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这道题应该这样理解

发布时间:2014-03-28 15:11:30  

??交流平台??

??????????????

(2010年第8期??高中版)

63

这道题应该这样理解

118100??辽宁省凤城市第一中学??宫伟东

????在文[1]中胡老师系统研究了福建省2009年高考理科数学第20题,对于文中所给的第(??)问的第(??)小问的解答,笔者对文[1]中??观察图形可知m,n首先必须满足-1??n<0<m??3??,其中m,n的分界点0是怎样观察出来的?以及??因为是存在性问题,所以只需2m-3m>[n-3n]min+mn??等问题进行了进一步的研究??

事实上,第(??)问的第(??)小问的解答已经为第(??)小问的分析与解答指明了方向:

解??因为kPQ=

kPQ<f??(m),kPQ<f??(n),

f(m)-f(n)122

=(m+mn+n)-(m+n)-3,

m-n3

2

2

2

????综上有-1??n<1<m??3??

方法2??(几何法)

n+2m-3>0,m+2n-3<0,n??-1,m??3,

得点(m,n)的区域如下图??

由图立得-1??n<1<m??3??

实际上,本题的关键是得到n<1<m,而这个1是怎么来的呢?

只需令f??(x)=0,得x=1??至此,该问题的背景就非常明显了??????找拐点,即函数f(x)的二阶导的零点??由此也可以领会命题人的苦心与匠心??苦心表现在题目中??请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解答以下问题??,而匠心则表现在??请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)????笔者认为,这就是在??多考些想的,少考些算的????

参考文献

1??胡达清??直击福建省2009年高考数学压轴题??湖北:中学数学,2010,1

(收稿日期:20100301)

而f??(x)=x-2x-3,

1222

(m+mn+n)-(m+n)-3<m-2m-3,3

1222

(n+nm+m)-(n+m)-3<n-2n-3,3

n+2m-3>0,m+2n-3<0??

此时至少有两种方法可求m,n的范围??方法1??(代数法)

由m+2n-3<0得n<

m<3-2n,??-1??n<1??又由n+2m-3>0得3??m>

1

(3-n)>1??2

????=cx0(+),即AF为??ABC的角平分线.

cb

+

又AM=

xcybxyb+b+==xcxc+yba+b+c1+

yb

结论2??M是平面ABC内不同于A的一点,过点M的任一直线交直线AB于P,交直线AC于点Q,=x=ybc

+M在??Axy

的平分线所直线上.

有兴趣的读者可以给出以上两结论的证明.(致谢:此文写作过程得到彭翕成老师的指导)

参考文献

1??王伯龙??三角形中的一个共点性质[J]??数学通讯,2010,42??岳昌庆??平面向量教学与三角形内心[J]??数学通报,2009,3

(收稿日期:20100525)

由文[2]推论2结论知M点是??ABC的内心.综合以上可得以下两个结论??

结论1??M是平面ABC内不同于A的一点,过点M的任一直线交直线AB于P,交直线AC边于Q,=x=y11

+为定值的充要条件是点M在xy

??ABC的中线AD所在的直线上.

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