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实数专题复习-七年级上册浙教版

发布时间:2013-11-26 13:42:08  

实数专题复习

注意:(1)无理数应满足:①是小数;②是无限小数;③不循环;

(2)无理数不是都带根号的数(例如π就是无理数),反之,带根号的数也不一定都是无理数(例如4,27就是有理数).

【知识网络】

(1)按实数的定义分类:

???正整数???整数?零???负整数?有理数??????实数??分数?正分数?有限小数或无限循环小数 ????负分数??????正无理数??无理数??无限不循环小数??负无理数??

(2)按实数的正负分类:

???正整数正有理数???正实数???正分数

???正无理数?? 实数?零(既不是正数也不是负数)

???负整数?负有理数??负实数???负分数????负无理数?

第1讲 实数的有关概念

【知识要点】

1.实数的性质

(1)实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念(如倒数,相反数);

(2)两实数的大小关系:正数大于0,0大于负数;两个正实数,绝对值大的实数大;两个负实数,绝对值大的实数反而小;

(3)在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方五种运算是畅通无阻的,但是开方运算要注意,正实数和零总能进行开方运算,而负实数只能开奇次方,不能开偶次方;

(4)有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同.

2.实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反之,数轴上每一个点都表示一个实数,即数轴上的点与实数是一一对应关系.

3.实数的分类

??正有理数????有理数

零??有限小数或无限循环小数???负有理数?实数?????无理数?正无理数?无限不循环小数???负无理数???

4.实数的大小比较

两实数的大小关系如下:正实数都大于0,负实数都小于0,正数大于一切负数;两个正实数,绝对值大的实数较大;两个负实数,绝对值大的实数反而小.

实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个实数,右边的数总大于左边的数.

【典型例题】

例1若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )

A. -a2 B. -( a+1)2 C.-a D.-(?a+1)

分析:本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a为实数, a2、( a+1)2、a均为非负数,∴-a2≤0,-( a+1)2≤0,-a≤0.而0既不是正数也不是负数,是介于正数与负数之间的中性数.因此,A、B、C不一定是负数.又依据绝对值的概念及性质知-(?a+1)﹤0.故选D

例2 实数a在数轴上的位置如图所示,

化简:a?1?222(a?2)2分析:这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a﹤2,于是a?1?a?1,(a?2)?a?2?2?a,

所以, a?1?2(a?2)2=a-1+2-a=1.

例3 如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1,点B关于点A的对称点为C,

则点C所表示的实数为( )

A.

C. 5-2 B. 2- 5-3 D.3-

分析:这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质.B、C两点关于点A对称,因而B、C两点到点A的距离是相同的,点B到点A的距离是-1,所以点C到点A的距离也是5-1,设点C到点O的距离为a,所以a+1=5-1,即a=-2.又因为点C所表示的实数为负数,所以点C所表示的实数为2-.

例4 已知a、b是有理数,且满足(a-2)2+b?3=0,则ab的值为 分析:因为(a-2)2+b?3=0,所以a-2=0,b-3=0。所以a=2, b=3;所以ab=8。

【知识运用】

一、填空题:

1.已知a?2?5,则a的相反数是 a的倒数是a,它在原点的 侧(填“左”或“右”);且到原点的距离是 .

2. 在两个连续整数a和b之间, a﹤﹤b,那么a、b3. (创新题)观察下列算式:

21=2; 22=4; 23=8; 24=16;

25=32; 26=64; 27=128; 28=256;……… 通过观察,用你所发现的规律写出22007的末位数字是 图1

4.如图1,是一个正方体纸盒的展开图。若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适

当的数,使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数,则填入正方形A、B、C内的三个数依次为

5.某年的某个月中有5个星期三,它们的日期之和为80(把日期看作两位数,

如22日看作数22),那么这个月的3号是星期 .

6.已知:2?22334455 ?22?,3??32?,4??42?,5??52?,338815152424

bb2 符合前面式子的规律,则a?b?。aa

二、选择题:

7.以数轴的单位长度1为边作一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形的对角线长为半

径画弧,交数轴的正半轴于点A,则点A表示的数是( )

A.1.5 B. 1.4 C. D.

8.下列结论正确的是( )

A.∵a?b ,∴ a﹥b B.

C. a与 a2?(a)2 1不一定互为相反数 D. a+b﹥a-b a

9.请你估算的大小( )

A.1﹤﹤2 B. 2﹤﹤3 C. 3﹤﹤4 D. 4﹤﹤5

10.若数轴上表示数a的点在原点的左边,则化简2a?a2的结果是( )

A.- a B. -3a C. a D. 3a

三、解答题:

11.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于1,求a+b+x2-cdx的值.

12.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x、y满足x

?2?y2?4y?4?0,求

(a?b)2008x2?(cd)2009y?(a?b?cd)y2xy的值.

13.如图2,数轴上表示1和2的点分别为A和B,点B关于点A的对称点为C.设C点

所表示的数为x,求x+

14.按下列程序计算,把答案填写在表格内,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个规

律?

(1)填写表内空格:

2的值. x 图2

(2)你发现的规律是

(3)用简要的过程证明你发现的规律.

第2讲 实数的有关运算

【知识要点】

1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念,掌握实数的运算法则,并能熟练地进行计算.

2.实数的运算

在实数范围内,加、减、乘、除(除数不能为0)、乘方五种运算都可以进行,各种运算律在实数范围内仍然适用;但开方运算要注意,正实数和零总能进行开方运算,而负实数只能开奇次方,不能开偶次方.

3.对于实数的运算应注意:

(1) 实数的混合运算中,应先确定运算的符号及顺序,再进行运算,有小数的一般将其化 为分数较为简单;

(2) 熟练掌握实数的运算需做到三点:一是熟悉运算律(包括正向与逆向);二是灵活运 用各种运算法则;三是掌握一定的运算技巧;

(3)注意零指数、负整数指数幂的意义,遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算,关键是把好符号关.

4.实数的绝对值

正实数的绝对值等于它本身;负实数的绝对值等于它的相反数;零的绝对值是零.

【典型例题】

例1 计算下列各式:

(1)?2?(?1)2?2sin45??(??3)0

3 (2)(?2)?()1

3?211?(1?)0????4 26

2+1=1; 2解:(1)原式=2-1+1- (2) 原式=(-8)×9+1+3?6+4=-72+1+3+4=-64. 2

例2 比较3-2与2-1的大小. 分析:比较-2与2-1的大小,可先将各数的近似值求出来, 即-2≈1.732-1.414=0.318,2-1≈1.414-1=0.414,再比较大小。

【知识运用】

一、填空题:

2.用计算器比较大小

3.已知a?(?)?2,b?(?填“﹤”、“=”或“﹥”). 2

3?8)0,c??0.8?1,则a,b,c三数的大小关系是

-a?b?(?cd)2006?y2 4.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,且x2=1,y=2,则式子x

的值是

5.下面是一个有规律排列的数表:

第一列 第二列 第三列………第n列

1111 , , ,……… 23n1

2222第二行 , , ,……… 123n

3333第三行 , , ,……… 123n第一行

………………

上面数表中第九行,第七列的数是

6.(观察下列各等式:

26537110?2=2; =2; =2;=2; ????2?46?45?43?47?41?410?4?2?4

依照以上各式成立的规律,在括号中填入适当的数,使等式

二、选择题:

7.设a?20(?)=2成立. ?20?4(?)?43?2,b?2?,c?5?2,则a、b、c的大小关系是( )

A. a﹥b﹥c B. a﹥c ﹥b C. c ﹥b﹥a D. b﹥c﹥a

8.小明的作业本上有以下四题:①a?4a;②5a?a?52a; ③a4211?a2??a;④3a?2a?a.做错的题是( ) aa

A. ① B. ② C. ③ D. ④

9.现规定一种新的运算“*”:a*b=ab,如3*2=32=9,则1*3等于( ) 2

113A. B. 8 C. D. 862

10.若“!”是一种运算符号,且有1!=1;2!=2×1;3!=3×2×1;4!=4×3×2×1;………则

2006!?( ) 2005!

A.2006 B.2005 C.2004 D.以上答案都不对

11.下列运算:① (-3)3=-9; ② (-3)2=9; ③ 23×23=29; -

0④ -24÷(-2)2=(-2)2=4; ⑤(2?)?1;⑥×6=5÷1=5; 1

6

其中错误的个数是( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

三、解答题:

12

13.若规定一种新的运算“*”:a*b=a+b+ab,求〔(-1)*1〕*2的值.

14.在图1的集合圈中,有5个实数,请你计算其中的有理数的和与无理数的积的差.

图1 2010)0? 实数专题测试

一、选择题:

1.某专卖店在统计2005年第一季度销售额时发现二月份比一月份增加10%,三月份比二月份

减少10%,那么三月份比一月份( )

A. 增加10% B. 减少10% C. 不增不减 D. 减少1%

2.实数222009,, 2+1,2π, (3)0,?3中,有理数的个数是( ) 72010 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

3.从A地到C地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A地到B地,有2条水路、

2条陆路,从B地到C地,有3条陆路可选择,走空中从A地不经B地可直接到C地,则从

A地到C地可供选择的方案有( )

A. 20种 B. 8种 C. 5种 D. 13种

4.下列说法正确的是( )

A. 负数和零没有平方根 B. 1的倒数是2009 2009

C. 2是分数 D. 0和1的相反数是它本身 2

二、填空题:

5.写出和为6的两个无理数(只需写出一对)

6.观察下面一列有规律的数: 123456,,,,,,………根据这个规律可知第n3815243548个数是 (n是正整数). 7.如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到

达A4点,再向正东方向走15米到达A5点,按如此

规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是 米.

8.?2?3?。

9.我们平常用的数是十进制数,如:2639=2×103+6×102+3×101+9×100,表示十进制的数要

用10个数码(又叫数字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。在电子计算机中用的是二

进制,只要两个数码:0,1,如二进制中,101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5,

10111=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数23.

那么二进制中的1101等于十进制的数是 .

三、解答题:

10.计算:(-2)2-(2)1×+(1-)0 -

11.(1)通过计算比较下列各组数中两个数的大小:

121; 2332; 3443; 454; 565;

(2)从(1)题的结果,通过归纳可以猜想出nn+1与(n+1)n的大小关系;

(3)根据(2)的结论,试比较两个数的大小:20052006与20062005.

12.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不

必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表累进计算:(纳税款=应纳税所得额×对应的税率)。按此规定解答下列问题:

(1)设甲的月工资、薪金所得为x元(1300﹤x﹤2800),应缴纳税款为y元,试写出y 与x之间的关系式;

(2)若乙一月份应缴纳所得税款95元,那么他一月份的工资、薪金所得为多少元?

一、 1 2.a=3.b=4 3.8

4.A为1,C为0,B为-2 5.星期四 6.109

二、 7.D 8.C 9.C 10.A

三、11.∵a+b=0 cd=1 , |x|=1 , ∴x=1或x=-1 ,

∴原式=0+x2-x , 当x=1时,结果为0 ;当x为-1时,结果为2

12.∵a+b=0 cd=1 整理得 |x

|+(y+2)=0 ∴x

=0 y+2=0 2

x= y=-2

∴原式=0-[12009(-2)]+(0+1)×(-2)2

×(-2)=2+4+4=10

13

-1=1-x ∴x =2

带入得x+

14、〈1〉当x=-2时,结果为1;当x= 2=2

=4 x1时,结果为1 3

〈2〉经过这个计算后,无论x取何值( 除0),结果都为1。

〈3〉(x2+x)÷ x-x =(x+1)×x÷x (∵x≠0)

=x+1-x =1

第2讲

一: 1

、20(?12)92、< 3、c<b<a 4、-2 5、 6、??2 220?4(?12)?47

二、 7、A 8、D 9、A 10、A 11、C

三:12、

-(-2)-1+

+2-1+2

3

13、原式=[-1+1+(-1)×1]+2+[-1+1+(-1)×1]×2

=-1+2+(-1)×2=1-2 =-1

14、有理数:32,-23

,π

∴(32-23

专题测试 ×π

=1-2π 一:1、D 2、B 3、D 4、B

二:5、2

4

6、n 7、15 8、1 9、13 2(n?1)

三:10、 原式=4

1=4-2+1=3

11、(1)12<21 , 23<32 , 34>43 , 45>54 , 56>65

(2)当n为小于等于2的正整数时nn

++1 <(n+1)n 当n为大于2的整数时nn1>(n+1)n

(3)20052006>20062005

12、〈1〉∵1300<x<2800 ∴应纳税所得额在500~2000 之间。

y=x-(x-800) ×10%= x-(0.1x-80) = 0.9x+80(1300<x<2800)

〈2〉95÷15%≈633.3(元) ∴633.3不在2000~5000范围内,所以不符合。 95÷10%≈950(元)符合 所得工资950+800-95=1665(元)

95÷5%=1900(元) ∵1900元不在小于500范围内所以不符合。 答:他一月份的工资、薪金所得为1655元。

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