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3.4圆周角(2)_课件

发布时间:2013-11-04 09:33:08  

圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.

A C


1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C


A C

O

O

B



O

B

B

如图2,BC是⊙O的直径,A是⊙O上任一点, ∠BAC =90o
如图3,圆周角∠BAC =90o BC是直径 , A B O 图2 C
B A O



C

图3

课前小测
1、100o 的弧所对的圆心角等于_______,所对 100o

的圆周角等于_______。 50o

2 、 如 图 , 在 ⊙ O 中 , ∠ BAC=32o, 则
64o ∠BOC=________。

3 、 如 图 , ⊙ O 中 , ∠ ACB = 130o 则 ,
100o ∠AOB=______。
A O C B A O B

C

4.下列命题中是真命题的是( D ) (A)顶点在圆周上的角叫做圆周角。 (B)60o 的圆周角所对的弧的度数是30o (C)一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 (D)120o 的弧所对的圆周角是60o 5.一弦分圆周角成两部分,其中一部分是另一 部分的4倍,则这弦所对的圆周角度数为 36o 或144o ________________。

问题:如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? D 为什么? ∠B = ∠D= ∠E B


O

E

A

C

图1

圆周角定理的推论: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 课本78页做一做

填一填: 1.如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。请判断△ABC是 三角形 A

P
· O B

C

2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD. 则AB与CD相等吗?说 明理由。
D C A B

课本79页第3题

例2

已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE

A E

证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, B D

C

∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD, ∴⌒ ⌒ BD= DE (同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等)。

变式训练一:
已知:如图,在△ABC中,,以AB为直径 的圆交BC于D,交AC于E, ⌒ ⌒ BD=DE 求证: AB=AC B D A E C

变式训练二:如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O 的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交 ⊙O于点F,点F不与点A重合。 (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么? (2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪 一类三角形,并说明理由。
解:(1)AB=AC。 证明:连接AD ∵AB是直径,∴∠ADB=90°, 又∵DC=BD,∴AB=AC。 (2)△ABC是锐角三角形。
A

O

·
D

F C

B

由(1)知,∠B=∠C<90 °
连接BF,则∠AFB=90 °,∴∠A<90 ° ∴△ABC是锐角三角形

课本79页作业题第4题

例3: 船在航行过程中,船长常常通过测定 角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示 灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形 区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就 是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时,就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50

°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
E C

O

A

B

(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么?
P E C

O

A

B

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.

A

B

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D

A

B

如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点 E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延 AC 长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图 中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
F G C E

O A

B

D

已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC交 BF于点M,过A点作AD⊥BC于D,交 BF于E,则AE与BE的大小有什么关系? 为什么?
F A M E B D O C

作业
? 作业本1:第20----21页 ? 快速检测:59——61页

如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD 的长.
解:∵AB是直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,
C

BC ? AB ? AC ? 10 ? 6 ? 8
2 2 2 2

A

O

B

∵CD平分∠ACB,

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

D

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2


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