出方程:u ? e ? 0 u 或
L di u ? ?e L ? L dt

?

eL i u eL L

自感电动势的方向符合楞茨定律, 可得
1 t 1 t i ? ?? ? u d t ? i0 ? ?0 u d t L L

电感元件在某一时刻对能量转换量为

1 2 ?0 ui d t ? ?0 Li d i ? Li 2
t t

? 即电感元件中的电流增大时,磁场的能量增大;在此 过程中电感的能量在增大,即电感从电源取用能量。 当电流减小时,磁场能量减小,磁能转换为电能,即 电感元件向电源还回能量。 ?当设电流为参考相量时,

i ? I m sin ?t
di u? L dt

则电感端电压为

计算得

d( I m sin ?t ) u? L ? I m?L cos?t dt

? I m?L sin( ?t ? 90?) ? U m sin( ?t ? 90?)

? 比较上面,电感元件的电路中,在相位上电压 比电流超前90?(相位差? = +90?)。 写成相量,有
.

i
u ?

I m ? I m / 0?
U m ? U m / 90?
.

2?

?t

电感电路的相量形式欧姆定律
? 前已导出

I m ? I m / 0?
其中

.

及 U m ? U / 90? m

.

U m ? Im?L
U m I m ? ?L/ 90? ? j?L
. .

由前两式得: 其中

j?e

j90?

?L



? 1/ 90? ? ? 1 j?L 分别称为感抗和复感抗。

分别记为 X L ? ?L和 jX L ? j?L,其值与频率成正比。

电感电路的功率计算
? 当得到电感元件的电压和电流的变化规律(或相互关 系)后,可知电感元件瞬时功率的变化规律为: p ? pL ? ui ? U m Im sin ? t ? sin(? t ? 90?) Um Im ? U m I m sin? t ? cos? t ? sin 2? t 2

? UI sin 2? t

可见,p是以幅值为 U I 、角频率为2?变化的 交变量。当u 与 i 的瞬时值为同号时,p? 0,电感 元件取用功率(为负载),磁能增加;当u 与 i 的瞬 时值为异号时,p ? 0,电感元件发出功率(相当于 电源),电感元件的磁能减少。

? 电感元件平均功率为:

电感电路的功率计算

即电感元件的平均功率为零。

1 T 1 T 1 T P ? ?0 pdt ? ?0 uidt ? ?0 UI sin 2?tdt ? 0 T T T

可见,电感元件在电路中没有能量损耗,只有 与电源间进行的能量交换。这种能量交换的规模, 用无功功率Q来衡量。 规定无功功率为瞬时功率pL的幅值UI,即 无功功率的单位是乏(Var)或千乏(kVar)。

Q ?U I ? I XL
2

为加以区别,平均功率亦称为有功功率。


? 一电感交流电路,L=100mH,f=50Hz, (1)已知 i ? 7 2 sin ? t A,求电压 u ;(2)已知
并画相量图。 U ? 127 / ? 30? V ,求电流 I ,
?
?



(1) 由题知感抗为 X L= ?L=2? × 50×0.1=31.4?

U ? j?L I ? 1/ 90? ? 31.4 ? 7 / 0? ? 220 / 90? V

.

则由相量形式的欧姆定律知:
.

? u ? 220 2 sin(? t ? 90?)V
(2) 电流为
.

U 127 / ? 30? I? ? ? 4/ ? 120 ? A j?L 31.4/ 90?

.

电流为
?

i ? 4 2 sin(? t ? 120?) A
?
?

相量图分别为:
U ? 220/ 90?

I ? 7 / 0?
(1)
(1)中电感元件的瞬时功率为 电感元件的无功功率为

U ? 127/ ? 30?
(2)

?

I ? 4/ ? 120?

亦可根据电感元件电流~电压瞬时值关系用解析法计算。

1 T 1 T P ? ?0 pdt ? ?0 uidt ? 0 T T

QL ? UI ? 35 ? 7 ? 245 (Var)

4.3.3 电容元件的交流电路
? 当一线性电容元件与正弦电源联接时,选择 u 及 i 的参考方向如右图: 根据电磁学理论,电压变化时,电容器极板上的 电荷量也要发生变化,在电路中要引起电流为 如果电容器加正弦电压 则
du i?C ? U m?C cos ?t dt

dq du i? ?C dt dt

i u

u ? U m sin ?t

C

? U m?C sin(?t ? 90? )

? Im sin(?t ? 90?)

? 可见,当电容器所加电压为正弦量时,其 中通过的电流也为正弦量。 ? 在电容元件的电路中,电流比电压上的相 位要越前90°(? = –90°)。
本课程规定,电压比电流的相位差越前时,相位 差?为正;反之相位差?为负;这样便于说明电路 的电感性或电容性。 u 由上面讨论可知 i ? 2? I ? U ?C
m m

或 Um ? U ? 1 ? XC
Im I

?C

1 称为电容的容抗。 XC ? ?C ? 写出电压及电流的相量表示式

其中

U m ? U m / 0?
并考虑
.

.



I m ? I m / 90?

.

I m ? U m?C

1 1 可得 U m ? U m / 0? ? U / 0? ? ? . I m I m / 90? I / 90? ?C / 90? j?C



. I U? ? ? jX C I j?C .

.

为电容电路相量 形式的欧姆定律

u ? iR

U m ? RI m

U ? RI
U ? RI
. .

? U
? I
X L ? ?L ? U L

? m ? RI ?m U
di uL ? L dt

Um ? X L Im
? ? jX I ? U m L m

U ? XLI
? ? jX I ? U L

? I

du iC ? C dt

Um ? XC Im
? ? ? jX I ? U m C m

1 U ? XCI XC ? ?C ? ? ? ? jX I ? I U ? C U C

电容元件的功率特性
? 根据电压电流瞬时值

i

u
? 2?

电容电路的功率瞬时值为

u ? U m sin ?t i ? I m sin(?t ? 90?)

p ? pC ? ui ? U m I m sin ?t sin(?t ? 90?)

? U m I m sin ?t cos?t ? UI sin 2?t
电容电路的平均功率为

1 P? T

?

T

0

1 pdt ? T

?

T

0

UI sin 2?tdt ? 0

电容元件的无功功率
? 为与电感元件的无功功率进行比较,定义电容 元件的电流及电压瞬时值分别为:

得瞬时功率为

i ? Im sin ?t



u ? Um

sin(?t ? 90?)

p ? pC ? ui ? ?UI sin 2?t
2

由此可见,电容元件的无功功率

Q ? ?UI ? ? I X C
如此规定,电容性无功功率要取负值。



如图电容交流电路,C=4?F, f=50Hz, (1) 当 u ? 220 2 sin ?t V ,求电流 i;
.

(2) 当 I ? 0.1/ ? 60? A 时,求电压 U ,并画相量图。 i 解 电容的容抗 1 1 XC ? ? C u ? 6 ? 796 ? ?C 2? ? 50 ? 4 ? 10 ?电流为
du i?C ? ?C ? 220 2 cos ?t ? 0.276 2 cos ?t dt ? 276 2 sin(?t ? 90? ) mA
I ? U / ? ? 276/ 90? mA
.

.

其相量式为

即电流的有效值为276mA,其相位比电压越前90?

? 由相量形式的欧姆定律得
U ? X C I ? ? jX C I ? 1/ ? 90? ? 796 ? 0.1/ ? 60? ? 79.6/ ? 150?V
. . . .

相量图如下:
.

I ? 276/ 90? mA

U ? 220/ 0? V

.

U ? 79.6/ ? 150? V

.

I ? 0.1/ ? 60? A

.

(a)
?电容的功率计算 (题中第一问题)
瞬时功率为:

(b)

p ? ui ? 60.7 sin 200πt W

1 T 平均功率为: P ? ?0 ui ? dt ? 0 T 无功功率为: Q ? ?U I ? ?60.7 Var

QL ? UI ? 35 ? 7 ? 245
dt i?C ? U m?C cos ?t du

? U I sin 2? t

? U m?C sin(?t ? 90? )
T 0 T 0 P ? ? pdt ? ? UI sin 2?tdt ? 0 1 T 1 T


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