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科学备考 讲究实效

发布时间:2014-01-12 11:00:57  

科学备考 讲究实效
特级教师 田名凤 2011-3-4

讲座要点
1. 仔细研读考试大纲,掌握复习方向; 2. 潜心研习高考试题,掌握高考特点; 3. 认真研究认知结构,掌握复习节奏.

一、 仔细研读考试大纲,

掌握考试内容和要求

制定高考大纲

依据全国的考试大纲,
依据学生的实际情况; 依据主管领导的要求; 依据当年使用的教材。

1. 既要高举旗帜,又要符合实际, 2. 有利于第三次命题的平稳过渡; 全国---本地,旧教材---新教材, 大纲卷---课标卷。 3. 保持优良传统,总体稳定,局部调整, 稳中有进。试卷结构不变,知识要求的 层次不变.

数学学科的系统性和严密性决定 了数学知识之间深刻的内在联系,包 括各部分知识在各自发展过程中的纵 向联系和各部分知识之间的横向联系. 要善于从本质上抓住这些联系.进而 通过分类、梳理、综合,构建数学试 卷的结构框架.

注重基础知识基本技能基本方法; 确立以能力立意命题的指导思想; 将知识能力素质的考查融为一体; 考查考生进入高校再学习的潜能. 全面检测考生的数学素养.

教学要求的层次 知识,理解,应用,

分析,综合,评价。

高考对数学知识的要求层次

(1)了解:要求对所列知识有初步的、感 性的认识,知道其内容,并能在有关的问 题中识别它.
(2)理解和掌握:要求对所列知识内容有 较深刻的理性认识,能够解释,举例或变 式、推断,并能利用知识解决有关问题.

( 3)灵活和综合运用:要求系统 地掌握知识的内在联系,能运用

所列知识分析和解决较为复杂的
或综合性的问题.

1.高考内容与高考要求

集合
(集合的含义是A级,集合的表
示、集合关系、集合运算B级)

简易逻辑
(充要条件C级,四种命题的 关系、逻辑关联词、全称量词与 存在量词B级)

函数的概念

(映射A级,函数概念与表
示C级、反函数的概念A级) 函数的性质 (奇偶性B级,函数的最值C级、 单调性C级)

指数式运算
(实数指数幂A级,有理指

数幂B级,幂运算C级,)
对数式运算

(对数的概念与运算B级、换底
公式A级)

指数函数、对数函数、幂函数

(指数函数的概念、图象与性质B级,
对数函数的概念、图象与性质B级, 幂函数概念A级,5种幂函数图象与性 质 B级)

函数模型与应用 (零点、二分法A级,

函数模型与应用B级)
*函数综合问题(C级)

三角式的定义

(角的概念、弧度制A级,
弧度制与角度制互化B级、 三角式定义、三角函数线C级、 诱导公式B级,同角关系式C级)

三角函数
(周期性定义、三角函数的周期性A级, y=sinx,y=cosx,y=tanx图象与性质C级 y=Asin(wx+
?

)的

图象C级



三角函数的应用B级)

三角变换 (正弦、余弦、正切的两角和与差公式、

倍角公式C级,三角变换B级)
解三角形 (正弦定理、余弦定理、解三角形B级)

数列 (数列概念B级、

等差数列概念、等比数列概念B级,
等差数列、等比数列的通项公式C级、 等差数列、等比数列求和公式C级) *数列的综合问题(C级)

不等式
(二元一次不等式组表示的区域B级、 简单线性规划B级,

基本不等式与应用C级,
解一元二次不等式C级) *不等式的综合问题( C级)

推理与证明
(合情推理A级,

归纳与类比、反证法、数学归纳法B级,
演绎推理、综合法、分析法C级)

平面向量 (基本定理A级, 向量概念、向量共线、向量坐标、 数量积与夹角、向量的应用B级, 向量的四种运算与坐标表示C级、 两向量平行与垂直的判定C级)

导数的概念与运算 (导数的概念、用定义求导A级, 导数的几何意义、复合求导B级, 导数的四则运算C级) 导数的应用 (用导数解决实际问题B级, 求单调区间、极值、最值C级) 定积分(A级) *导数与函数的综合( C级)

复数 (复数概念与相等、复数的运算B级, 复数的表示及几何意义、 加减法的几何意义A级)

立体几何初步 (柱、锥、台、球及简单组合体, 球、柱、锥体积及表面积A级, 四个公理A级, 三视图、直观图B级, 直线、平面位置关系B级, 线面平行的判定与性质C 级, 线面垂直的判定与性质C级)

空间向量
(基本定理A级, 空间直角坐标系、两点之间的距离, 向量概念、向量坐标B级, 向量的四种运算C级、

向量平行与垂直的判定C级)

空间向量的应用 (直线的方向向量、平面的法向量B级,

向量的四种运算、各种位置关系C级、
各种空间角C级)

直线方程 (倾角与斜率B级、斜率公式C级、 两直线交点、平行线之间的距离B级, 两点距、点线距C级, 直线的点斜式、两点式、一般式C级, 两直线平行与垂直的判定C级)

圆方程

(两圆的位置关系B级,
圆的标准式、一般式方程C级, 直线与圆的位置关系C级)

圆锥曲线 (双曲线定义、标准方程、简单几何性质A级,

椭圆的定义、标准方程、简单几何性质C级,
抛物线的定义、标准方程、简单几何性质C 级,直线与圆锥曲线的位置关系C级, 曲线与方程的对应关系B级) *解析几何的综合问题( C级)

算法初步 (算法含义、算法语句A级,

程序框图的三种基本逻辑结构B级)

排列组合 (两个原理、排列组合的概念B级, 排列数、组合数公式C级, 排列组合的应用题C级) 二项式定理 (用定理解决与展开式有关的简单问题B级)

统计 (分层

抽样、系统抽样A级, 简单随机抽样B级、 频率分布表、直方图、折线图、茎叶图、

样品的数字特征,线性回归方程B级,
用样本估计总体(分布、数字特征)C级)

概率 (随机事件的概率、超几何分布、条件 概率、事件的独立性、正态分布A级, 随机事件的运算、古典概型、几何概型、 n次独立重复试验B级、 二项分布、期望与方差B级, 互斥事件的概率加法公式C级、 离散性随机变量的分布列C级)

平面几何
(平行截割定理A级, 直角三角形的射影定理、 圆周角定理、圆的切线判定与性质、 圆内接四边形判定与性质、

相交弦定理,切割线定理B级)

极坐标 (点的极坐标、极坐标与直角坐标 的互化B级) 参数方程 (椭圆的参数方程A级,直线的参数 方程、圆的参数方程B级)

传统内容基本不变的有 平面向量、解三角形、 数列、复数。

传统内容有变化的有: 三角函数中删去余切、正割、余 割,反三角函数的符号; 不等式中删去高次不等式、含绝 对值的不等式,削弱不等式的证明。 二项式定理中删去两个组合数的 性质。

解析几何中删去两直线夹角,删 去椭圆、双曲线的第二定义和准线。 导数中删去极限的运算。 立体几何删去三垂线定理,球面 距离。

新增3大单元: 算法、程序框图、基本算法语 句;算法案例; 推理与证明:合情推理与演绎 推理,数学归纳法、分析法、综合 法、反证法; 统计案例。

新增11小点: 无理指数幂,幂函数,对数换底 公式,零点,二分法,任意与存 在,定积分,三视图,茎叶图, 几何概率,条件概率。

2.高考对数学能力的要求
考试大纲对能力的要求分两个层次: 基本能力(空间想象能力,抽象概括能力, 推理论证能力,运算能力,数据处理能力) 与发展能力(应用意识和创新能力)。

空间想象能力:
空间想象能力是对空间形式的观察、 分析、抽象和处理的能力,主要表现为识 图、画图和对图形的想象. 要求能根据条件做出正确的图形,根据 图形想象出直观形象;能正确地分析出图 形中基本元素及其相互关系;能对图形进 行分解、组合与变换,会运用图形形象地 揭示问题的本质.

抽象概括能力: 抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其 本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象 的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括 是相互联系的. 抽象概括能力就是从具体的、生动的实例, 在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质; 从给定的大量信息材料中,概括出一些结论, 并能应用于解决问题或做出新的判断.对抽象 概括能力和推理论证能力的考查贯穿于全卷, 是重点.


推理论证能力: 推理是数学思维的基本形式,它由前 提和结论两部分组成. 推理贯穿于学习解题 的始终.论证是由已有的正确的前提到被论 证的结论的正确性的一连串的过程. 推理既包括合情推理,也包括演绎推 理.论证方法既包括按形式划分的归纳法和 演绎法,也包括按思考方法划分的直接证 法和间接证法.一般说来,运用合情推理发 现结论,再运用演绎推理进行证明,可以 形成一个完整的思维程序.

运算求解能力: 运算能力是数学的基本能力.高考试 题中,半数以上需要运算求解,有的证 明问题也需借助于运算进行推理. 运算能力包括分析运算条件、探究 运算方向、选择运算公式、确定运算程 序等. 运算能力表现为:会根据法则、公 式进行正确的运算和变形;能根据问题 的条件,寻找与设计合理、简捷的运算 途径.也包括在实施运算中遇到障碍而调 整运算的能力。

数据处理能力:

数据处理能力主要表现为:
会收集数据、整理数据、分析数

据,能从大量数据中抽取对研究
问题有用的信息,并做出判断.

应用意识 : 数学高考对应用意识的考查主要采用 应用问题的形式,主要过程是依据现实的 生活背景、提炼相关的数量关系,将实际 问题转化为数学问题,构造数学模型,并 加以解决。 要求考生能理解对问题陈述的材料, 并对所提供的信息资料进行归纳、整理和 分类,将实际问题抽象为数学问题;应用 相关的数学方法解决问题并加以验证,能 用数学语言正确地表达和说明.

创新意识 : 考试中创设新颖的问题情境,构造有 一定深度和广度的数学问题;注重问题的 多样化,体现思维的发散性;设计反映数、 形运动变化的试题,探究型和开放型的试 题. 要求通过“观察、猜测、抽象、概括、 推理、证明”等思维程序,发现问题、提 出问题,并综合与灵活运用数学知识和思 想方法,选择有效的途径和方法,独立思 考,探索研究,寻找解决问题的思路,并 创造性地解决问题.

个性品质要求
具有一定的数学视野, 崇尚数学的理性精神. 形成审慎思维的习惯, 实事求是的科学态度,

体现锲而不舍的精神.

3.高考对数学思想和方法的要求
数学思想方法蕴含在数学基础知 识之中,它与数学知识的发展形成同步,

是数学知识的精髓,是知识化为能力的
催化剂。

函数与方程的思想;

数形结合的思想;
分类讨论的思想; 转化与划归的思想。

考查数学思想方法是对数学知识在更 高层次上的抽象和概括的考查,考查时必 须要与数学知识相结合,通过对数学知识 的考查,反映考生对数学思想和方法的理 解;注重通性通法

,淡化特殊技巧,有效 地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数 学思想和方法的掌握程度.

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ,g ( x) ? f ( x) ? m, 如 f ( x) ? ? ?log2 ( x ? 1)(x ? 0) g(x)有三个零点,求 m的范围。

二、 潜心研习高考试题, 掌握试题特点与热点。

1.基础与重点同行, 思想与方法并重

2010年试题一方面试题对高中数学各章所 涉及的内容作了较为全面的考查,知识点的 覆盖率高,另一方面试题又突出考查了重点 知识,使每章节的数学知识得以纵向发展, 使不同章节的知识之间相互交汇。数学思想 方法蕴含在数学知识当中,它与数学知识的 发展形成同步.它是数学知识的精髓,高考在 考查数学知识的同时也对数学思想方法进行 了全面的考查。

以海南、宁夏理科卷为例,

(1)题考查了解简单的绝对值不等式、根
式不等式同时考查了集合的基本运算;

(2)题考查了复数的概念与运算;
(3)题考查曲线切线的求解能力,考查导数

几何意义的应用;
(4)题考查用函数图象描述运动,体现用函 数思想求解问题的能力;

(5)题以函数性质为载体考查简易逻辑
中命题真伪的判断能力;

(6)题考查二项分布、数学期望等的概
率与统计的相关知识; (7)题考查程序框图与数列知识; (8)题以三次函数为背景考查函数与不 等式的综合,检查考生数形结合的 思想与方法;

(9)题是利用倍角公式解决三角式的半角求

值问题,要求考生有较好的转化技巧; (10)是三棱柱与球的结合问题,它需要把
空间图形转化为平面图形进行求解; (11)题是分段函数、方程、不等式的综合 问题; (12)题是解析几何中的双曲线问题,考查 学生用方程处理问题的策略。

(13)题是积分与统计相结合的试题,考

查学生用概率与统计的思想处理实际
问题的能力; (14)题考查三视图,带有立体几何知识 探索的味道; (15)题考查直线与圆,充分体现用代数 方法研究平面几何问题;

(16)题是三角形中的计算问题,他把三角

问题与解析几何问题有机的进行结合;
(17)题是数列问题.此题涉及数列的递推关

系、通项公式、求和问题,此题把非常
规的数列经过加工转化为等比数列问题;

(18)题是一道立体几何试题.它在锥体中考
查学生对空间几何关系的判断与度量,

需要借用空间向量.解决垂直的证明与夹
角的计算.;

(19)题是一道应用问题,涉及到数据处
理、独立性检验,考查学生是运用统计 知识解决实际问题的能力;

(20)题是解析几何大题,涉及到数列知
识、椭圆定义、椭圆方程、椭圆性

质、直线与圆锥曲线的关系

等知识,
考查学生的思维能力与计算能力; (21)题是导数、函数、不等式的综合试 题,用到分类讨论的思想方法;

(22)题平面几何试题; (23)题是参数方程的试题;

(24)题是不等式问题;
(第(22)(23)(24)题三题任选

其一)。

2.深化能力立意, 重视应用创新

例1 f(x)是定义在[-c,c]上的奇函
数,如图, 令g(x)=af(x)+b,下 列叙述正确的是[ ]
-c

y o
-2 2

c

x

(A)若a<0,则g(x) 图象关于原点对称. (B) 若a= -1, -2<b<0,方程g(x)=0有大于2 的实根. (C)若a≠0,b=2, 方程g(x)=0有两个实根. (D)若a≥1,b<2, 方程g(x)=0有三个实根.

图 中 信 息

(A)若a<0,则g(x) 图象关于原点对称.

(B) 若a= -1, -2<b<0,方程g(x)=0有大于2的实根. (D)若a≥1,b<2, 方程g(x)=0有三个实根.

(C)若a≠0,b=2, 方程g(x)=0有两个实根.

2 -2 -2

2

2 2 -2

-2

操作确认

B

例2.(2008江苏13)

若?ABC中,AB ? 2, AC ? 2BC

则S?ABC
三角、几何、 解析几何结合

2 2 的最大值为_______

联系与转化

例3.(2008海南6)已知a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得

(1 ? ai x)2 ? 1
范围是(

(i ? 1, 2,3) 都成立的x取值


1 ( A)(0, ) a1
1 (C )(0, ) a3

2 ( B)(0, ) a1
2 ( D)(0, ) a3
字母运算

a1 ? a2 ? a3 ? 0

(1 ? ai x)2 ? 1

(i ? 1, 2,3)

(ai x)2 ? 2ai x ? 0
数形 结合
1 a1 1 1 a2 a3

B

例4 (宁夏、海南卷)一个四棱锥和一个三棱 锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥 的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相 等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都 相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1、h2、h 3,则h1︰h2︰h3 =
A.3︰1︰1 C.3 ︰2︰ 2 B. 3︰2︰2 D. 3︰2︰ 3

图形的分 解与组合

3 :2:2

例5(山东卷)在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为 AB的中点,将△ADE与△BEC分 别沿ED、EC向上折起,使A、B 重合于点P,则三棱锥P-DCE的 外接球体积为
4 3? 27

A.

B.

6? 2

C.

6? 8

D.

6? 24

空间想象

6? 8

例6(北京卷)动点P在正方体ABCD—A1B1C1D1 的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的 直线,与正方体表面相交于M,N.设

BP ? x, MN ? y ,则函数y = f ( x)
的图象大致是

立体几何与解析几何结合

B

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 例7(2009山东卷理)设x,y满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,

2 3 的最小值为( ? 则 a b

).
11 3

25 A. 6

8 B. 3

D. 4

数与形的相互转化

y

x-y+2=0

z=ax+by
2

-2

O

2

x

3x-y-6=0

不等式表示的平面区域 如图所示阴影部分,当直 线ax+by= z(a>0,b>0) 过直线x-y+2=0与直线 3x-y-6=0的交点(4,6) 时,目标函数z=ax+by (a>0,b>0)取得最大 12,即4a+6b=12,

选A.

2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ( ? ) ? ?( ? )? ?2

? a b 6 6 a b 6 6

2 3 即2a+3b=6, 而 ? = a b

例8(全国卷Ⅰ)双曲线中心为原点O,焦点
在x轴上,两渐近线分别为 l1 , l2 ,过右焦点F 垂直于l1的直线分别交 l1 , l2 于 A、B两点.已知 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA , AB , OB 成等差数列, BF 与 FA 同向. (1) 求双曲线的离心率; (2) 设AB被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线方程.

综合性强,有一定计算量。

A
O F

OF ? c, AF ? b, OA ? a
??? ? ??? ? ??? ? 由于 OA , AB , OB 等差,

和勾股定理,得 OA,AB,OB的比3:4:5 4 tan?AOB ? , 3
B

b 1 5 ? ? ,e ? . a 2 2

5 x2 y 2 e? ; ? ?1 2 36 9

例 9(山东 19)在某校一次篮球定点投篮训练中,规定每人 最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一 球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否 则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的 命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处 投, ? 表示该人投篮训练结束后所得总分,其分布列为
?

0 0.03

2 P1

3 P2

4 P3

5 P4

p

概率统 计与应 用结合

(1)求 q 2 的值; (2)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与 选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

三.认真研究学生认知, 掌握复习节奏与层次。

第二阶段复习建议 重点知识复习与综合训练相结合; 全员分析讲解与个别指导相结合; 解题规律研究与查缺补漏相结合。

1.夯实学生会的 ,力争学生能的。

教师了解学生,学生理解教师, 教师抓紧学生,学生跟紧教师。

关注学生的薄弱点,

强化学生的得分点,
鼓励学生创新意识, 锻炼学生实践能力,

养成学生反思习惯。

如:与函数相关问题中的易错点
1.注意定义域问题

奇偶性,单调区间,最值,函数式的变形,
函数复合,用导数研究函数,实际问题。 2. 图象变换要慎重。

3.注意求导问题

求导公式,求导法则,复合求导,
4.关注解含参数的不等式 一元一次不等式,一元二次不等式, 不等式组。

得分点
1.函数性质的联系与发展 ;

2.用函数图象分析问题;
3.方程、不等式、函数的有机结合。

小题身上抓准抓熟

集合与简易逻辑;
函数概念与性质;

函数图象与图象变换;
导数计算与导数应用;

不等关系与不等式的应用;

三角变换与三角函数; 平面向量与三角形求解;

数列的通项与求和;
空间向量与几何关系计算; 复数概念与计算;

排列组合与二项式定理;

概率计算与统计初步;
直线方程与圆方程;

圆锥曲线定义与几何性质;

例1 过原点求y=ex的切线,

过原点求y=lnx的切线。

例2 函数f(x)的图象如图,数列{an}满足
an+1=f(an), 已知an+1>an , (0<a1<1)

则f(x)的图象为(
y 1 0 1 x y 1 0 1 x


y 1 0 1 x y 1 0 1 x

例3(江西卷)若不等式 x2+ax+1?0对于一切x?(0,0.5) 成立,则a的取值范围是( )

1 a ? ?x ? x

5 a?? . 2

大题身上抓思路抓表述 三角问题,函数问题, 解不等式;数列问题; 立体几何;概率问题; 导数应用;解析几何; 代数综合。

例1

( 1 )b1 ? 2b 2 ? ? ? (n - 1)bn ?1 ? nb n 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3 求b n (2)nb1 ? (n ? 1)b 2 ? ? ? 2bn ?1 ? b n 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3 求b n

例2:抛物线C: y2=4x, F是C的焦点,过F的直线L

与C交于A, B两点,

(1) 设L的斜率为1,求向量OA,OB的夹角的余弦;

(2)FB ? ? AF, ? ?[4,9], 求直线L的纵截距的取
值范围。

解(1)

? y 2 ? 4x 2 ? x ? 6x ?1 ? 0 ? ? y ? x ?1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1 cos? ?| x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

3 |? 2 2 41 x2 ? y 2

FB ? ? AF ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ) ? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) ? y ? ? (? y ) ? x2 ? ? 1 ? 2 ?? ? 2 ? y2 ? ? ? ? y1 ? 4 x1 ? y2 ? 4x 2 ? 2

y ? 0 x ?1 ? , 直线L的方程 ? ? ? ? 1
直线L的纵截距 由于

?2 ? , ? ?1 3 2 ? 4 ? ? [4,9],? ? ? , 4 ? ?1 3

4 ?2 ? 3 ? ? ?? . 3 ? ?1 4

解2

FB ? ? AF ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ) x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) y2 ? ? (? y1 )

? y2 ? 4x 2 ? by ? 4y ? 4b ? 0 ? ? y ? ? bx ? b A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 4 y1 ? y 2 ? ? , y1 y 2 ? ?4 b 2 y 2 ? ??y1 解得 b ?
……………………

4? 2 (1 ? ? )

2. 重点章节的再复习的建议
集合问题

集 合 语 言

集合A是集合B的子集
A ? B ? A, A ? B ? B

集合A与集合B的相等

A? B ? A? B

{x | y ? f ( x)}; { y | y ? f ( x)}; {( x, y ) | y ? f ( x)}; {x | f ( x) ? 0}; {x | f ( x, k ) ? 0} ? R; {x | f ( x, k ) ? 0} ? ? ; {( x, y ) | ax ? 2 y ? 1} ? {( x, y ) | 3 x ? ay ? 3} ? ?

函数的定义域 函数的值域

函数的图象
不等式的解集 绝对不等式 方程有解

两直线平行

例1 定义M ? N ? {x | x ? M , x ? N} 则M-(M-N)为

(A)M
M N

(B)N
N

(C)M∩N
M

(D)Φ

M, N

N

M

N

M

例2

集合M是方程为2kx+9y-k2=0的直线的

集合,集合S是满足下列条件的集合:对于集 合S中的每一个点,在集合M中有且只有一 条通过该点的直线,求集合S中的点的轨迹 方程。
分析: 2kx+9y-k2=0对于k只有一解,
等价于4x2+36y=0

3.设集合M ? {1, 2, 3, 4, 5, 6], S1,S 2, ?? S K 为M 的双元素的子集, Si ? {ai , bi }, S j ? {a j , b j

}, i, j ?{1,2,??,k},当i ? j时, a j bj a i bi { , } ? { , }, 求k的最大值。 bi ai bj aj

11

例4 已知M={f(x)|f(x)满足f(x+T)=Tf(x)}, (1)函数f(x)=x是否属于M?请说明理由。 (2)设函数f(x)=ax与直线y=x有公共点, 求证f(x)=ax属于M. (3)若f(x)=sinkx属于M,求k的取值范围.
解(1) ? x ? T ? Tx,? f ( x) ? x ? M

(2) ? a x ? x有解, ? f (T ? x) ? a x ?T ? a x a T ? Ta x ? Tf ( x), ? 此时的f ( x) ? M .
(3) sin(kx ? kT ) ? T sin kx, T ? 1, sin(kx ? k ) ? sin kx, k ? 2m? ; T ? ?1, sin(kx ? k ) ? ? sin kx, k ? ?(2m ? 1)? . ? k ? m? .

对函数性质的理解
注意联系与发展:奇偶性与对称性;

对称性与周期性;单调性与凹凸性。

奇偶性与对称性 f(-x)=f(x)
轴对称

f(0-x)=f(0+x) f(t-x)=f(t+x) f(t1-x)=f(t2+x)

f(-x)= -f(x)
中心对称

f(0-x)= -f(0+x) f(t-x)= -f(t+x) f(t1-x)= -f(t2+x)

f(x+T)=f(x)
周期性

f(t1+x)=f(t2+x) f(x+t)= -f(x)

1 1 f (x ? t) ? ; f (x ? t) ? ? f ( x) f ( x)

对称性与周期性 如果一个周期函数有一条对称轴(或 中心),那么这个函数就有无数条对称轴 (或中心)。 如果一个函数具备两个对称性,

则这个函数必定是周期函数。

例如:若f(a+x)=f(a-x), f(b+x)=f(b-x),(a>b),
则,f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形)

=f[a-(x+a-2b)]
= f(-x+2b)

[f(a+x)=f(a-x)]
(恒等变形)

=f[b+(-x+b)]
=f[b-(-x+b)]

(恒等变形)
[ f(b+x)=f(b-x)]
T=2a-2b

=f(x)

又如:若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= -f(b-x), 则,f(x+2a-2b)=f(x) T=2a-2b

又如:若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x),

则,f(x+2a-2b)= -f (x)
2a-2b为半周期

任取x1,x2∈D,且x1<x2, 若x1<x2 时, 单调性 有y1<y2, 则称y=f(x)在D上为增函数;

y=f(x)在D上为增函数;

f ( x2 ) ? f ( x1) 任取x1,x2∈D,若 ? 0 则称 x2 ? x1

若函数f(x)的导函数f ?( x ) 在D上的函数值 为正,则称y=f(x)在D上为增函数;

单调性与凹凸性

f(x2)

凹凸性

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

f(x1)
x1

f(

x1 ? x2 ) 2

x1 ? x2 2

x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? f( ) 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? f( ) 2 2

例1 在R上定义的函数f(x)是偶函数,且

f(x)=f(2-x).若f(x)在区间(1,2)上是减函数,
则f(x)( )

A.在(-2,-1)上是增函数,在(3,4)上是增函数 B.在(-2,-1)上是增函数,在(3,4)上是减函数 C.在(-2,-1)上是减函数,在(3,4)上是增函数 D.在(-2,-1)上是减函数,在(3,4)上是减函数

在(-2,-1)上是增函数,在(3,4)上是减函数

例2(2005广东卷第19题,满分14分) 设函数f(x)在 (??, ??) 上满足,f(2-X)=f(2+X), f(7-X)=f(7+X)且在f(x)闭区间[0,7]上,只 有f(1)=f(3)=0. (Ⅰ)试判断函数f(x)的奇偶性; (Ⅱ)试求方程f(x) =0在闭区间[-2005,2005]上 的根的个数,并证明你的结论.

由已知可判断函数的周期为10,


? f (3) ? 0, f (?3) ? f (7) ? 0, ?非奇非偶 .
? f ( x) ? 0在[0, 10 )上有两个根, ? f ( x) ? 0在[?2000 , 2000 )上有800个根

? f ( x) ? 0在[0, 5)上有两个根, ? f ( x) ? 0在[2000 , 2005 )上也有2个根,

? f ( x) ? 0在[5, 10 )上没有根, ? f ( x) ? 0在[?2005 , ? 2000 )上 也没有根,
共802个根.

方程、不等式与函数的综合

方程与不等式相结合;

函数与不等式相结合;
函数、方程、不等式与数列相结合; 不等式、函数与导数相结合;

f ( x) ? 0的根为x1 ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x)与x轴的交点之一为 ( x1 ,0). ? f ( x) ? 0的解集端点有 x1.

求证f ( x) ? g ( x)在x ? D上成立

解不等式

函数的最值

已知f ( x) ? g (c)在x ? D上 成立,求c的取值范围 .

已知f ( x) ? g (c)在c ? M上 成立,求x的取值范围 .

已知f ( x, c) ? g ( x, c)在x ? D上 成立,求c的取值范围 .

已知f ( x, c) ? g ( x, c)在c ? M上 成立,求x的取值范围 .

求证f ( x) ? g (c)在x ? D, c ? M上成立.

求函数的最值

解关于x的不等式 解关于c的不等式

求证f ( x, c) ? g ( x, c)在x ? D, c ? M上成立.

拆分变量

主元处理

例1 已知函数f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0),
1 f ( x) ? x的两个根为x1 , x2 , 满足0 ? x1 ? x2 ? , a

(1)当x ? (0, x1 )时,求证x ? f ( x) ? x1 ; x1 (2)设f ( x)的对称轴为 x ? x0 , 求证x0 ? . 2

拆分结论

? 求证f ( x) ? x在x ? (0, x1 )上成立; ? 求证f ( x)在(0, x1 )上的函数值 ? x1 ; x1 ? 设f ( x)的对称轴为 x ? x0 , 求证x0 ? . 2

b 1 b 1 b ?1 1 x0 ? ? ? ? (? ) ? ? (? ? ) 2a 2 a 2 a a 1 1 1 ? ? ( x1 ? x2 ? ) ? ? x1. 2 a 2

o x1

x2

o x1

x2

关于含参不等式的讨论
解关于x的不等式:ax ? 1; ( x ? 1)(x ? a) ? 0; loga x ? 1; 2 ? a.
x

使用“乘正保序,乘负反序”时, 正负不定引起讨论; ? 在数轴上标根取解集时, 根的大小不定引起讨论; ?利用函数的单调性时, 函数的增减性不定引起讨论; ? 借用方程的根表示不等式解集端点时, 根的表达式 的有无意义不定引起讨论。

关于数列问题

例1 等差数列{an}的前n项和的满足
(1)S8=S13,求Sn=0时的n. (2) a1>0, S13 S14<0, 求Sn取最大值时的n.

21

7

例2 根据数列的通项公式求数列中最

大的项号.

(1) an ? ?2n ? 9n ? 3;
2

9 n ( 2) a n ? n ( ) ; 10 n ? 9? (3) an ? . n ? 10?

例3 已知函数f(x)满足对任意的实数m,k都
有f(m+k)=f(m)+f(k)成立,f(1)=2,

求f(1)+f(2)+……+f(n).

例4 已知首项与公比都是正数a(a≠1)的等比数列

{an},bn=anlgan, 若数列{bn}的每一项都小于
它后面的项,求a的取值范围。
解 an=an, bn=anlgan= anlg an=n anlga

nanlga<(n+1) an+1lga,
当a>1时,n<(n+1)a, 当0

<a<1时,n>(n+1)a,

n a? , n ?1

∴a>1

n a? , ∴0<a<0.5 n ?1

例5

数列{x n } 由下列条件确定, 1 a x1 ? a ? 0, xn ?1 ? ( xn ? ) 2 xn ( 1 )求证:对n ? 2, 总有x n ? a ; (2)求证:对n ? 2, 总有x n ? xn ?1 ; (3)若数列 {x n }的极限存在,且大于零 , 求 lim xn .
n ??

(1)用平均值定理

1 a 1 xn ?1 ? ( xn ? ) ? ? 2 a 2 xn 2
(2)用比较法

xn ?1 x ?a ? ? 1; 2 xn 2 xn
2 n

(3)利用解方程的方法

1 a lim xn ?1 ? (lim xn ? ) n ?? 2 n ?? lim xn
n ??

1 a A ? ( A ? ), 2 A lim xn ? a .
n ??

例6 数列发生器 对任意函数f(x),x∈D, 可按图示构造一个数列

发生器,其工作原理如下:
① 输入数据x0∈D, 经数列发生器输出x1= f(x0), ② 若x1? D,则数列发生器结束工作; 将依此规律继续下去. 若x1∈D,则x1返回输入端,再输出x2= f(x1),

输入
f

输出 打印

X1∈D

No

Yes

结束

现定义. (1) 若 x0=

49 ,则由数列发生器产生数列{xn}, 65 请写出数列{xn}的所有项;

4x ? 2 f ( x) ? x ?1

(2) 若数列发生器产生一个无穷的常数列,试 输入初始值x0 的值;

(3)若输入x0时,产生的无穷数列{xn},满足
xn< xn+1对任意正整数n成立,求x0 的取值范围. 答案。

11 1 (1) , ,?1; ( 2) 1, 2; ( 3) (1,2) 19 5

函数与导数相结合
导数是研究函数的工具,在研究单 调性,极值和最值方面十分方便。

关注 y ? f ( x), y ? f ?( x) 两图象的关系

y ? f ?( x)
a c

b

y ? f ( x)

a

b

c

ln 3 ln 4 ln 5 例1 设 a ? , b? , c? , 则a,b,c 3 4 5
的大小关系为 _____________.

ln x 分析y ? 的单调性. x 1 ? ln x 由y? ? ? 0得: 0 ? x ? e, 2 x ln x 由y? ? 0得x ? e,即y ? 在(e,??)上递减, x
∵e<3<4<5,∴a>b>c

ln 2 ln 3 ln 5 例2 设 a ? , b? , c? , 则( C ) 2 3 5
(A) a<b<c, (B)c<b<a (C) c<a<b (D) b<a<c

ln x 分析y ? 的单调性. x ln x 由y? ? 0得x ? e, 即y ? 在(e,??)上递减, x
∵e<3<5,∴b>c; a 3 ln 2 ln 8 ? ? ? ? 1,? a ? b. b 2 ln 3 ln 9

ln 3 ln 4 ln 5 例2 设 a ? , b? , c? , 则a,b,c 3 4 5
的大小关系为 _____________.

ln x 分析y ? 的单调性. x 1 ? ln x 由y? ? ? 0得: 0 ? x ? e, 2 x ln x 由y? ? 0得x ? e,即y ? 在(e,??)上递减, x
∵e<3<4<5,∴a>b>c

例3 设f(x),g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0, 函数,当x<0时, g (?3) ? 0, 则不等式f(x)g(x)<0的解集为

(??,?3) ? (0,3). __________________.
设F(x)= f(x)g(x), 由已知 x ? 0时,F ?( x) ? 0,

-3

3

练习 设f(x),g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0, 函数,当x<0时, f (?3) ? 0, g (?3) ? 0 则
__________________.

f ( x) ? 0的解集为 g ( x)

-3

3

例4 已知二次函数f ( x)满

足:①在x=1时有极值;

②图像过(0.-3)点,且在该点处的切线与直线
2x+y=0平行。 (1)求 f ( x) 的解析式;
x (2)求函数 g ( x) ? f ( xe ), x ? ?0,1?的值域;

(3)若曲线

y ? f (e x ) 上任意两点的连线

1 的斜率恒大于 a ? ,求a的取值范围。 a

(1)设f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) ? f (0) ? ?3? c ? ?3 ? f ?( x) ? 2ax ? b ? 在x ? 1处有极值? f ?(1) ? 0即2a ? b ? 0 ? 在点(0,?3)处的切线平行于 2x ? y ? 0 ? f ?(0) ? ?2即b ? ?2故a ? 1 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3

(2)设u ? xe x则u? ? e x ? xe x ? e x ( x ? 1), ? 0 ? x ? 1时u? ? 0 ? u ( x)为?0, 1?上的增函数 ? 0 ? u ? e, ? f (u ) ? (u ? 1) ? 4,
2

? g ( x)的值域是 ? 4,e 2 ? 2e ? 3 .

?

?

(3)设h( x) ? f (e x ) ? (e x ) 2 ? 2e x ? 3 1 2 1 1 ? h?( x) ? 2e (e ? 2) ? 2(e ? ) ? ? ? 2 2 2 又 ? x ? ln 2时h?( x) ? 0, h( x)为减函数, x ? ln 2时h?( x) ? 0, h( x)为增函数,
x x x

1 ?曲线y ? f (e )上任意两点的连线的斜 率恒大于? 2 1 1 2a 2 ? a ? 2 解不等式? ? a ? 得 ? 0, 2 a a ?a ? 0
x

排列与概率,

如插空问题

可相邻插空,空越插越多,
不相邻插空,空越插越少; 插入的元素有区别时,要逐一插入, 插入的元素无区别时,要一把插入。

例1 某人射击,10发子弹中有4发击中目 标,问其中有3法连中的概率有多大?
用O表示没被击中,用X表示击中 我们分别用4个X去插O的空当 ,O O O O O O 得(7×8×9×10)÷24=210, 我们再用XXX和X去插O的空当,

得(7×6)=42.
所求概率为0.2 .

例2 某城市要在中心广场建一个扇形花圃 现在要栽种 4 种不同颜色的花,每一部分 栽一种,要求相邻部分不同色,有多少种
不同的种法?
6
2 5 1 3

4

5 1

6

2

3

4

6 2 5 1 4 3

1
2 3 4 5 6

先考虑在1区内栽种有4 种方法,再依 次考虑2、3、4、5、6 区的栽种方法。

画树图

当1区选中后,2区有三种选色方法。
? ? ?a ? c ? ?b ? ? ? ?c ? a ?a ? ? a ? ? ?b ? ? ? ?c ? ?c ? ? ? ? ? ? ?a ? c b? ? ? ? ?a ? ?a ?b ?c ? ? ? ? ? ?c ? ? ?c ? a ? ? ? ? ?a ? c ? ?b ?c ? a ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ? ? ?b ?c ?b ?a ? ? ?a ? ? ? ? ? ? ?b ? a ? ?c ? ? ? ? ?a ? b c? ? ? ?b ? a ? ?a ? a ? ? ? ? ? ?c ? ?b ? ? ?b ? ? ? ? ?a ? b ? ?b ?c ? a ? ? ?

? ? ?b ? c ? ?a ? ? ? ?c ? b ?b ? ? b ? ? ?a ? ? ? ?c ? ?c ? ? ? ? ? ? ?b ? c a? ? ? ?b ? c ? ? a ?c ? b ? ? ? ? ?c ? ? ?b ? ? ?a ? ? ?b ? ?c ? ? ?c ? b

? ? ?

4×30=120

例 3(2006年江苏卷)下图中有一个信号源和 五个接收器。接收器与信号源在同一个串联 线路中时,就能接收到信号,否则就不能接 收到信号。若将图中左端的六个接线点随机 地平均分成三组,将右端的六个接线点也随 机地平均分成三组,再把所有六组中每组的 两个接线点用导线连接,则这五个接收器能 同时接收到信号的概率是__________.

0 1 2 3 4 5

01 11 21 31 41

51

0-1-11 -41-4 -2-21 -31-3 -5-51 -01

发生 全体

5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

C C C C C C ? 3! 3!

2 6

2 4

2 2

2 6

2 4

2 2

例4

盒子内有7个红球3个白球,一次 抽取一个球,分别计算下列概率。

(1)有放回的抽取,第二次抽到的是红球; (2)无放回的抽取,第二次抽到的是红球; (3)有放回的抽取,抽两次都是红球; (4)无放回的抽取,抽两次都是红球; (5)无放回的抽取,在第一次是红球时, 求第二次是红球的概率。

例5 某人射击命中率为p,依条件分别写

出X的分布列
(1) 射击10次击中X发; (2) 射击时第X发首次击中; (3)射击时击中则停,共10发子弹,第X 次射击后停止。

概率与统计

例1一个小球从M处投入,通过管道自 上而下落A或B或C。已知小球从每个 叉口落入左右两个管道的可能性是相等 的.某商家按上述投球方式进行促销活 动,若投入的小球落到A,B,C,则 分别设为l,2,3等奖. 求分别获得1,2,3等 奖的概率

3 16

3 8

7 16

例2(09浙江14)
某个容量为 100 的样本 的频率 分布直方图如 下, 则在区间 [4,5) 上的 数 为 据 的 频 . 数 . .

【命题意图】此题考查 了频率分布直方图,通过设问既考查了读图能力,也考查了 运用图表解决实际问题的水平和能力

例6 3天津18)
为了了解某工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从 A, B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18 ,27, 18 个工厂 (Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数; (Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比, 用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 【命题立意】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所包含 的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识 解决简单的实际问题的能力.

【解析】 (1)工厂总数为 18+27+18=63,

7 1 ? , 样本容量与总体中的个体数比为 63 9
所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.

(2)设 A1 , A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂, B1 , B2 , B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂, C1 , C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个 工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能

结果有:6+5+4+3+2+1=21 或者 种,随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的 C72 ? 21 (理科) 结果有 ( A1 , A2 ) , ( A1 , B2 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B3 ) ( A1 , C2 ) ( A1 , C1 ) ,同理

11 A2 还能组合 5 种,一共有 11 种.所以所求的概率为 21

例4(09辽宁19) 某人向一目射击4次,每 次击中目标的概率为 1 . 该目标分为3个不 3 同的部分,第一、二、三部分面积之比为1: 3:6.击中目标时,击中任何一部分的概率与 其面积成正比. (Ⅰ)设X表示目标被击中的次数,求X的分 布列; (Ⅱ)若目标被击中2次,A表示事件“第一 部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”, 求P(A)

设Ai表示事件“第一次击中目标时, 击中第i部分”,i=1,2. Bi表示事件“第二次击中目标时,击中 第i部分”,i=1,2.

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P (A1 B1) ? P( A2 B2 )
P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P (A1 )P(B1 ) ? P( A2 )P(B2 )

0.1? 0.9 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1? 0.1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.28

向量部分
向量作为一项工具将广泛应用于高 中各个学科当中.特别是与解析几何、 函数、立体几何的有机结合将成为一种 趋势,向量将不再停留在问题的表述语 言水平上,其综合性程度将会逐渐增强. 向量和平面几何结合的选择填空题将是 高考命题的一个亮点.

向量自身综合
向量的概念与向量的运算的综合, 向量的代数意义与几何意义的综合。

向量与相关知识的综合

向量问题与平面几何问题综合;
向量问题与解析几何问题的结合; 向量问题与立体几何问题综合; 向量问题与物理问题的结合.

线段的定比分点 AP ? ? P B , 1 线段的中点 OC ? (OA ? OB ) , 2 共线条件AP // P B 或AP ? ? P B ; 垂直条件AP ? P B ? 0.
B

| OA ? OB |?| OA ? OB |, ?AOB ?

?
2

.
A o

三角形的心

(1)已知?ABC中, | OA |?| OB |?| OC | , 则O为三角形的___心;

(2)已知?ABC中, OA ? OB ? OC ? 0, 则O为三角形的___心;

(3)已知?ABC中, OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则O为三角形的___心;

(4)已知?ABC中, O为外心,H为垂心 OH ? m(OA ? OB ? OC), 则m ? _____;

(5) O是坐标平面的一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P满足

OP ? OA ? ? (

AB

| AB | | AC |

?

AC

), ? ? ?0,?? ?,
]

则P的轨迹一定通过三角形的[

(A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心

? OP ? OA ? ? ( ? OP ? OA ? ? ( ? AP ? ? ( AB

AB AB

| AB | | AC | | AB | | AC | ? AC ? AC

?

AC

), ? ? ?0,???, ), ? ? ?0,???,

| AB | | AC |

), ? ? ?0,???,

AP ? ? (
C

AB

| AB | | AC |

?

AC

), ? ? ?0,?? ?,
单位向量 向量加法

P
B A

平行四边形
菱形对角线 平分对角

通过内



解析几何的复习

直线与圆部分常考:定比分点,倾角与 斜率,切线与导数,平行与垂直,距离与夹 角,线性规划。对称问题,直线与圆的位置 关系。 圆锥曲线部分常考:圆锥曲线的定义与 性质,求曲线方程和轨迹,直线与圆锥曲线 综合,研究曲线方程中的参数的取值范围。

? 综合性强:向量与解析几何的综合, 代数、几何、三角等的综合。 ? 数学思想与方法集中:方程的思想, 运动变化的思想,数形结合的思想, 转化的思想,坐标法,参数法等。

深化数学概念
如:对椭圆上的点的认识:
?椭圆上的点满足椭圆的第一定义; ?椭圆上的点满足椭圆的普通方程; ?椭圆上的点满足椭圆的参数方程。

x2 y2 例如:在椭圆 ? ? 1上求一点P, 25 9 使 | PF1 | ? | PF2 |? 16.

x2 y2 再如:在椭圆 ? ? 1的AB弧上求一点P 25 16 使四边形OAPB面积最大。
B

P

O

A

另如 , 对角平分线的认识 等量关系:等、倍、分; 轨迹条件:到角两边距离相等的点的轨迹; 对称性质:角平分线是角两边的对称轴; 比例关系:三角形内角平分线分对边的比 等于两邻边之比。

四个例子
(1)

求两直线交角 平分线的方程

A

B

D

C

已知AB ? a , | AB |? 1, Ac ? b, | AC |? 2, AD平分?BAC交BC于D. 求AD.

(3) M y=kx

求OM斜率 的解析式

O
N(2,0)

(4) A

求BC边所在 直线的方程。

B
C

剖析典型问题
求曲线方程问题 代入法; 待定系数法; 轨迹法。

例1 一个标准位置的椭圆经 过(- 2, - 2 6)和 5 3 (5, ),求其方程。 2

x y ? ?1 100 25

2

2

例2 一个标准位置的椭圆与 直线x ? y - 1 ? 0 交于A、B, | AB |? 2 2 , AB中点C与原点连线 2 斜率为 ,求其方程。 2

解1

设ax2 ? by2 ? 1 2b ? x1 ? x2 ? ? ?y ? 1? x ? a?b ?? ? 2 2 ?ax ? by ? 1 ? x x ? b ? 1 1 2 ? ?? a?b ?

1 2 a ? ,b ? . 3 3

解2

A C B

先求C点,再求A、B,最 后待定系数法求方程。

C(2 ? 2,?1 ? 2 )

轨迹问题
直接法(直接用定义、直译轨迹条件) 间接法(通过参数找关系)

例3 两个同 心圆,求以

大圆的切线
为准线且经 过A,B的抛 物线的焦点 的轨迹 A O

F B

例4

x y x2 y2 已知椭圆 ? ? 1和直线l: ? ? 1 ,P在直 24 16 12 8

线l上,射线OP交椭圆于R, 点Q在射线OP上,且
满足|OP||OQ|=|OR|2,求Q点的轨迹方程。
y R Q P x

O

? y ? kx 24 24k ? ? P( , ), x y ? 方案1 2 ? 3k 2 ? 3k ? ?1 ? ?12 8 48 ? 2 y ? kx x ? ? R 2 ? ? 2 ? 2 ? 3 k ?? ?x y2 2 48 k ? ? 1 2 ? ?y ? ? 24 16 R ? 2 ? 3k 2 ?

y R Q

P x

O

再利用|OP||OQ|=|OR|2和y=kx即可。

方案2 设 Q(x,y),P(m,n)R(a,b), 依题意有

n ?m ?1 2 ? 8 ? 1 ? 2 2 a b ? ? ? 1 消去m,n,a,b

即可 ? ? 24 16 ?n b y ? ? ? a x ?m 2 ? a ? mx ?

方案3 利用Q, R, P坐标之间的等比关系。

设 Q(x,y), 则 R(xt,yt), P(xt2,yt2),

? ( xt ) 2 ( yt ) 2 ? ?1 ? ? 24 16 ? 2 2 ? xt ? yt ? 1 ? ? 12 8 两式相除,消去t2 即可。

直线与圆锥曲线的综合
交点个数与位置关系;

弦长与弦中点、弦分点问题;
弦所在直线的斜率问题, 与圆锥曲线有多边形问题

例5 探究过一点作与双曲线只有一个公共 点的直线的条数。
D A C B

O

例6 已知l1、l2是经过点 P(? 2 ,0)的两条互相垂
直的直线,并且l1、l2与双曲线y2-x2=1 各有 两个公共点,求l1的斜率k1的取值范围。

? ? y ? k(x ? 2) , ? 2 2 ? y ? x ?1 ? 1 2 2 ? ? ? ? ? ?k ? , k ? 1. 3

1 ? ? y ? ? (x ? 2) k ? ? y2 ? x2 ? 1 ?
1 1 1 ? , 2 ? 1. 2 k 3 k

如何解决弦分点问题
A

p

AP ? ? PB, x ? x1 ? ? ( x2 ? x) y ? y1 ? ? ( y2 ? y )

B

? y1 ? ?y2 y1 ??? , y2

y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 ? ?

关于参数的取值范围问题
如:求m的取值范围。 (1)直接找到f(m)>0, 求解即可; (2)找f(m,n)=0和n的范围, 用n的范围 反限制m; (3)找f(m,n)=0和g(m,n)>0, 从等式中

解出n ,再代入不等式中即可。

例1:抛物线C: y2=4x, F是C的焦点,过F的直线L
与C交于A, B两点, FB ? ? AF, ? ?[4,9], 求直线L的纵截距的取值范围。

解1 FB ? ? AF ?

( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ) ? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) ? y ? ? (? y ) ? x2 ? ? 1 ? 2 ?? ? 2 ? y2 ? ? ? ? y1 ? 4 x1 ? y2 ? 4x 2 ? 2

y ? 0 x ?1 ? , 直线L的方程 ? ? ? ? 1
直线L的纵截距 由于

?2 ? , ? ?1 3 2 ? 4 ? ? [4,9],? ? ? , 4 ? ?1 3

4 ?2 ? 3 ? ? ?? . 3 ? ?1 4

解2

FB ? ? AF ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ) x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) y2 ? ? (? y1 )

? y2 ? 4x 2 ? by ? 4y ? 4b ? 0 ? ? y ? ? bx ? b A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 4 y1 ? y 2 ? ? , y1 y 2 ? ?4 b 2 y 2 ? ??y1 解得 b ?
……………………

4? 2 (1 ? ? )

例2 梯形ABCD中 | AB |? 2 | CD |, AE ? ? EC , 2 3 双曲线经过C , D, E , 且以A, B为焦点,当 ? ? ? 3 4 时,求e的取值范围。
C

D E

A

B

c 设A(?c,0), C ( , h), E ( x0 , y0 ), 2 c ?c? ? ?h 2 则x0 ? , y0 ? ; 1? ? 1? ? x2 y 2 由C, E在 2 ? 2 ? 1, a b

h ? 2 ?1 b ? ? 2 2 h2 ? 2 ( ) ? 2( ) ?1 ? ?1 b ? ?1 3 ? ? ? 1? 2 e ?2 ?? 7 ? e ? 10.

? e2 ? ?4 ? 2 ?e ? ?4

2

立体几何问题
考察的重点及难点稳定; 试题的题型、题量、难度基本稳定。

平行与垂直,夹角与距离,面积与体积。

平行关系的转化

? ? ? ?

同级之间的转化(平行传递); 低

级向高级的转化(平行判定); 高级向低级的转化(平行性质); 垂直向平行的转化(外部联系)。

用向量描述平行关系

直线l的方向向量为 a,平面的法向量为 n l1 // l 2 ? a1 // a 2 ? a1 ? ? a 2; l // M ? a ? n ? 0; M1 // M 2 ? n1 // n 2 .

垂直关系的转化 ? ? ? ? 线线垂直→线面垂直→面面垂直; 线线垂直←线面垂直←面面垂直; 平行加垂直→ 垂直; 三垂线定理.

用向量描述垂直关系

直线l的方向向量为 a,平面的法向量为 n l1 ? l 2 ? a1 ? a 2 ? 0; l ? M ? a // n; M1 ? M 2 ? n1 ? n 2 ? 0.

空间几何体中抓好

棱柱中的平行关系,直棱柱中的平行与垂直; 长方体的体对角线;
正棱锥中的基本关系,棱锥中的比例问题; 球体中的计算问题. 请关注轨迹问题与立体几何结合。

P 例1 PA ⊥ AB F PA ⊥ AC BC ⊥ AB E A B C AE ⊥ PB

AF ⊥ PC

例2正方体ABCD - A1 B1C1D1中,M是AD的中点, D1 N 1 N在BD1上, ? , MC与BD交于P. NB 2 (1)求证NP ? 平面ABCD; (2)求平面PNC与平面CC1D1D所成的角 .
D1 C1

D
A1 N B1

C

M
D C M A P B

P

A

B

例3 直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB是 直角 ,AA1=2,D,E分别为所在线段 的中点, E在平面ABD上的射影是三角 形ABD的重心G. C
1

(1)求A1B与平面ABD 的夹角; (2) 求 A1到平面AED 的距离。

A1 B1

D

E G A

C

B

C1

提示与分析
A1 1 1 (1) EF ? AA1 ? 1, FG ? FD, 2 3 1 EF 2 ? FG ? FD ? FD2 , FD ? 3 , 3 6 ED ? 2 , EG ? , AB ? 2 FC ? 2 2 , 3 A 2 EB ? 3 , sin ? ? . 3 B1

D

E G

C

F

B

(2)利用体积,反求高,

VA1 ? AED

2 6 ? VD ? AA1E , h ? . 3

求点到平面的距离

直 接 求

转 化 求

体 积 求

向 量 求

例 正四棱锥的相邻两侧面所成角的范围( )

2? ? 2? ? ( A)( 0, ) ( B )( , ? ) (C )( , ) ( D )( , ? ) 2 3 2 3 2

?

答案 D

图形中的一些基本常识


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