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浙教版_相似三角形复习课件

发布时间:2013-11-21 10:36:23  

如图,在△ABC中,AB>AC,D为AC边上异于A、C 的一点,过D点作一直线与AB相交于点E,使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问:你能画出符合条件的直线吗? A
E

相似三角形的判定方法
B

E

D

C

1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似

如图,每个小正方形边长均为1,则下 列图中的三角形(阴影部分)与左图 中△ABC相似的是( B )
A

B

C

A.

B.

C.

D.

相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似

4、三边对应成比例的两三角形相似

1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似? 为什么? (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°

A′ A
40° 40°

B

80°

C

B′

60 °

C′

1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似? 为什么? (2) ∠A=40°,AB=3 ,AC=6 ∠A′=40°,A′B′=7 ,A′C′=14
A′ A
3 40°
7

40°
14

6

B

C

B′

C′

1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似? 为什么? (3) AB=4 ,BC=6 ,AC=8 A`B`=18 ,B`C`=12 ,A`C`= 24 21
A
4 8
18

A`

B
6

C

24
21

B`
12

C`

如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似?

渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3,∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
A D E

D B
3

1 2

E C

B

F

C
如图(1)

如图(2)

(3)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,则图中共有_____对三角形相似. 2 A
E B

D

· O
C

(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____对 6 三角形相似.
A
1

D
4 3

E
2

· O
C

B

渐入佳境

3. 如图:在⊿ABC中, ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点

P从点B出发,沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发,问:

经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似?
A Q A Q

B
P

C

B
P

C

例2、如图,已知:AB⊥DB于点B ,CD⊥DB于 点D,AB=6,CD=4,BD=14. 问:在DB上是否存在P点,使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似?如 果存在,计算出点P的位置;如果不存在,请说 明理由。
A C

4
D

6
B

14

A C

4
D

6 x P 14―x
B

解(1)假设存在这样的点P,使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x,则PB=14―x, ∴6:4=(14―x):x

∴x=5.6

A

C

6
B

4
D

x

p 14―x P

(2)假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x,则PB=14―x, ∴6: x =(14―x): 4

∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时,以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似

已知,D、E为△ABC中BC、AC上两点, CE=3,CA=8

,CB=6, 若∠CDE=∠A, 4 则:CD=_____, 1:2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1:4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E

C

D
A B

如图,已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= ——,平行四 边形ABCD的面积为?
A D F B C E

如图,在□ABCD中,E为CD上一点, DE:CE=2:3,连结AE、BE、BD,且 AE、BD交于点F,则S△DEF:S△EBF :S△ABF=( ) (A)4:10:25 (B)4:9:25 (C)2:3:5 (D)2:5:25

D

E

C

F
A B

14、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.

求证:AB2=AE·AD
A

证明:连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC ∴AB2=AE·AD
AE ? AB
B O· D

C

E



1.如图,△PCD是等边三角形,A、C、D、B在同 一直线上,且∠APB=120°. 求证:⑴△PAC∽△BPD;⑵AC·BD=CD2. P

A

C

D

B

(3)如图,在△ABC中,DE∥AB,自D、C、E分 别向AB作垂线,垂足分别为G、H、F, CH交 DE于P,已知 CH=6,AB=8. ①若EF=x ,DE=y,写出y与x的函数关系式. ②设EF为x,S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式, 以及自变量x的取值范围? C ③当x为何值时,矩形DEFG的面积 最大,最大面积为多少? P
E D A B

F

H G

18、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E, 使∠ADE=45° (1)求证:△ABD∽△DCE (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式及自变量x 的取值范围,并求出当BD为何值时AE取得最小值 (3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长
A

y
1

E
C

B

x

D

如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一

个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45° (1)求证:△ABD∽△DCE
A 1 D )2

证明:∵AB=AC,∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B

E
C

∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE

如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°

(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式及自变量

x的取值范围,并求出当BD为何值时AE取得最小值
解:∵△ABD∽△DCE
AB BD ? ∴ CD CE

∴ ∴

A 1 B

y
E

1? y
C

1 x ? 2 ? x 1? y

x
2

D

2?x

1? y ? x

?

2?x

?

y ? x2 ? 2x ? 1

?0 ? x ? 2 ?

? 2? 1 y ??x? ? ? ? 2 ? 2 ? ?

2 时 当 x? 2

y最小值

1 ? 2

如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°

(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长

分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
B 1

A

y
E

1? y
C

x

D

2?x

已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5, AB=DC=2. (1)如图,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A. ①求证;△ABP∽△DPC ②

求AP的长. (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重 合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E, 同时交直线DC于点Q,那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ =y,求y关于x的函数解析式,并写出函 数的定义域; ②当CE=1时,写出AP的长

2.如图,在△ABC中, CA=6,CB=4,AB=8, 当DE∥AB,D点在BC上(与B、C不重合), E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时, 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时,求CD的长. C C E A D B A E D B

3.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3), C(3,0),点P 在y轴的正半轴上运动,若以O,B,P为顶点的三角形与△ABC 相似,则点P的坐标是__________________.
y

· P
O

· B

C

·

x

· A

2.画一画:
如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线 b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三 角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 注数据)
A a
500
700 300 300

D
700

b

B A
700

C

300

F D
700

E b

a

200 500

200 300

B

C

F

E

? 评注:一道题有几个小题时,或者后面小题的解决要用 结论,或者这几个小题解决方法类似。本题的第⑴小题 同理可得∽,则有∽。

1.如图,△PCD是等边三角形,A、C、D、B在同 一直线上,且∠APB=120°. 求证:⑴△PAC∽△BPD;⑵AC·BD=CD2. P

A
? ?

C

D

B

分析:(1)本题只有已知角和等边三角形的条件,要证∽,可以从找两个 角对应相等入手. AC CD (2)欲证AC ? DB ? CD,只须证 CD ? DB ,但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上,故可考虑通过等量代换,
2

1.如图,已知△PAC∽△QCB , △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1,BQ=4,求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C

A

P

Q

B

板书设计

相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2

对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比

已知:如图,D在△ABC的边AC上,且DE∥BC, 交AB于E,F在AE上,且AE2=AF×AB, 求证: △AFD∽ △AEC. A F E B

D
C


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