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浙教版七年级下6-2《提取公因式法》课件

发布时间:2013-09-25 18:10:13  

6.2 提取公因式法

你能把12、15因数分解吗? 12=2 × 2×3; 15= 3 × 5
有公因数是 3

12、15这 两数有公 因数吗?

多项式中ma+mb有公共的 因式吗?如果有,请你指出来!
有公因式是 m

下列各多项式中的各项有没有共同的 因式?
? a c+ b c ?3 x2 +x c x 5b 3
ab

?30 m b2 + 5n b
?3x+6 ? a2 b – 2a b2 + ab ? 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)

a-3

多项式中各项都含有的相同因式,叫 做这个多项式各项的公因式。

30 m

2 b

+ 5n b

公因式与多项式的各项 有什么关系?怎样确定多项 式的公因式?

正确找出多项式各项公因式的关 键是什么? 系数:1、公因式的系数是多项式各项系数
的最大公约数。 字母: 2、字母取多项式各项中都含有的 相同的字母。 指数: 3、相同字母的指数取各项中最小 的一个,即字母最低次幂. 4、多项式中的公因式可以是单项式, 也可以是多项式。

例: 找 3 x

2

– 6 x 的公因式。

系数:最大 公约数。

3

x
字母:相 同字母

1 指数:最低
次幂

所以,公因式是 3 x

3 x

2

– 6 x= 3 x(x –2)

提取公因式法分解因式

如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式,这 种分解因式的方法叫做提取公 因式法。

指出下列多项式中各项的公因式: (1) (2) (3)

ax ? ay
2 3 2 2

a
2 5x

5 x y ? 10 x y ? 5 x y 2

y

m n ? mn
2
2

2

mn x-y

(4) 3x? x ? y ? ? 5 y ( x ? y )

练一练:
多项式 公因式 因式分解结果

2a b ? 4abc
2

2ab
5b c
2 2 2

2ab( a ? 2c )
5b c( a ? 3bc )
2 2 2

5ab c ? 15b c
2 3 2 2

3 2 3

4a b ? 10a b c 2a b 2a b (2a ? 5bc)
应提取的公因式的是:各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。

点例透视 运用新知
例1.把下列各式分解因式: (1)2x3+6x2 解 : 原式= 2x2(x+3) (2)3pq3+15p3q 解 : 原式= 3pq(q2+5p2 ) (3)4x2-8ax+2x 解 : 原式=2x(2x-4a+1) (4)-3ab+6abx-9aby 解 : 原式=-3ab(1-2x+3y)

练习 :把下列各式分解因式。
? 7x2 – 21x
?8 a 3 b2 –12ab 3 + ab

? m b2 + n b
? a2 b – 2a b2 + abc

?7x 3y2 –42x2y 3

?7(x–3)–x(3–x)

⑦—4x2+8ax+2x
⑧—3ab+6abx—9abX2

比一比、看谁会订正
下列的分解因式对吗?如不对,请指出原因: (1)2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2) 分解因式前有几项,提取 应为: 原式=x(2x +3x2+1) 公因式后括号内仍为几项。 (2)a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac) 公因式提取后各项不再含 有公因式。 应为: 原式=a2c(1 -6a) (3)-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 - 4s + 6) 公因式包括系数和字母
应为: 原式= -2s(s2-2s+3) (4)a2b + 6ab2 - 8a = ab(a+6b) - 8a 应为: 原式= a (ab+6b2-8)
公因式是每一项都含有的

【反思】
(1).当首项系数为负时,通

常应提取负因数,在 提取“-”号时,余下的各项都变号。 (2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误: ①提取不尽 ②漏项 ③疏忽变号 ④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。 (3).提取公因式的一般步骤: ①确定应提取的公因式: ②用公因式去除这个多项式,把所得的商 作为另一个因式: ③把多项式写成这两个因式的积的形式。

下面的解法对吗?

把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解:

8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab =ab?8a2 b-ab ? 12 b2 c+ab ? 1 =ab(8a2 b-12 b2 c+1) =ab(8a2 b- 12 b2 c)
当多项式的某一项和公 因式相同时,提取公因 式后剩余的项是1。

例2 :把2(a—b)2—a+b 分解因式.
解: 原式=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)〔 2(a-b)-1 〕 =(a-b)(2a-2b-1) 问:(a-b)2 - (b-a)3能因式分解吗? 原式=(a-b)2+(a-b)3 =(a-b)2(a-b+1) 或者原式=(b-a)2-(b-a)3 =(b-a)2〔1-(b-a)〕 =(b-a)2(1-b+a)

做一做:
在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成 — — 立: (1)2 ? a ? ___(a ? 2) (2) y ? x ? ___( x ? y )

(3)b ? a ?

+ a ? b) 2 + ___( a ? b) (4)(b ? a) ? ___(
2

(5) ? m ? n ?

— ___(m ? n)(6) ? s

2

?t ?
2

— ___( s

2

?t )
2

括号前面是“+”号,括到括号里 的各项都不变号;括号前面是“—” 号,括到括号里的各项都变号.

(4) x ? y ? ?( ? x ? y ) 2 2 2 2 (5) a ? b ? (b ? a )
(6) ( x ? y ) ? ( y ? x) 3 3 (7) ( x ? y ) ? ( y ? x)
2 2

(1) 1 ? 2 x ? (1 ? 2 x) ? ?( ?1 ? 2x) (2) ? x ? 2 ? ?( x ? 2) ? (? x ? 2) 2 2 (3) ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 2 x ? 1 )

把下列各式分解因式: ? 25x-5 =5(5x-1)

? 3 x3 -3x2 –9x =3x(x2-x-3)
? 8a 2c+ 2b c =2c(4a2+b) ? -4a 3b3 +6 a2 b-2ab =-2ab(2a2b2-3a+1)

? a(x-y)+by-bx
=a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) = (x-y)(a-b)

小结
1、确定公因式的方法: (1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 (2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 (3)相同字母的指数取各项中最小的一个,即最 低次幂 2、提公因式法分解因式:两步: 第一步,找出公因式;

第二步,提公因式 ,即用多 项式除以公因式.

作业:
1、作业本6.2 提取公因式法 2、课内作业

1、分解因式计算(-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算: 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知a+b=3,ab=2,求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值. 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.

提高理解
(1)2a ? b ? (2a ? b) 2 (2)( x ? 3 y ) ? 2 x ? 6 y
2

(3) x ? y ? 6b( y ? x) (4)ab( x ? y ) ? b( y ? x)
2 3

【反思】

提取公因式时,有时需要将因式经过 符号变换、字母位置重新排列或添括 号后,才能看出公因式。

课堂延伸
1.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.

2.已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.

挑战高难度
1.分解因

式: a ? (n为正整数)
n?2

? 2a

n ?1

?a

n

?2 x ? y ? 6 2.已知 ? , 求 ?x ? 3y ? 1 2 3 7 y ( x ? 3 y ) ? 2(3 y ? x ) 的值。 3.求方程x( y ? 1) ? ( y ? 1) ? 1999

的整数解。


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