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九年级上证明二讲义

发布时间:2013-10-01 18:32:00  

第一章:证明(二)

考点1:利用定理证明

一、考点讲解:

公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等

公理2.两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行.

公理3.若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这

两个三角形全等.

公理4.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

定1. 平行线的性质定理:两直线平行,同位角、内错角相等,同旁内角互补. 定2.平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补两直线平行.

定3.三角形的内角和定理及推论:三角形的内角和等于180°,三角形的外角等于不相邻的两个内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.

定4.直角三角形全等的判断定理:有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.

定5.角平分线性质定理及逆定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等;到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上;三角形的三条角平分线相交于一点(内心) 定6.垂直平分线性质定理及逆定理:线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等;到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心)

定7.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 定8、等腰三角形,等边三角形,直角三角形的性质和判定定理.

二、经典考题剖析:

【1】如图l-l-1,AB、CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F、G、H分别是DE、BE、AC的中点.

(1)求证:AF⊥DE;(2)求证:FH= GH.

证明:(1)在△ADE中,AD=AE,F是DE的中点

∴ AF是等腰△ADE 底边DE上的中线

∴ AF⊥DE.

(2)连结GC.∵AF⊥DE H是AC 的中点

∴FH是Rt△AFC斜边 AC上的中线

∴FH?2AC 同理:GH?2AC

∴FH=GH

1 11

【2】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?

请写出这个等量关系,并加以证明

.

(1) ①∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB

②∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD,CD=BE

∴DE=CE+CD=AD+BE

(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE

∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE

∴CE=AD,CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN旋转到图3的位置时,AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或

AD=BE-DE,BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE,

又∵AC=BC, ∴△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD.

三、针对性训练

1.如图1-1-4,Rt△ABC中,AC≠AB,AD是斜边上的高;DE⊥AB,DF⊥AC,垂足

分别是E、F,则图中与∠C(除∠C外)相等的角的个数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

2.如图1-1-5,△ABC中,△ABC和△ACB的外角平分线交于点O,设∠BOC=α,

则∠A等于()

A.90?-2? B.90?-

??2C.180-2? D.180-??

2

2

3.如图1-1-6,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可作出( )

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

4.如图1-1-7,△ABC是直角三角形,BC是斜边,△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP重合, 如果AP=3,那么PP′的长等于( )

A.3 B.23 C.32 D.4

5.如图1-1-8,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,点D、E、F分别是三边的中点,且

CF=2 cm,则DE=________cm.

6、如图1-1-9,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,要使△ABC≌△DEF,根据三角形全等的判定定理,还需添加条件______________(填上你认为正确的一种).

7.在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图 1-1-10所示,则这个三角

形是________三角形.

8.如图1-1-1 所示,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得ΔA′B′C′交AC于点D,若∠A′DC=90o,则∠A=__________.

9.如图1-l-12,△ABC中,AB=AC,DE是AB的中垂线,△BCE的周长为14,BC=6,

则AB长为______________.

110 如图1-1-13,在△ABC中,∠BAC=90 在,延长 BA 到D,使AD=,点E、F2

分别为边BC、AC的中点.(1)求证:DF=BE;(2)过点A作AG∥BC,交 DF于点 G,

3

求证:AG=DG.

考点2:命题

一、考点讲解:

1.命题的组成:命题由条件和结论两部分组成.

2.命题的形式:命题的形式通常写成“如果……,那么……”的形式.

3.真命题与假命题:正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题

(注意:一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题〕

二、经典考题剖析:

【1】请用“如果…,那么……”的形式写一个命题:_________________.

解:此题答案不唯一,是开放性题目,如可写成:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.

【2】如图1-1-14,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三 个为结论,推出一个正确的命题

(只需写出一种情况)

① AE=AD ②AB=AC

③OB=OC ④∠B=∠

C

点拨:解答本题时,可选取以上三种情况中的一种即可,注意:已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

【3】下列命题中,假命题是( )

A.平行四边形的对角线互相平分

B.矩形的对角线相等

C.等腰梯形的对角线相等

D.菱形的对角线相等且互相平分

解: D 点拨:当菱形为正方形时,其对角线才有相等的性质,而一般菱形不具有对角线相等的性质.

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三、针对性训练

1.下列命题中,真命题是( )

A.面积相等的两个三角形是全等三角形

B.有两边及一组对应角相等的两个三角形全等

C.全等三角形的周长相等

D.有一条直角边对应相等的两个三角形全等

2.下列命题中正确的是( )

A.实数是有理数

B.无限小数是无理数

C.数轴上的点与有理数一一对应

D.数轴上的点与实数一一对应

3.下列命题为假命题的是( )

A.等腰三角形的两腰相等

B.等腰三角形的两底角相等

C.等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合

D.等腰三角形是中心对称图形

4.下列的真命题中,它的逆命题也是真命题的是()

A.全等三角形的对应角相等

B.两个图形关于轴对称,则两个图形是全等形

C.等边三角形是锐角三角形

D.直角三角形中,如果一锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

5.如图1-1-15,在△ABC中,CD⊥ AB,请你添加一个条件,写出一个正确的结论

(不在图中添加辅助线)

条件:_____________________________________

结论:

_____________________________________

6.将命题“同角的余角相等”改写成“如果…,那

么…”的形式是__________________________.

7.如图1-1-16,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,给出5个论断:①CD⊥AB;②BE⊥AC;③AE=CE;④∠ABE=30°;⑤CD=BE

⑴如果论断①、②、③、④都成立,那么论断⑤一定成立吗?答:

________________________.

⑵从论断①、②、③、④中选取3个作为条件,将

论断⑤作为结论,组成一个 真命题,那么你选的3个论断是________________.(只需填论断的序号)

⑶用⑵中你选的3个论断作为条件,论断⑤作为结论,组成一道证明题,画出图形,写出已知、求证,并加以证明.

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考点3:尺规作图

一、考点讲解:

1.五种基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作角的平分线;

作线段的垂直平分线;作三角形.

2.尺规作图要求:了解尺规作图的步骤,会写已知、求作和作法(不要求证明).

二、经典考题剖析:

【1】如图1-l-17,已知△ABC,

(1)作∠B的角平分线(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2)若∠C=90○,∠B=60○,BC=4,∠B的平分

线交AC于点D,请求出线段BD的长.

解:(1)如图1-1-18,BD为∠ABC的角平分线;

(2)因为BD为∠ABC的平分线,∠ABC=60○.

所以∠CBD=30○.又∠C=90○,所以 BD=2CD,设 CD=x,则BD=2x.而BC=4,所以(2x)-x =4所以

222,所以BD=2

点拨:求BD的长,也可利用三

角函数知识求解.

三、针对性训练:

1.利用基本作图,不能作出唯一三角形的是( )

A.已知三边 B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角

2.用尺规作图,不能作出唯一直角三角形的是( )

A.已知两条直角边 B.已知两个锐角

C.已知一直角边和一锐角 D·已知斜边和一直角边

3.作线段的垂直平分线的理论,根据是_______和两点确定一条直线.

4.请根据图1-l-19所示的作图痕迹,填写画线段AB的垂直平分线的步骤. 第一步:分别以_______、________为圆心,以大于_________半的长度为半径画

弧,两弧在AB的两侧分别相交于点_____和_______;

第二步:经过点_______和______画______,直线CD就是线段AB的垂直平分线.

5、∠AOB如图1-l-20所示,请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线.要求保留作图

痕迹,不写作法)

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