haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 高等教育 > 理学理学

同济大学线性代数第五版课后习题答案

发布时间:2014-07-11 13:46:06  

第一章 行列式

1? 利用对角线法则计算下列三阶行列式?

201 (1)1?4?? ?183

201 解 1?4? ?183

?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4?

abc (2)bca? cab

abc 解 bca cab

?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc ?3abc?a3?b3?c3?

111 (3)abc? a2b2c2

111 解 abc a2b2c2

?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2

?(a?b)(b?c)(c?a)?

xyx?y (4)yx?yx?

x?yxy

xyx?y 解 yx?yx

x?yxy

?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3

?3xy(x?y)?y3?3x2 y?x3?y3?x3

??2(x3?y3)?

2? 按自然数从小到大为标准次序? 求下列各排列的逆序数?

(1)1 2 3 4?

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2?

解 逆序数为4? 41? 43? 42? 32?

(3)3 4 2 1?

解 逆序数为5? 3 2? 3 1? 4 2? 4 1, 2 1?

(4)2 4 1 3?

解 逆序数为3? 2 1? 4 1? 4 3?

(5)1 3 ? ? ? (2n?1) 2 4 ? ? ? (2n)?

n(n?1) 解 逆序数为? 2

3 2 (1个)

5 2? 5 4(2个)

7 2? 7 4? 7 6(3个)

? ? ? ? ? ?

(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个)

(6)1 3 ? ? ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? ? ? 2?

解 逆序数为n(n?1) ?

3 2(1个)

5 2? 5 4 (2个)

? ? ? ? ? ?

(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个) 4 2(1个)

6 2? 6 4(2个)

? ? ? ? ? ?

(2n)2? (2n)4? (2n)6? ? ? ?? (2n)(2n?2) (n?1个)

3? 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项?

解 含因子a11a23的项的一般形式为

(?1)ta11a23a3ra4s?

其中rs是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a11a23的项分别是

(?1)ta11a23a32a44?(?1)1a11a23a32a44??a11a23a32a44? (?1)ta11a23a34a42?(?1)2a11a23a34a42?a11a23a34a42? 4? 计算下列各行列式?

41 (1)012512021

12542? 072024c2?c342??????1041 解 ?123202?104?1?102?122?(?1)4?3 ?140117c4?7c300103?14 ?4?110c2?c39910

123?142??????c00?2?0?

1?2c31714

2

(2)31?1141

522

031

62?

2

240 解 31?1211?c?4???c3?223?11402r4?r22521

06221522

0360?????3?14

22212

132

40

?r?4???r12?31?1142

022

030?0?

00

(3)?bdabacae

bf?cfcd?deef? 解 ?bdab

bf?ac

cfcdae

?deef?adf?bb

b?c

cce

?ee

??1111

1?11?1?4abcdef?

a1 (4)?001b?1001c?100? 1d

a1 解 ?001b?1001c?10r1?ar201?ab0??????1b10?1d00a1c?100 1d

?aba0c3?dc2?abaad ?(?1)(?1)2?1?1c1??????1c1?cd 0?1d0?10

5? 证明: abad?abcd?ab?cd?ad?1? ?(?1)(?1)3?2??11?cd

a2abb2

(1)2aa?b2b?(a?b)3; 111

证明

a2abb2c2?c1a2ab?a2b2?a2 2aa?b2b?????2ab?a2b?2a 00111c3?c11

222ab?ab?aab?a?(a?b)3 ? ?(b?a)(b?a)1 ?(?1)2b?a2b?2a3?1

ax?byay?bzaz?bxxyz (2)ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzx; az?bxax?byay?bzzxy 证明

ax?byay?bzaz?bx ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bz

xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by zax?byyxyay?bz

xyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyz

xyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxy

xyz ?(a3?b3)yzx?

zxy

a2

2b (3)2c

d2

证明 (a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0; (c?3)2(d?3)2

a2

2b 2c

d2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?c? c?c? c?c得) (c?3)2433221(d?3)2

a2

2b ?c2

d22a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?32a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?54332

2d?5

a2

2b ?c2

d2

1a (4)a2

a41bb2b42a?12b?12c?12d?11cc2c41d d2d4222222?0? 22

?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d);

证明

1a a2

a41bb2b41cc2c41d d2d4

1110b?ac?ad?a ?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)

0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)

111cd ?(b?a)(c?a)(d?a)b 222(b?a)c(c?a)d(d?a)

11c?bd?b ?(b?a)(c?a)(d?a)0 0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)

1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(c?1b?a)d(d?b?a)

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)?

x0 (5) ? ?0an?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ??xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? x?1a2x?a1

证明 用数学归纳法证明?

x?1?x2?ax?a? 命题成立? 当n?2时? D2?a122x?a1

假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有

?1

Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 10?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 ? ? ? x00 ? ? ? ?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? 因此? 对于n阶行列式命题成立?

6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得

an1? ? ?anna1n? ? ?annann? ? ?a1n D1?? ? ?? ? ?? ? ?? D2?? ? ?? ? ?? ? ? ? D3?? ? ?? ? ?? ? ?? a11? ? ?a1na11? ? ?an1an1? ? ?a11证明D1?D2?(?1)n(n?1)

2D? D3?D ?

证明 因为D?det(aij)? 所以

a11an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2n

a11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?

a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3n

n(n?1)

2 ?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1)

同理可证

D2?(?1) D3?(?1) n(n?1)112D? a? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2D? a1n? ? ?annn(n?1)2n(n?1)2D2?(?1)(?1)n(n?1)

2D?(?1)n(n?1)D?D?

7? 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)?

(1)Dn?

都是0?

解 a1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素

a0

Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?00

00a? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0000? ? ?a100(按第n行展开) ? ? ?0a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)0an?1 ?(?1)0 ? ?0000? ? ?0

a

n?1n?(?1)?(?1) ? ? ?a(n?2)(n?2)?an?an?an?2?an?2(a2?1)?

x

(2)Dn? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x

? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得 xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00

再将各列都加到第一列上? 得

x?(n?1)aaa0x?a0 Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0n?1? ? ?0?[x?(n?1)a](x?a)? ? ? ?? ? ?0x?aan(a?1)n

an?1(a?1)n?1

(3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?1

11? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1; ? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1

解 根据第6题结果? 有

11a?1n(n?1)a Dn?1?(?1) ? ? ? ? ? ?an?1(a?1)n?1

an(a?1)n? ? ?1? ? ?a?n? ? ? ? ? ? n?1? ? ?(a?n)? ? ?(a?n)n

此行列式为范德蒙德行列式?

Dn?1?(?1) ?(?1) ?(?1) ?

an? ? ?

?? ? n(n?1)n?1?i?j?1n(n?1)2?[(a?i?1)?(a?j?1)] n?1?i?j?1n(n?1)2?[?(i?j)] n?(n?1)?? ? ??12?(?1)?n?1?i?j?1?(i?j) n?1?i?j?1?(i?j)? ?? ? ? ? ?bn (4)D2n?cna1b1c1d1; dn

bn 解 an? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? D2n?cna1b1c1d1(按第1行展开) dnan?1

?an? ? ??? ? a1b1c1d1

??? ? ? ? ?bn?10 cn?10dn?100dn

0an?1? ? ?

? ? ? ?(?1)2n?1bn

cn?1

cna1b1c1d1? ? ?? ? ?bn?1? dn?10

再按最后一行展开得递推公式 D2n?andnD2n?2?bncnD2n?2? 即D2n?(andn?bncn)D2n?2? 于是 D2n??(aidi?bici)D2?

i?2n

而 D2?a1b1?a1d1?b1c1? c1d1

n

i?1所以 D2n??(aidi?bici)?

(5) D?det(aij)? 其中aij?|i?j|;

解 aij?|i?j|?

01

Dn?det(aij)?23? ? ?n?1

?1r1?r2?11 ???????1r2?r3? ? ? ? ? ? n?1123012101210? ? ?? ? ?? ? ?n?2n?3n?411? ? ?11? ? ??11? ? ??1?1? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?n?3n?4? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?111 1? ? ?0n?1n?2n?3 n?4? ? ?01?1?1?1? ? ?n?2

?1c2?c1?1

1 ???????1c3?c1? ? ?

? ? ? n?1000?200?2?20?2?2?2? ? ?? ? ?? ? ?2n?32n?42n?5? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000 0? ? ?n? ?(?1)n?1(n?1)2n?2?

?a11

(6)Dn?11?a2

? ? ?? ? ?11 解

?a11

Dn?11?a2

? ? ?? ? ?11

? ? ?1

? ? ?1, 其中aa ? ? ? a?0?

12n

? ? ?? ? ?? ? ?1?an

? ? ?1? ? ?1 ? ? ?? ? ?? ? ?1?an

a1

c1?c2?a2

?????0

c2?c3? ? ?

0 ? ? ?

00a2?a3? ? ?0000a3? ? ?00? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ??an?1? ? ?0

010101 ? ? ?? ? ?an?11?an1?an

1?1

?a1a2? ? ?an0

? ? ?0001?1? ? ?00001? ? ?00? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ??10

0a1?1

?1

0a2

?1

0a3

? ? ?? ? ?

?1

1an?1

?1

?11?an

100

?a1a2? ? ?an ? ?

0010? ? ?0001? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?0000? ? ?1

a1?1?1a2?1a3? ? ??1an?1

ni?1

000? ? ?001??ai?1

?(a1a2?an)(1??1)?

i?1ai

8? 用克莱姆法则解下列方程组? ?x1?x2?x3?x4?5?x?2x2?x3?4x4??2

(1)?1?

2x1?3x2?x3?5x4??2?3x?x?2x?11x?0?1234

n

解 因为 1

D?12

3

12?31

1?1?12

1

4??142? ?511

52 D1???20 D3?2

3所以 x1?

12?311?1?1214??142? D?2?52

1135

?2?201?1?121

4??284? ?511

12?315?2?20114??426? D?1

42?5

1131

2?311?1?125

?2?142? ?20

DDDD?1? x2??2? x3??3? x4???1?

DDDD

?1?5x1?6x2?0??x1?5x2?6x3 (2)?x2?5x3?6x4?0? x3?5x4?6x5?0??x4?5x5?1?

解 因为

51 D?000651000651000651000?665? 65

0 D1?0051 D3?00065100651000651010001006510065105010?1507? D2?0605005010?703? D4?06050100016510006510065100065110001000??1145? 65000??395? 655 D5?000651000651000651100?212? 01

所以

x1?1507? x2??1145? x3?703? x4??395? x4?212? 665665665665665

???x1?x2?x3?0 9? 问?? ?取何值时? 齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非??x1?2?x2?x3?0

零解?

解 系数行列式为

?1 D?1??????? 12? 令D?0? 得

??0或??1?

于是? 当??0或??1时该齐次线性方程组有非零解?

??(1??)x1?2x2?4x3?0 10? 问?取何值时? 齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0??x1?x2?(1??)x3?0

有非零解?

解 系数行列式为

???24???3??4 D?23??1?21??1 111??101??

?(1??)3?(??3)?4(1??)?2(1??)(?3??)

?(1??)3?2(1??)2???3?

令D?0? 得

??0? ??2或??3?

于是? 当??0? ??2或??3时? 该齐次线性方程组有非零解?

第二章 矩阵及其运算

1? 已知线性变换?

??x1?2y1?2y2?y3?x2?3y1?y2?5y3? ??x3?3y1?2y2?3y3

求从变量x1? x2? x3到变量y1? y2? y3的线性变换? 解 由已知?

?x1??221??y1? ?x2???315??y2?? ?x??323??y???2??3??

?y1??221??x1???7?49??y1?故 ?y2???315??x2???63?7??y2?? ?y??323??x??32?4?????3????y3??2???1

??y1??7x1?4x2?9x3 ?y2?6x1?3x2?7x3? ??y3?3x1?2x2?4x3 2? 已知两个线性变换

??x1?2y1?y3 ?x2??2y1?3y2?2y3? ??x3?4y1?y2?5y3 解 由已知 ??y1??3z1?z2?y2?2z1?z3? ??y3??z2?3z3求从z1? z2? z3到x1? x2? x3的线性变换?

?x1??201??y1??201???31 ?x2????232??y2????232??20?x??415??y??415??0?1??2?????3??

??613??z1? ??12?49??z2?? ??10?116??z????3?0??z1?1??z2? ??3???z3?

??x1??6z1?z2?3z3所以有?x2?12z1?4z2?9z3? ??x3??10z1?z2?16z3

?111??123? 3? 设A??11?1?? B???1?24?? 求3AB?2A及ATB? ?1?11??051?????

?111??123??111? 解 3AB?2A?3?11?1???1?24??2?11?1? ?1?11??051??1?11???????

?058??111???21322? ?3?0?56??2?11?1????2?1720?? ?290??1?11??429?2????????111??123??058? ATB??11?1???1?24???0?56?? ?1?11??051??290???????

4? 计算下列乘积?

?431??7? (1)?1?23??2?? ?570??1?????

?431??7??4?7?3?2?1?1??35? 解 ?1?23??2???1?7?(?2)?2?3?1???6?? ?570??1??5?7?7?2?0?1??49?????????

?3? (2)(123)?2?? ?1???

?3? 解 (123)?2??(1?3?2?2?3?1)?(10)? ?1???

?2? (3)?1?(?12)? ?3???

?2?(?1)2?2???2?2? 解 ?1?(?12)??1?(?1)1?2????1?3??3?(?1)3?2???3?????

?1?02140?? (4)???11?134????43?1?301?2? ? 1?

?2??4?2?? 6??

?1?02140?? 解 ???11?134????43?1?301?2??6?78?? ?1???20?5?6????2?

?a11a12a13??x1? (5)(x1x2x3)?a12a22a23??x2?? ????aaa?132333??x3?

?a11a12a13??x1? (x1x2x3)?a12a22a23??x2? ????aaa?132333??x3?

?x1? ?(a11x1?a12x2?a13x3 a12x1?a22x2?a23x3 a13x1?a23x2?a33x3)?x2? ?x??3?

22 ?a11x12?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3?

1 5? 设A???1?2?? B??10?? 问? ?12?3????

(1)AB?BA吗?

解 AB?BA?

3 因为AB???4?4?? BA??12?? 所以AB?BA? ?38?6????

(2)(A?B)2?A2?2AB?B2吗? 解 (A?B)2?A2?2AB?B2?

2 因为A?B???2?2?? 5??

2 (A?B)2???2?2??2?25???2???814?? ?1429?5????

38??68???10???1016?? 但 A2?2AB?B2???411???812??34??1527?????????

所以(A?B)2?A2?2AB?B2?

(3)(A?B)(A?B)?A2?B2吗? 解 (A?B)(A?B)?A2?B2?

2 因为A?B???2?2?? A?B??0?05???

2??0?05???2?? 1??6?? 9??2 (A?B)(A?B)???2?2???0?01???

38???10???2而 A2?B2???411??34??1?????

故(A?B)(A?B)?A2?B2? 8?? 7??

6? 举反列说明下列命题是错误的?

(1)若A2?0? 则A?0?

0 解 取A???0?1?? 则A2?0? 但A?0? 0??

(2)若A2?A? 则A?0或A?E?

1 解 取A???0?

解 取 1?? 则A2?A? 但A?0且A?E? 0?? (3)若AX?AY? 且A?0? 则X?Y ?

1 A???0?0?? X??11?? Y??1??11??00?????1?? 1??

则AX?AY? 且A?0? 但X?Y ?

10?? 求A2? A3? ? ? ?? Ak? 7? 设A????1???

10?10???10?? 解 A2????1????1??2?1???????

10?10???10?? A3?A2A???2?1????1??3?1???????

? ? ? ? ? ??

1 Ak???k??0?? 1??

??10? 8? 设A??0?1?? 求Ak ? ?00????

解 首先观察

??10???10???22?1? A2??0?1??0?1???0?22??? ?00???00???00?2???????

??33?23?? A3?A2?A??0?33?2?? ?00?3???

??44?36?2? A4?A3?A??0?44?3?? ?00?4???

??55?410?3? A5?A4?A??0?55?4?? ?00?5???

? ? ? ? ? ??

??kk?k?1k(k?1)?k?2?2k A??0?kk?k?1?00?k???? ? ??

用数学归纳法证明? 当k?2时? 显然成立?

假设k时成立,则k?1时,

??kk?k?1k(k?1)?k?2?????10?2 Ak?1?Ak?A??0?kk?k?1??0?1? ?00??00???k??????

??k?1(k?1)?k?1(k?1)k?k?1???2?k?1(k?1)?k?1?? ??0??k?100?????由数学归纳法原理知?

??kk?k?1k(k?1)?k?2???2k?k?1?? Ak??0?k?00??k????

9? 设A? B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵?

证明 因为AT?A? 所以

(BTAB)T?BT(BTA)T?BTATB?BTAB?

从而BTAB是对称矩阵?

10? 设A? B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB?BA?

证明 充分性? 因为AT?A? BT?B? 且AB?BA? 所以 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB?

即AB是对称矩阵?

必要性? 因为AT?A? BT?B? 且(AB)T?AB? 所以

AB?(AB)T?BTAT?BA?

11? 求下列矩阵的逆矩阵?

1 (1)??2?2?? 5??

12?? |A|?1? 故A?1存在? 因为 解 A???25???

A11A21??5?2? A*???AA????21?? ??1222??

5?2? 故 A?1?1A*????21??|A|??

cos??sin?? (2)??sin?cos?????

co?s?si?n?? |A|?1?0? 故A?1存在? 因为 解 A???si?s??nco??

A11A21??cos?sin?? A*???AA????sin?cos??? ??1222??

cos?sin??? 所以 A?1?1A*????sin?cos??|A|??

?12?1? (3)?34?2?? ?5?41???

?12?1? 解 A??34?2?? |A|?2?0? 故A?1存在? 因为 ?5?41????A11A21A31???420? A*??A12A22A32????136?1?? ????3214?2?AAA??132333??

??210??13?11?1所以 A?A*???3??? 22?|A|??167?1??

?a1a?0??2 (4)??(a1a2? ? ?an ?0) ?

???0an??

?a1?0?a?2 解 A???? 由对角矩阵的性质知 ??0?a?n??1??a1?0?1a??12?? A????1?0????a?n?

12? 解下列矩阵方程?

2 (1)??1?5?X??4?6?? ?21?3????

5??4?6??3?5??4?6??2?23?? ??????12 解 X????13??21????12????2

(2)X??21?1?1?

?210???13?1?11??

??432????

?1

解 X???1?13??

?432???2

?211?01??

?1?11??

?1?1?13??10

3??432?????23?12??

??330??

????221?

???

??8

35?2

3??

(3)???1142?01???31?

???X??2

??1????0?1???

?1

解 X???14?1

??12????30?11???20

??????11???

?1?2?4?31??10?12??11?????0?1????12??

?1??660???102?12?3???1?????11?

?1??

?40??

(4)??010??100??

?100?X?001???12?04?31???001????010??

???1?20??1????08??

?010??1?43??100? 解 X??100??20?1??001? ?001??1?20??010???????

?010??1?43??100??2?10??1?1 ???100??20?1??001???

?001????1?20?1

???010????1

13? 利用逆矩阵解下列线性方程组?

x?2x

(1)??12?3x3?1

?2x1?2x2?5x3?2?

??3x1?5x2?x3?3

解 方程组可表示为

??1

?223??x1??1?

?3255??

1???x2???2??

?x???3?

3??

故 ??x?1

1??123??1??1

?x???225?

???2???0?

2??

x??

3??351???3????0??

从而有 ??x1?1

?x2?0?

??x3?0

(2)??x1?x

?x2?x3?2

?2x12?3x

x3?1?

??3x1?2x2?53?0

解 方程组可表示为

??1?1?1??x1?

?2?1?3??x?2?

2???

?32?5???1??

?x??

3??0??30??4?2?? ?

?x1??1?1?1??2??5?故 ?x2???2?1?3??1???0?? ?x??32?5??0??3???????3???1

x?5??1故有 ?x2?0?

??x3?3

14? 设Ak?O (k为正整数)? 证明(E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 证明 因为Ak?O ? 所以E?Ak?E? 又因为

E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?

所以 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E?

由定理2推论知(E?A)可逆? 且

(E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1?

证明 一方面? 有E?(E?A)?1(E?A)?

另一方面? 由Ak?O? 有

E?(E?A)?(A?A2)?A2?? ? ??Ak?1?(Ak?1?Ak)

?(E?A?A2?? ? ??A k?1)(E?A)?

故 (E?A)?1(E?A)?(E?A?A2?? ? ??Ak?1)(E?A)?

两端同时右乘(E?A)?1? 就有

(E?A)?1(E?A)?E?A?A2?? ? ??Ak?1?

15? 设方阵A满足A2?A?2E?O? 证明A及A?2E都可逆? 并求A?1及(A?2E)?1?

证明 由A2?A?2E?O得

A2?A?2E? 即A(A?E)?2E?

或 A?1(A?E)?E? 2

由定理2推论知A可逆? 且A?1?1(A?E)? 2

由A2?A?2E?O得

A2?A?6E??4E? 即(A?2E)(A?3E)??4E?

或 (A?2E)?1(3E?A)?E 4

由定理2推论知(A?2E)可逆? 且(A?2E)?1?1(3E?A)? 4

证明 由A2?A?2E?O得A2?A?2E? 两端同时取行列式得 |A2?A|?2?

即 |A||A?E|?2?

故 |A|?0?

所以A可逆? 而A?2E?A2? |A?2E|?|A2|?|A|2?0? 故A?2E也可逆? 由 A2?A?2E?O ?A(A?E)?2E

?A?1A(A?E)?2A?1E?A?1?1(A?E)? 2

又由 A2?A?2E?O?(A?2E)A?3(A?2E)??4E

? (A?2E)(A?3E)??4 E?

所以 (A?2E)?1(A?2E)(A?3E)??4(A?2 E)?1?

(A?2E)?1?1(3E?A)? 4

16? 设A为3阶矩阵? |A|?1? 求|(2A)?1?5A*|? 2

解 因为A?1?1A*? 所以 |A|

|(2A)?1?5A*|?|1A?1?5|A|A?1|?|1A?1?5A?1| 222

?|?2A?1|?(?2)3|A?1|??8|A|?1??8?2??16? 17? 设矩阵A可逆? 证明其伴随阵A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*?

证明 由A?1?1A*? 得A*?|A|A?1? 所以当A可逆时? 有 |A|

|A*|?|A|n|A?1|?|A|n?1?0?

从而A*也可逆?

因为A*?|A|A?1? 所以

(A*)?1?|A|?1A? ?1?1又A?1(A)*?|A|(A)*? 所以 ?1|A|

(A*)?1?|A|?1A?|A|?1|A|(A?1)*?(A?1)*?

18? 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*? 证明?

(1)若|A|?0? 则|A*|?0?

(2)|A*|?|A|n?1?

证明

(1)用反证法证明? 假设|A*|?0? 则有A*(A*)?1?E? 由此得 A?A A*(A*)?1?|A|E(A*)?1?O ?

所以A*?O? 这与|A*|?0矛盾,故当|A|?0时? 有|A*|?0?

(2)由于A?1?1A*? 则AA*?|A|E? 取行列式得到 |A|

|A||A*|?|A|n?

若|A|?0? 则|A*|?|A|n?1?

若|A|?0? 由(1)知|A*|?0? 此时命题也成立? 因此|A*|?|A|n?1?

?033? 19? 设A??110?? AB?A?2B? 求B? ??123???

解 由AB?A?2E可得(A?2E)B?A? 故

?1??233??033??033? B?(A?2E)?1A??1?10??110????123?? ??121???123??110???????

?101? 20? 设A??020?? 且AB?E?A2?B? 求B? ?101???

解 由AB?E?A2?B得

(A?E)B?A2?E?

即 (A?E)B?(A?E)(A?E)?

001 因为|A?E|?010??1?0? 所以(A?E)可逆? 从而 100

?201? B?A?E??030?? ?102???

21? 设A?diag(1? ?2? 1)? A*BA?2BA?8E? 求B?

解 由A*BA?2BA?8E得 (A*?2E)BA??8E? B??8(A*?2E)?1A?1 ??8[A(A*?2E)]?1 ??8(AA*?2A)?1

??8(|A|E?2A)?1

??8(?2E?2A)?1

?4(E?A)?1

?4[diag(2? ?1? 2)]?1 ?4diag(1, ?1, 1) 22

?2diag(1? ?2? 1)?

?1?0 22? 已知矩阵A的伴随阵A*??1?0?010?300100?0?? 0?

8??

且ABA?1?BA?1?3E? 求B?

解 由|A*|?|A|3?8? 得|A|?2? 由ABA?1?BA?1?3E得 AB?B?3A?

B?3(A?E)?1A?3[A(E?A?1)]?1A ?3(E?1A*)?1?6(2E?A*)?1 2

?1?0 ?6??1?0?010300100??600???060??60?03?6????100600?0?? 0?

?1??

?1?4? ????1 23? 设P?1AP??? 其中P???11???0???

1 |P|?3? P*????1?

?1而 ?11???0?110?? 求A11? 2?? 解 由P?1AP??? 得A?P?P?1? 所以A11? A=P?11P?1. 4?? P?1?1?14?? ??1?3??1?1??0????10 ?? ?0211?2????

?14????27312732??1?4?10????1133故 A????0211??11????683?684?? 11???????????33?

??1??111? 24? 设AP?P?? 其中P??10?2?? ???1?? ?1?11???5????

求?(A)?A8(5E?6A?A2)?

解 ?(?)??8(5E?6???2)

?diag(1?1?58)[diag(5?5?5)?diag(?6?6?30)?diag(1?1?25)] ?diag(1?1?58)diag(12?0?0)?12diag(1?0?0)?

?(A)?P?(?)P?1

?1P?(?)P* |P|

?111??100???2?2?2? ??2?10?2??000???303??1?11??000???12?1???????

?111? ?4?111?? ?111???

25? 设矩阵A、B及A?B都可逆? 证明A?1?B?1也可逆? 并

求其逆阵?

证明 因为

A?1(A?B)B?1?B?1?A?1?A?1?B?1? 而A?1(A?B)B?1是三个可逆矩阵的乘积? 所以A?1(A?B)B?1可逆? 即A?1?B?1可逆?

(A?1?B?1)?1?[A?1(A?B)B?1]?1?B(A?B)?1A?

?1?0 26? 计算?0?0?210010200??11??01??0?03???031?12?1?? 0?23?00?3??

1 解 设A1???0?2?? A??2

2?01???1?? B??31?? B???23?? 1?2?1?2?0?3?3??????

A1E??EB1??A1A1B1?B2?则 ??OA??OB???OAB?? ??2??2?22?

1?而 AB?B??112?0

2 A2B2???0?2??31????23???52?? ?2?1??0?3??2?4?1????????1???23????43?? ?0?3??0?9?3??????

252?12?4?? 0?43?

00?9???1A1E??EB1??A1A1B1?B2??0???所以 ???????0OAOBOAB??2??2?22??0?

?1?0即 ?0?0?210010200??11??01??0?3???0031??112?1???00?23??0?00?3???0252?12?4?? 0?43?

00?9??

1 27? 取A?B??C?D???0?0?? 验证AB? |A||B|? 1?CD|C||D|?

1

解 AB?0CD?10010?11010021?0100?1000?2010?4? 02011而 |A||B|??0? |C||D故 AB? |A||B|? CD|C||D?34O??4?3? 28? 设A??? 求|A8|及A4? ?20?O22???

34?? A??20?? 解 令A1???4?3?2?22?????

A1O?则 A???OA?? ?2?

8AOO??8?A故 A??1???18??? OAOA?2??2?8

888816 |A8|?|A|A1||A2|?1||A2|?10?

?540O?4?054?O?4?A1 A??? ?4???4?OA2??O2604?22??

29? 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆? 求

OA? (1)??BO?????1

OA???C1C2?? 则 解 设??BO??CC????34??1

OA??C1C2???AC3AC4???EnO?? ??BO??CC??BCBC??OE????34??1s?2???AC3?En?C3?A?1

??由此得 ?AC4?O??C4?O? BC?OC?O?C1?B?1?BC1?E?2s?2

?1OAOB??? ??所以 ?BO????1????AO??1

AO?? (2)??CB????1

AO??D1D2?? 则 解 设??CB???DD????34?

AD2??EnO?AO??D1D2???AD1??? ?CB??????? DDCD?BDCD?BDOE???34??1324??s??1

?D1?A?1?AD1?En?D2?O?AD2?O由此得 ???? CD1?BD3?OD3??B?1CA?1?D?B?1?CD?BD?E?24s?4

?1AOA??? ??所以 ?CB????1?1O?1??BCAB?????1

30? 求下列矩阵的逆阵?

?5?2 (1)?0?0?210000850?0?? 3?

2??

5 解 设A???2?2?? B??83?? 则 ?52?1????

5 A?1???2?2???1?2?? B?1??8??25??51?????

?1?13???2?3?? ??58?2?????1?5?2于是 ?02100080??1?200??1?10???A???A????2500?? ????1??03??02?3BB??????0052????00?5

?00

(2)?1

?1200??

?21030??

?1214??

解 设A???1102?01

??? B???3

?14?

???? C???212?

???? 则

?10?1

??1220000???1

?13

?1210???AOB?

???

4??C????A?1

??B?1CA?1BO?1???

??0?

??11100

0??

??220

??1?110?

?263??

?11?

?8?5

24?1

124??

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1? 把下列矩阵化为行最简形矩阵? 8??

?102?1? (1)?2031?? ?304?3????102?1? 解 ?2031?(下一步? r2?(?2)r1? r3?(?3)r1? ) ?304?3????102?1? ~?00?13?(下一步? r2?(?1)? r3?(?2)? ) ?00?20????102?1? ~?001?3?(下一步? r3?r2? ) ?0010????102?1? ~?001?3?(下一步? r3?3? ) ?0003????102?1? ~?001?3?(下一步? r2?3r3? ) ?0001???

?102?1? ~?0010?(下一步? r1?(?2)r2? r1?r3? ) ?0001???

?1000? ~?0010?? ?0001???

?02?31? (2)?03?43?? ?04?7?1????02?31? 解 ?03?43?(下一步? r2?2?(?3)r1? r3?(?2)r1? ) ?04?7?1???

?02?31? ~?0013?(下一步? r3?r2? r1?3r2? ) ?00?1?3????02010? ~?0013?(下一步? r1?2? ) ?0000????0105? ~?0013?? ?0000????1?13?43??3?35?41? (3)?? 2?23?20??3?34?2?1????1?3 解 ?2?3?

?1?0 ~?0?0??1?3?2?33534?4?4?2?23?1?(下一步? r?3r? r?2r? r?3r? ) 2131410??1???13?43?0?48?8?(下一步? r?(?4)? r?(?3) ? r?(?5)? ) 2340?36?6?0?510?10???1?0 ~?0?0?

?1?0 ~?0?0??1000?10003111?4?2?2?23?2?(下一步? r?3r? r?r? r?r? ) 1232422?2??02?3?1?22?? 000?

000???23?12 (4)?3?2?2?3?1?3?7?0?2?4?? 830?743??

?23?12 解 ?3?2?2?3?1?3?7?0?2?4?(下一步? r?2r? r?3r? r?2r? ) 123242830?743??

?0?1111??120?2?4? ~?(下一步? r2?2r1? r3?8r1? r4?7r1? ) 0?88912??0?77811???

?0?1 ~?0?0?

?1?0 ~?0?0??10000100120011?0?2?(下一步? r?r? r?(?1)? r?r? ) 1224314?14??0?2??1?1?(下一步? r?r? ) 2314?

00??2?100

?1?0 ~?0?0?01002?1000010?2?3?? 4?

0??

?010??101??123? 2? 设?100?A?010???456?? 求A? ?001??001??789???????

?010? 解 ?100?是初等矩阵E(1? 2)? 其逆矩阵就是其本身? ?001???

?101? ?010?是初等矩阵E(1? 2(1))? 其逆矩阵是 ?001???

?10?1? E(1? 2(?1)) ??010?? ?001???

?010??123??10?1? A??100??456??010? ?001??789??001???????

?456??10?1??452?

??123??010???122?? ?789??001??782???????

3? 试利用矩阵的初等变换? 求下列方阵的逆矩阵?

?321? (1)?315?? ?323???

?321100??321100? 解 ?315010?~?0?14?110? ?323001??002?101?????

?3203/20?1/2??3007/22?9/2? ~?0?1011?2?~?0?1011?2? ?002?10??1????001?1/201/2?

?1007/62/3?3/2? ~?010?1?12? ?001?1/201/2???

?72?3??632?

故逆矩阵为??1?12?? ?1?1??202???

?3?20?1??0221? (2)?? 1?2?3?2??0121???

?3?20?11000??02210100? 解 ? 1?2?3?20010??01210001????1?2?3?20010??01210001? ~? 049510?30??02210100????1?2?3?20010??01210001? ~? 001110?3?4??00?2?1010?2????1?2?3?20010??0121000?1 ~? 001110?3?4??000121?6?10????1?200?0100 ~?0010?0001?

?1?0 ~?0?0?01000010?10?12?11`?11?2?2?0?1? 36??6?10??

?1?0故逆矩阵为??1?2?011?2?4?0010?1? 0?1?136?121?6?10??1?2?4?10?1?? ?136?1?6?10??

?41?2??1?3? 4? (1)设A??221?? B??22?? 求X使AX?B? ?31?1??3?1?????

解 因为

?41?21?3?r?100102? (A, B)??221 22?~ ?010 ?15?3?? ?31?13?1??001124??????102?所以 X?AB???15?3?? ?124????1

?021?123?? 求X使XA?B? (2)设A??2?13?? B???2?31???33?4?????

解 考虑ATXT?BT? 因为

?02?312?r?1002?4? (AT, BT)??2?132?3?~ ?010?17?? ?13?431??001?14?????

?2?4?所以 XT?(AT)?1BT???17?? ??14???

2?1?1? 从而 X?BA?1????474????

?1?10? 5? 设A??01?1?? AX ?2X?A? 求X? ??101???

解 原方程化为(A?2E)X ?A? 因为

??1?101?10? (A?2E, A)??0?1?101?1? ??10?1?101???

?10001?1? ~?010?101?? ?0011?10???

?01?1?所以 X?(A?2E)?1A???101?? ?1?10???

6? 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r?1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

解 在秩是r的矩阵中? 可能存在等于0的r?1阶子式? 也可能存在等于0的r阶子式?

?1000? 例如? A??0100?? R(A)?3? ?0010???

00000 是等于0的2阶子式? 100是等于0的3阶子式? 00010

7? 从矩阵A中划去一行得到矩阵B? 问A? B的秩的关系怎样?

解 R(A)?R(B)?

这是因为B的非零子式必是A的非零子式? 故A的秩不会小于B的秩?

8? 求作一个秩是4的方阵? 它的两个行向量是

(1? 0? 1? 0? 0)? (1? ?1? 0? 0? 0)?

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵?

?1?1?1?0?0?0?100000100000100?0?0?? 0?

0??

此矩阵的秩为4? 其第2行和第3行是已知向量?

9? 求下列矩阵的秩? 并求一个最高阶非零子式?

?3102? (1)?1?12?1?; ?13?44???

?3102? 解 ?1?12?1?(下一步? r1?r2? ) ?13?44???

?1?12?1? ~?3102?(下一步? r2?3r1? r3?r1? ) ?13?44???

?1?12?1? ~?04?65?(下一步? r3?r2? ) ?04?65???

1?12?1? ~?04?65?? ??0000?

矩阵的秩为2? 3??4是一个最高阶非零子式? 1??32?1?3?1? (2)?2?131?3?? ?705?1?8???

?32?1?3?2? 解 ?2?131?3?(下一步? r1?r2? r2?2r1? r3?7r1? ) ?705?1?8???13?4?41? ~?0?7119?5?(下一步? r?3r? ) ??0?213327?15?13?4?41? ~?0?7119?5?? ??00000?32

32矩阵的秩是2? ??7是一个最高阶非零子式? 2?1

?218?2?30 (3)?3?25?103?37?7?5?? 80?20??

37?7?5?(下一步? r?2r? r?2r? r?3r? ) 14243480?

20??

7??5?(下一步? r?3r? r?2r? ) 21310?

0???218?2?30 解 ?3?25?103??012?1?0?3?63 ~?0?2?42?1032?

?0?0 ~?0?1?

?0?0 ~?0?1?1000100020032003?17?016?(下一步? r?16r? r?16r? ) 2432014?20???10027?1? 0?

0??

?1?0 ~?0?0?010032002?1000?7?? 1?

0??

07?5矩阵的秩为3? 580?70?0是一个最高阶非零子式? 320

10? 设A、B都是m?n矩阵? 证明A~B的充分必要条件是R(A)?R(B)?

证明 根据定理3? 必要性是成立的?

充分性? 设R(A)?R(B)? 则A与B的标准形是相同的? 设A与B的标准形为D? 则有

A~D? D~B?

由等价关系的传递性? 有A~B?

?1?23k? 11? 设A???12k?3?? 问k为何值? 可使 ?k?23???

(1)R(A)?1? (2)R(A)?2? (3)R(A)?3?

k?1?23k?r?1?1??? 解 A???12k?3?~ ?0k?1k?1?k?23??00?(k?1)(k?2)?????

(1)当k?1时? R(A)?1?

(2)当k??2且k?1时? R(A)?2?

(3)当k?1且k??2时? R(A)?3?

12? 求解下列齐次线性方程组:

??x1?x2?2x3?x4?0 (1)?2x1?x2?x3?x4?0? ??2x1?2x2?x3?2x4?0

解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

0??112?1??10?1 A??211?1?~?013?1?? ?2212??001?4/3?????

?x?4x?134

?x??3x4于是 ?2? 4?x3?x4?x?3?4x4

故方程组的解为

?4??x1??3??x???3? ?2??k?4?(k为任意常数)? ?x3????x4??3??1?

??x1?2x2?x3?x4?0 (2)?3x1?6x2?x3?3x4?0? ??5x1?10x2?x3?5x4?0

解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

?121?1??120?1? A??36?1?3?~?0010?? ?5101?5??0000?????

?x1??2x2?x4?x2?x2于是 ?? x3?0?x?x?44

故方程组的解为

?x1???2??1??x??1??0? ?2??k1???k2??(k1? k2为任意常数)? 00?x3??0??1??x4?????

?2x1?3x2?x3?5x4?0?3x?x?2x3?7x4?0 (3)?12? 4x1?x2?3x3?6x4?0?x??12x2?4x3?7x4?0

解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

?23?31 A??41?1?2??15??12?7?~?0?36??0?4?7???0010000100?0?? 0?

1??

?x1?0?x?0于是 ?2? x3?0?x?0?4

故方程组的解为

?x1?0?x?0 ?2? x?0?x3?0?4

?3x1?4x2?5x3?7x4?0?2x?3x2?3x3?2x4?0 (4)?1? 4x1?11x2?13x3?16x4?0?7x?2x?x?3x?0?1234

解 对系数矩阵A进行初等行变换? 有

?34?5?2?33 A??411?13?7?21??17???2?~?016???03????00?3171?1917000013?17?20?? ?17?00?? ?x?3x?13x?1173174

?1920于是 ?x2?x3?x4? 1717?x?x?x3?x3

?44

故方程组的解为

?3???13??x1??17??17??x??19??20? ?2??k1???k2???(k1? k2为任意常数)? ?x3??17??17??x4??1??0??0??1?

13? 求解下列非齐次线性方程组:

??4x1?2x2?x3?2 (1)?3x1?1x2?2x3?10? ??11x1?3x2?8

解 对增广矩阵B进行初等行变换? 有

?42?12??13?3?8? B??3?1210?~?0?101134?? ?11308?000?6????

于是R(A)?2? 而R(B)?3? 故方程组无解?

?2x?3y?z?4?x?2y?4z??5 (2)?? 3x?8y?2z?13?4x?y?9z??6?

解 对增广矩阵B进行初等行变换? 有

?231?1?24 B??38?2?4?19?4??1?5?~?013??0?0?6???01002?100?1?2?? 0?

0??

??x??2z?1于是 ?y?z?2? ??z?z

?x???2???1?即 ?y??k?1???2?(k为任意常数)? ?z??1??0???????

??2x?y?z?w?1 (3)?4x?2y?2z?w?2? ??2x?y?z?w?1

解 对增广矩阵B进行初等行变换? 有

?21?111??11/2?1/201/2? B??42?212?~?00010?? ?21?1?11??00000?????

?x??1y?1z?1?222?于是 ?y?y?

?z?z??w?0

1??1??1???x???2??2??y??2?

即 ???k1?1??k2?0???0?(k1? k2为任意常数)? z?1??0?0??w????0??0????0??????

??2x?y?z?w?1 (4)?3x?2y?z?3w?4? ??x?4y?3z?5w??2

解 对增广矩阵B进行初等行变换? 有

?21?111??10?1/7?1/76/7? B??3?21?34?~?01?5/79/7?5/7?? ?14?35?2?00000????

?x?1z?1w?6?777?于是 ?y?5z?9w?5? 777?z?z?w?w?

?1??1??6??x??7??7??7??y??5??9??5?即 ???k1???k2???????(k1? k2为任意常数)? z7??7????w??7

???1??0??0??0??1??0?

14? 写出一个以

?2???2???3??4?x?c1???c2?? 10?0??1?????

为通解的齐次线性方程组?

解 根据已知? 可得

?x1??2???2??x???3??4? ?2??c1???c2??? 10?x3??0??1??x4?????

与此等价地可以写成

?x1?2c1?c2?x??3c1?4c2 ?2? x3?c1?x?c?42

x1?2x3?x4或 ??x??3x?4x? ?234

x1?2x3?x4?0或 ??x?3x?4x?0? ?234

这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组?

15? ?取何值时? 非齐次线性方程组

???x1?x2?x3?1

?x1??x2?x3???

2?x?x??x???123

(1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多个解?

??111? 解 B??1?1?? ?11??2???

211??? ~ ?0??1? 1???(1??)???00(1??)(2??)(1??)(??1)2?r

(1)要使方程组有唯一解? 必须R(A)?3? 因此当??1且???2

时方程组有唯一解.

(2)要使方程组无解? 必须R(A)?R(B)? 故

(1??)(2??)?0? (1??)(??1)2?0?

因此???2时? 方程组无解?

(3)要使方程组有有无穷多个解? 必须R(A)?R(B)?3? 故 (1??)(2??)?0? (1??)(??1)2?0?

因此当??1时? 方程组有无穷多个解.

16? 非齐次线性方程组

???2x1?x2?x3??2

?x1?2x2?x3??

2?x?x?2x???123

当?取何值时有解?并求出它的解?

?????211?2??1?21?2???(??1)?? 解 B?1?21?~?01?1?11?2?2??3???000(??1)(??2)??

要使方程组有解? 必须(1??)(??2)?0? 即??1? ???2? 当??1时?

??211?2??10?11? B??1?211?~?01?10?? ?11?21??0000?????

方程组解为

x1?x3?1??x?x?1 ??x1?x3或?x2?x3? ?23??x3?x3

?x1??1??1?即 ?x2??k?1???0?(k为任意常数)? ?x??1??0??3?????

当???2时?

??211?2??10?12? B??1?21?2?~?01?12?? ?11?24??0000?????

方程组解为

x1?x3?2??x1?x3?2 ??x?x?2或?x2?x3?2? ?23??x3?x3

?x1??1??2?即 ?x2??k?1???2?(k为任意常数)? ?x??1??0??3?????

??(2??)x1?2x2?2x3?1 17? 设?2x1?(5??)x2?4x3?2? ???2x1?4x2?(5??)x3????1

问?为何值时? 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解?

2?21??2?? 解 B??25???42? ??2?45?????1???

?42?25?????? ~01??1??1???00(1??)(10??)(1??)(4??)???

要使方程组有唯一解? 必须R(A)?R(B)?3? 即必须 (1??)(10??)?0?

所以当??1且??10时? 方程组有唯一解.

要使方程组无解? 必须R(A)?R(B)? 即必须

(1??)(10??)?0且(1??)(4??)?0?

所以当??10时? 方程组无解.

要使方程组有无穷多解? 必须R(A)?R(B)?3? 即必须 (1??)(10??)?0且(1??)(4??)?0?

所以当??1时? 方程组有无穷多解?此时,增广矩阵为

?12?21? B~?0000?? ?0000???

方程组的解为

??x1??x2?x3?1 ?x2? x2? ??x3? x3

?x1???2??2??1?或 ?x2??k1?1??k2?0???0?(k1? k2为任意常数)? ?x??0??1??0??3???????

18? 证明R(A)?1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT? 使A?abT?

证明 必要性? 由R(A)?1知A的标准形为

?1?0 ?????0?00???0????????????0??1?0???0?(1, 0, ???, 0)? ??????????0?0????

即存在可逆矩阵P和Q? 使

?1??1??0????10 PAQ???(1, 0, ???, 0)? 或A?P??(1, 0, ???, 0)Q?1? ???????0??0?????

?1???T?10 令a?P??? b?(1? 0? ???? 0)Q?1? 则a是非零列向量? bT是非????0???

零行向量? 且A?abT?

充分性? 因为a与bT是都是非零向量? 所以A是非零矩阵? 从而R(A)?1?

因为

1?R(A)?R(abT)?min{R(a)? R(bT)}?min{1? 1}?1? 所以R(A)?1?

19? 设A为m?n矩阵? 证明

(1)方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m? 证明 由定理7? 方程AX?Em有解的充分必要条件是

R(A)?R(A? Em)?

而| Em|是矩阵(A? Em)的最高阶非零子式? 故R(A)?R(A? Em)?m? 因此? 方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m?

(2)方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?n?

证明 注意? 方程YA?En有解的充分必要条件是ATYT?En有解? 由(1) ATYT?En有解的充分必要条件是R(AT)?n? 因此,方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?R(AT)?n?

20? 设A为m?n矩阵? 证明? 若AX?AY? 且R(A)?n? 则X?Y? 证明 由AX?AY? 得A(X?Y)?O? 因为R(A)?n? 由定理9? 方程A(X?Y)?O只有零解? 即X?Y?O? 也就是X?Y?

第四章 向量组的线性相关性

1? 设v1?(1? 1? 0)T? v2?(0? 1? 1)T? v3?(3? 4? 0)T? 求v1?v2及3v1?2v2?v3?

解 v1?v2?(1? 1? 0)T?(0? 1? 1)T

?(1?0? 1?1? 0?1)T ?(1? 0? ?1)T?

3v1?2v2?v3?3(1? 1? 0)T ?2(0? 1? 1)T ?(3? 4? 0)T

?(3?1?2?0?3? 3?1?2?1?4? 3?0?2?1?0)T ?(0? 1? 2)T?

2? 设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)? 求a? 其中a1?(2? 5? 1? 3)T? a2?(10? 1? 5? 10)T? a3?(4? 1? ?1? 1)T?

解 由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得

a?1(3a1?2a2?5a3) 6

?1[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T] 6

?(1? 2? 3? 4)T?

3? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由

?0?1 (A, B)??2?3?

?1r? ~ ?00?0?30122301204??1r?1?24?~0 111??0?213???0031?24?32204? 1?6?15?7?2?8?17?9??031?24?1?6?15?7? 041?35?00000??031?6020041?24??1r??15?7?~0 5?1525??0?1?35???0

知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示?

?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0~~ B??111??01?1??0?213??01?1??0?????01002??1? 0?

0??

知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示?

4? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T?

B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T?

证明A组与B组等价?

证明 由

??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211?? ?11?110??02211??00000???????

知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价?

5? 已知R(a1? a2? a3)?2? R(a2? a3? a4)?3? 证明

(1) a1能由a2? a3线性表示?

(2) a4不能由a1? a2? a3线性表示?

证明 (1)由R(a2? a3? a4)?3知a2? a3? a4线性无关? 故a2? a3也线性无关? 又由R(a1? a2? a3)?2知a1? a2? a3线性相关? 故a1能由a2? a3线性表示?

(2)假如a4能由a1? a2? a3线性表示? 则因为a1能由a2? a3线性表示? 故a4能由a2? a3线性表示? 从而a2? a3? a4线性相关? 矛盾? 因此a4不能由a1? a2? a3线性表示?

6? 判定下列向量组是线性相关还是线性无关?

(1) (?1? 3? 1)T? (2? 1? 0)T? (1? 4? 1)T?

(2) (2? 3? 0)T? (?1? 4? 0)T? (0? 0? 2)T?

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A? 因为

??121?r??121?r??121? A??314?~?077?~?011?? ?101??022??000???????

所以R(A)?2小于向量的个数? 从而所给向量组线性相关?

(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B? 因为

2?10 |B|?340?22?0? 002

所以R(B)?3等于向量的个数? 从而所给向量组线性相无关?

7? 问a取什么值时下列向量组线性相关?

a1?(a? 1? 1)T? a2?(1? a? ?1)T? a3?(1? ?1? a)T? 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A? 由

a1 |A|?1a??a(a?1)(a?1) 1?1a

知? 当a??1、0、1时? R(A)?3? 此时向量组线性相关? 8? 设a1? a2线性无关? a1?b? a2?b线性相关? 求向量b用a1? a2线性表示的表示式?

解 因为a1?b? a2?b线性相关? 故存在不全为零的数?1? ?2使

?1(a1?b)??2(a2?b)?0?

????由此得 b??a1?a2??a1?(1?)a2? ?1??2?1??2?1??2?1??2

设c???? 则 1?2

b?ca1?(1?c)a2? c?R?

9? 设a1? a2线性相关? b1? b2也线性相关? 问a1?b1? a2?b2是否一定线性相关?试举例说明之?

解 不一定?

例如? 当a1?(1? 2)T, a2?(2? 4)T, b1?(?1? ?1)T, b2?(0? 0)T时? 有 a1?b1?(1? 2)T?b1?(0? 1)T, a2?b2?(2? 4)T?(0? 0)T?(2? 4)T? 而a1?b1? a2?b2的对应分量不成比例? 是线性无关的?

10? 举例说明下列各命题是错误的?

(1)若向量组a1? a2? ? ? ?? am是线性相关的? 则a1可由a2? ? ? ?? am线性表示?

解 设a1?e1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0)? a2?a3? ? ? ? ?am?0? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 但a1不能由a2? ? ? ?? am线性表示?

(2)若有不全为0的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 解 有不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam ??1b1? ? ? ? ??mbm ?0?

原式可化为

?1(a1?b1)? ? ? ? ??m(am?bm)?0?

取a1?e1??b1? a2?e2??b2? ? ? ?? am?em??bm? 其中e1? e2? ? ? ?? em为单位坐标向量? 则上式成立? 而a1? a2? ? ? ?? am和b1? b2? ? ? ?? bm均线性无关?

(3)若只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm?0

才能成立? 则a1? a2? ? ? ?? am线性无关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性无关? 解 由于只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

由?1a1? ? ? ? ??mam??1b1? ? ? ? ??mbm ?0

成立? 所以只有当?1? ?2? ? ? ?? ?m全为0时? 等式

?1(a1?b1)??2(a2?b2)? ? ? ? ??m(am?bm)?0

成立? 因此a1?b1? a2?b2? ? ? ?? am?bm线性无关? 取a1?a2? ? ? ? ?am?0? 取b1? ? ? ?? bm为线性无关组? 则它们满足以上条件? 但a1? a2? ? ? ?? am线性相关?

(4)若a1? a2? ? ? ?? am线性相关, b1? b2? ? ? ?? bm亦线性相关? 则有不全为0的数? ?1? ?2? ? ? ?? ?m使

?1a1? ? ? ? ??mam?0? ?1b1? ? ? ? ??mbm?0

同时成立?

解 a1?(1? 0)T? a2?(2? 0)T? b1?(0? 3)T? b2?(0? 4)T?

?1a1??2a2 ?0??1??2?2?

?1b1??2b2 ?0??1??(3/4)?2?

??1??2?0? 与题设矛盾?

11? 设b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a4? b4?a4?a1? 证明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

证明 由已知条件得

a1?b1?a2? a2?b2?a3? a3?b3?a4? a4?b4?a1?

于是 a1 ?b1?b2?a3

?b1?b2?b3?a4

?b1?b2?b3?b4?a1?

从而 b1?b2?b3?b4?0?

这说明向量组b1? b2? b3? b4线性相关?

12? 设b1?a1? b2?a1?a2? ? ? ?? br ?a1?a2? ? ? ? ?ar? 且向量组a1? a2? ? ? ? ? ar线性无关? 证明向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关? 证明 已知的r个等式可以写成

?1?0(b1, b2, ? ? ? , br)?(a1, a2, ? ? ? , ar)?????0?11???0????????????1?1?? ????

1??

上式记为B?AK? 因为|K|?1?0? K可逆? 所以R(B)?R(A)?r? 从而向量组b1? b2? ? ? ? ? br线性无关?

13? 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组?

(1)a1?(1? 2? ?1? 4)T? a2?(9? 100? 10? 4)T? a3?(?2? ?4? 2? ?8)T? 解 由

?19?2??19?2??19?2??2100?4?r?0820?r?010? (a1, a2, a3)??? ~~?1102??0190??000??44?8??0?320??000???????

知R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1与a2的分量不成比例? 故a1? a2线性无关? 所以a1? a2是一个最大无关组?

(2)a1T?(1? 2? 1? 3)? a2T?(4? ?1? ?5? ?6)? a3T?(1? ?3? ?4? ?7)? 解 由

?1?2(a1, a2, a3)??1?3?41??141??1rr??1?3?~?0?9?5?~0?5?4??0?9?5??0?0?18?10??0?6?7?????41??9?5?? 00?00??

知R(a1T? a2T? a3T)?R(a1? a2? a3)?2? 因为向量a1T与a2T的分量不成比例? 故a1T? a2T线性无关? 所以a1T? a2T是一个最大无关组?

14? 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组?

?25?75 (1)?75?25?

319494321753542043?132?? 134?48??

解 因为

?25?75?75?25??1?0

(2)?

2?1?

3194943217535420

43?r2?3r1?25132?r3?3r1?0

?0134?r~4?r1

?048???1?

?1?? 3??1??

3117

121313

43??25r?r3?3?40~5?r3?r2?0

?05???

3117

120100

43?3?? 3?0??

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

1

201213025?14

解 因为

?1?0?2?1?1201213025?14

1??1r?2r31

?1?~?03?r4?r1?0

?0?1???

1

2?20

21?1?2

25?52

1??1r?r32

?1?~?01?r3?r4?0

?0?2???

120021?20

25201??1?? ?2?0??

所以第1、2、3列构成一个最大无关组?

15? 设向量组

(a? 3? 1)T? (2? b? 3)T? (1? 2? 1)T? (2? 3? 1)T

的秩为2? 求a? b?

解 设a1?(a? 3? 1)T? a2?(2? b? 3)T? a3?(1? 2? 1)T? a4?(2? 3? 1)T? 因为

3?r?1113??12a2?r?111

(a3, a4, a1, a2)??233b?~?01a?1?1?~?01a?1?1??

?1113??011b?6??002?ab?5???????而R(a1? a2? a3? a4)?2? 所以a?2? b?5?

16? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量? 已知n维单位坐标向量e1? e2?? ? ?? en能由它们线性表示? 证明a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 证法一 记A?(a1? a2? ? ? ?? an)? E?(e1? e2?? ? ?? en)? 由已知条件知? 存在矩阵K? 使

E?AK?

两边取行列式? 得

|E|?|A||K|?

可见|A|?0? 所以R(A)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 证法二 因为e1? e2?? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 所以

R(e1? e2?? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?

而R(e1? e2?? ? ?? en)?n? R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 从而a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

17? 设a1? a2? ? ? ?? an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是? 任一n维向量都可由它们线性表示? 证明 必要性? 设a为任一n维向量? 因为a1? a2? ? ? ?? an线性无关? 而a1? a2? ? ? ?? an? a是n?1个n维向量? 是线性相关的? 所以a能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 且表示式是唯一的? 充分性? 已知任一n维向量都可由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 故单位坐标向量组e1? e2? ? ? ?? en能由a1? a2? ? ? ?? an线性表示? 于

是有

n?R(e1? e2? ? ? ?? en)?R(a1? a2? ? ? ?? an)?n?

即R(a1? a2? ? ? ?? an)?n? 所以a1? a2? ? ? ?? an线性无关?

18? 设向量组a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 且a1?0? 证明存在某个向量ak (2?k?m)? 使ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示? 证明 因为a1? a2? ? ? ?? am线性相关? 所以存在不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?m? 使

?1a1??2a2? ? ? ? ??mam?0?

而且?2? ?3?? ? ?? ?m不全为零? 这是因为? 如若不然? 则?1a1?0? 由a1?0知?1?0? 矛盾? 因此存在k(2?k?m)? 使

?k?0? ?k?1??k?2? ? ? ? ??m?0?

于是

?1a1??2a2? ? ? ? ??kak?0?

ak??(1/?k)(?1a1??2a2? ? ? ? ??k?1ak?1)?

即ak能由a1? a2? ? ? ?? ak?1线性表示?

19? 设向量组B? b1? ? ? ?? br能由向量组A? a1? ? ? ?? as线性表示为

(b1? ? ? ?? br)?(a1? ? ? ?? as)K? 其中K为s?r矩阵? 且A组线性无关? 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)?r?

证明 令B?(b1? ? ? ?? br)? A?(a1? ? ? ?? as)? 则有B?AK? 必要性? 设向量组B线性无关?

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质? 有

r?R(B)?R(AK)?min{R(A)? R(K)}?R(K)? 及 R(K)?min{r? s}?r?

因此R(K)?r?

Er? 充分性? 因为R(K)?r? 所以存在可逆矩阵C? 使KC???O???

为K的标准形? 于是

(b1? ? ? ?? br)C?( a1? ? ? ?? as)KC?(a1? ? ? ?? ar)? 因为C可逆? 所以R(b1? ? ? ?? br)?R(a1? ? ? ?? ar)?r? 从而b1? ? ? ?? br线性无关?

20? 设

??1? ?2??3? ? ? ? ??n??2??1 ??3? ? ? ? ??n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????? ? ? ? ???n123n?1

证明向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价? 证明 将已知关系写成

?0?1(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?1?????1?101???1110???1???????????????1?1?1?? ????

0??

将上式记为B?AK? 因为

01|K|?1??1101???1110???1????????????????(?1)n?1(n?1)?0? ???0

所以K可逆? 故有A?BK ?1? 由B?AK和A?BK ?1可知向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n可相互线性表示? 因此向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n与向量组?1? ?2? ? ? ?? ?n等价?

21? 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x?3Ax?A2x? 且向量组x? Ax? A2x线性无关?

(1)记P?(x? Ax? A2x)? 求3阶矩阵B? 使AP?PB? 解 因为

AP?A(x? Ax? A2x)

?(Ax? A2x? A3x)

?(Ax? A2x? 3Ax?A2x)

?000? ?(x, Ax, Ax)?103?? ?01?1???2

?000?所以B??103?? ?01?1???

(2)求|A|?

解 由A3x?3Ax?A2x? 得A(3x?Ax?A2x)?0? 因为x? Ax? A2x线性无关? 故3x?Ax?A2x?0? 即方程Ax?0有非零解? 所以R(A)?3? |A|?0?

22? 求下列齐次线性方程组的基础解系?

??x1?8x2?10x3?2x4?0 (1)?2x1?4x2?5x3?x4?0? ??3x1?8x2?6x3?2x4?0

解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

0??1?8102?r?104 A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4?? ?386?2??000?0????

于是得

x1??4x3 ??x?(3/4)x?(1/4)x? ?234

取(x3? x4)T?(4? 0)T? 得(x1? x2)T?(?16? 3)T? 取(x3? x4)T?(0? 4)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 因此方程组的基础解系为

?1?(?16? 3? 4? 0)T? ?2?(0? 1? 0? 4)T?

??2x1?3x2?2x3?x4?0 (2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0? ??8x1?7x2?6x3?3x4?0

解 对系数矩阵进行初等行变换? 有

?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19?? ?876?3??000?0????

于是得

x1??(2/19)x3?(1/19)x4 ??x??(14/19)x?(7/19)x? ?234

取(x3? x4)T?(19? 0)T? 得(x1? x2)T?(?2? 14)T?

取(x3? x4)T?(0? 19)T? 得(x1? x2)T?(1? 7)T?

因此方程组的基础解系为

?1?(?2? 14? 19? 0)T? ?2?(1? 7? 0? 19)T?

(3)nx1 ?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?xn?0.

解 原方程组即为

xn??nx1?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1?

取x1?1? x2?x3? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??n?

取x2?1? x1?x3?x4? ? ? ? ?xn?1?0? 得xn??(n?1)??n?1? ? ? ? ?

取xn?1?1? x1?x2? ? ? ? ?xn?2?0? 得xn??2?

因此方程组的基础解系为

?1?(1? 0? 0? ? ? ?? 0? ?n)T?

?2?(0? 1? 0? ? ? ?? 0? ?n?1)T?

? ? ??

?n?1?(0? 0? 0? ? ? ?? 1? ?2)T?

2?213, 求一个4?2矩阵B, 使AB?0, 且 23? 设A???9?528????

R(B)?2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB?0的两个线性无关的解? 因为

2?213 ~ ?10?1/81/8?? A???9?528???01?5/8?11/8?????r

所以与方程组AB?0同解方程组为

x1?(1/8)x3?(1/8)x4 ??x?(5/8)x?(11/8)x? ?234

取(x3? x4)T?(8? 0)T? 得(x1? x2)T?(1? 5)T? 取(x3? x4)T?(0? 8)T? 得(x1? x2)T?(?1? 11)T? 方程组AB?0的基础解系为

?1?(1? 5? 8? 0)T? ?2?(?1? 11? 0? 8)T?

?1?5 因此所求矩阵为B??8?0??1?11?? 0?8??

24? 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

?1?(0? 1? 2? 3)T ? ?2?(3? 2? 1? 0)T ?

解 显然原方程组的通解为

?x1??0??x1?3k23???x??1??2??x2?k1?2k22, 即?k?k?x?1?2?2?1??x?2k?k? (k1? k2?R)? ?3??3??0??x3?3k12???41?x4???

消去k1? k2得

?2x1?3x2?x4?0? ?x?3x?2x?0?134

此即所求的齐次线性方程组.

25? 设四元齐次线性方程组

x1?x2?0 I? ??x?x?0 ? II? ?24?x1?x2?x3?0? ?x?x?x?0?234

求? (1)方程I与II的基础解系? (2) I与II的公共解?

x??x 解 (1)由方程I得??x1?x4? ?24

取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 0)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? 1)T? 因此方程I的基础解系为

?1?(0? 0? 1? 0)T? ?2?(?1? 1? 0? 1)T?

x1??x4 由方程II得??x?x?x? ?234

取(x3? x4)T?(1? 0)T? 得(x1? x2)T?(0? 1)T? 取(x3? x4)T?(0? 1)T? 得(x1? x2)T?(?1? ?1)T? 因此方程II的基础解系为

?1?(0? 1? 1? 0)T? ?2?(?1? ?1? 0? 1)T?

(2) I与II的公共解就是方程

?x1?x2?0?x?x?0 III? ?24 x1?x2?x3?0?x?x?x?0?234

的解? 因为方程组III的系数矩阵

?1?0 A??1?0?11?11001?10??1r??1? ~0 0??0?1???0010001?0?1?? 1?2?

00??

所以与方程组III同解的方程组为

??x1??x4 ?x2?x4? ??x3?2x4

取x4?1? 得(x1? x2? x3)T?(?1? 1? 2)T? 方程组III的基础解系为 ??(?1? 1? 2? 1)T?

因此I与II的公共解为x?c(?1? 1? 2? 1)T? c?R?

26? 设n阶矩阵A满足A2?A? E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)?R(A?E)?n?

证明 因为A(A?E)?A2?A?A?A?0? 所以R(A)?R(A?E)?n? 又R(A?E)?R(E?A)? 可知

R(A)?R(A?E)?R(A)?R(E?A)?R(A?E?A)?R(E)?n?

由此R(A)?R(A?E)?n?

27? 设A为n阶矩阵(n?2)? A*为A的伴随阵? 证明

n 当R(A)?n??R(A*)??1 当R(A)?n?1? ??0 当R(A)?n?2

证明 当R(A)?n时? |A|?0? 故有

|AA*|?||A|E|?|A|?0? |A*|?0?

所以R(A*)?n?

当R(A)?n?1时? |A|?0? 故有

AA*?|A|E?0?

即A*的列向量都是方程组Ax?0的解? 因为R(A)?n?1? 所以方程组Ax?0的基础解系中只含一个解向量? 即基础解系的秩为1?

因此R(A*)?1?

当R(A)?n?2时? A中每个元素的代数余子式都为0? 故A*?O? 从而R(A*)?0?

28? 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系?

??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1? ??5x1?3x2?2x3?2x4?3

解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013?? ?53223??00012?????

与所给方程组同解的方程为

??x1??x3?8

?x2? x3?13? ??x4? 2

当x3?0时? 得所给方程组的一个解??(?8? 13? 0? 2)T? 与对应的齐次方程组同解的方程为

??x1??x3

?x2? x3? ??x4?0

当x3?1时? 得对应的齐次方程组的基础解系??(?1? 1? 1? 0)T?

??x1?5x2?2x3?3x4?11 (2)?5x1?3x2?6x3?x4??1? ??2x1?4x2?2x3?x4??6

解 对增广矩阵进行初等行变换? 有

?1?52?311?r?109/7?1/21? B??536?1?1? ~ ?01?1/71/2?2?? ?2421?6??00000?????

与所给方程组同解的方程为

?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1? ?x?(1/7)x?(1/2)x?2?234

当x3?x4?0时? 得所给方程组的一个解

??(1? ?2? 0? 0)T?

与对应的齐次方程组同解的方程为

?x1??(9/7)x3?(1/2)x4? ?x?(1/7)x?(1/2)x?234

分别取(x3? x4)T?(1? 0)T? (0? 1)T? 得对应的齐次方程组的基础解系

?1?(?9? 1? 7? 0)T? ?2?(1? ?1? 0? 2)T?

29? 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3? 已知?1? ?2? ?3是它的三个解向量? 且

?1?(2? 3? 4? 5)T? ?2??3?(1? 2? 3? 4)T?

求该方程组的通解?

解 由于方程组中未知数的个数是4? 系数矩阵的秩为3? 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量? 且由于?1? ?2? ?3均为方程组的解? 由非齐次线性方程组解的结构性质

2?1?(?2??3)?(?1??2)?(?1??3)? (3? 4? 5? 6)T

为其基础解系向量? 故此方程组的通解?

x?k(3? 4? 5? 6)T?(2? 3? 4? 5)T? (k?R)?

30? 设有向量组A? a1?(?? 2? 10)T? a2?(?2? 1? 5)T? a3?(?1? 1?

4)T? 及b?(1? ?? ?1)T? 问?? ?为何值时

(1)向量b不能由向量组A线性表示?

(2)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?

(3)向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一? 并求一般表示式?

1???1?2?1?r??1?2? 解 (a3, a2, a1, b)??112??~ ?0?11????1?? ?4510?1??004???3??????

(1)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)? 此时向量b不能由向量组A线性表示?

(2)当???4时? R(A)?R(A? b)?3? 此时向量组a1? a2? a3线性无关? 而向量组a1? a2? a3? b线性相关? 故向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一?

(3)当???4? ??0时? R(A)?R(A? b)?2? 此时向量b能由向量组A线性表示? 且表示式不唯一?

当???4? ??0时?

??1?2?41?r?10?21?(a3, a2, a1, b)??1120?~ ?013?1?? ?4510?1??0000?????

方程组(a3? a2? a1)x?b的解为

?x1??2??1??2c?1? ?x2??c??3????1????3c?1?? c?R? ?x??1??0??c???3??????

因此 b?(2c?1)a3?(?3c?1)a2?ca1?

即 b? ca1?(?3c?1)a2?(2c?1)a3? c?R?

31? 设a?(a1? a2? a3)T? b?(b1? b2? b3)T? c?(c1? c2? c3)T? 证明三直线

l1? a1x?b1y?c1?0?

l2? a2x?b2y?c2?0? (ai2?bi2?0? i?1? 2? 3) l3? a3x?b3y?c3?0?

相交于一点的充分必要条件为? 向量组a? b线性无关? 且向量组a? b? c线性相关?

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

???a1x?b1y?c1?0?a1x?b1y??c1

?a2x?b2y?c2?0? 即?a2x?b2y??c2 ???a3x?b3y?c3?0?a3x?b3y??c3

有唯一解? 上述方程组可写为xa?yb??c? 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a? b唯一线性表示? 而c能由a? b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a? b线性无关? 且向量

组a? b? c线性相关?

32? 设矩阵A?(a1? a2? a3? a4)? 其中a2? a3? a4线性无关? a1?2a2? a3? 向量b?a1?a2?a3?a4? 求方程Ax?b的通解? 解 由b?a1?a2?a3?a4知??(1? 1? 1? 1)T是方程Ax?b的一个解?

由a1?2a2? a3得a1?2a2?a3?0? 知??(1? ?2? 1? 0)T是Ax?0的一个解?

由a2? a3? a4线性无关知R(A)?3? 故方程Ax?b所对应的齐次方程Ax?0的基础解系中含一个解向量? 因此??(1? ?2? 1? 0)T是方程Ax?0的基础解系?

方程Ax?b的通解为

x?c(1? ?2? 1? 0)T?(1? 1? 1? 1)T? c?R?

33? 设?*是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r ?是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明?

(1)?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关?

(2)?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r线性无关?

证明 (1)反证法, 假设?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 而?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性相关? 所以?*可由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表示? 且表示式是唯一的? 这说明?*也是齐次线性方程组的解? 矛盾?

(2)显然向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r与向量组?*?

?1? ?2? ? ? ?? ?n?r可以相互表示? 故这两个向量组等价? 而由(1)知向量组?*? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? 所以向量组?*? ?*??1? ?*??2? ? ? ?? ?*??n?r也线性无关?

34? 设?1? ?2? ? ? ?? ?s是非齐次线性方程组Ax?b的s个解? k1? k2? ? ? ?? ks为实数? 满足k1?k2? ? ? ? ?ks?1. 证明

x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s

也是它的解.

证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?s都是方程组Ax?b的解? 所以 A?i?b (i?1? 2? ? ? ?? s)?

从而 A(k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s)?k1A?1?k2A?2? ? ? ? ?ksA?s ?(k1?k2? ? ? ? ?ks)b?b?

因此x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?ks?s也是方程的解?

35? 设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为r? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1是它的n?r?1个线性无关的解? 试证它的任一解可表示为

x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1? (其中k1?k2? ? ? ? ?kn?r?1?1). 证明 因为?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1均为Ax?b的解? 所以?1??2??1? ?2??3??1? ? ? ?? ?n?r?? n?r?1??1均为Ax?b的解? 用反证法证? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关?

设它们线性相关? 则存在不全为零的数?1? ?2? ? ? ?? ?n?r? 使得

?1?1? ?2?2? ? ? ? ? ? n?r ? n?r?0?

即 ?1(?2??1)? ?2(?3??1)? ? ? ? ? ? n?r(?n?r?1??1)?0? 亦即 ?(?1??2? ? ? ? ??n?r)?1??1?2??2?3? ? ? ? ?? n?r?n?r?1?0? 由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r?1线性无关知

?(?1??2? ? ? ? ??n?r)??1??2? ? ? ? ??n?r?0? 矛盾? 因此?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性无关? ?1? ?2? ? ? ?? ?n?r为Ax?b的一个基础解系?

设x为Ax?b的任意解? 则x??1为Ax?0的解? 故x??1可由?1? ?2? ? ? ?? ?n?r线性表出? 设

x??1?k2?1?k3?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r

?k2(?2??1)?k3(?3??1)? ? ? ? ?kn?r?1(?n?r?1??1)? x??1(1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1)?k2?2?k3?3? ? ? ? ?k n?r?1?n?r?1? 令k1?1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1? 则k1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r?1?1? 于是 x?k1?1?k2?2? ? ? ? ?kn?r?1?n?r?1?

36? 设

V1?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?0}? V2?{x?(x1? x2? ?????? xn)T | x1? ?????? xn?R满足x1?x2? ???????xn?1}? 问V1? V2是不是向量空间?为什么?

解 V1是向量空间? 因为任取

??(a1? a2? ?????? an)T ?V1? ??(b1? b2? ?????? bn)T ?V1? ???R?

有 a1?a2? ???????an?0? b1?b2? ???????bn?0? 从而 (a1?b1)?(a2?b2)? ???????(an?bn) ?(a1?a2? ???????an)?(b1?b2? ???????bn)?0? ?a1??a2? ????????an??(a1?a2? ???????an)?0? 所以 ????(a1?b1? a2?b2? ?????? an?bn)T?V1? ???(?a1? ?a2? ?????? ?an)T ?V1? V2不是向量空间? 因为任取 ??(a1? a2? ?????? an)T ?V1? ??(b1? b2? ?????? bn)T ?V1? 有 a1?a2? ???????an?1? b1?b2? ???????bn?1? 从而 (a1?b1)?(a2?b2)? ???????(an?bn) ?(a1?a2? ???????an)?(b1?b2? ???????bn)?2? 所以 ????(a1?b1? a2?b2? ?????? an?bn)T?V1?

37? 试证? 由a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 0? 1)T? a3?(1? 1? 0)T所生成的向量空间就是R3.

证明 设A?(a1? a2? a3)? 由

11|A|?01??2?0? 10

知R(A)?3? 故a1? a2? a3线性无关? 所以a1? a2? a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1? a2? a3所生成的向量空间就是R3.

38? 由a1?(1? 1? 0? 0)T? a2?(1? 0? 1? 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1?(2? ?1? 3? 3)T? b2?(0? 1? ?1? ?1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1?V2.

证明 设A?(a1? a2)? B?(b1? b2)? 显然R(A)?R(B)?2? 又由

?1?1 (A, B)??0?0?10112?1330??1r?1? ~0 ?1??0?0?1???1?1002?3000?1?? 0?

0??

知R(A? B)?2? 所以R(A)?R(B)?R(A? B)? 从而向量组a1? a2与向量组b1? b2等价? 因为向量组a1? a2与向量组b1? b2等价? 所以这两个向量组所生成的向量空间相同? 即V1?V2.

39? 验证a1?(1? ?1? 0)T? a2?(2? 1? 3)T? a3?(3? 1? 2)T为R3的一个基, 并把v1?(5? 0? 7)T? v2?(?9? ?8? ?13)T用这个基线性表示. 解 设A?(a1? a2? a3)? 由

123|(a1, a2, a3)|??111??6?0? 032

知R(A)?3? 故a1? a2? a3线性无关? 所以a1? a2? a3为R3的一个基. 设x1a1?x2a2?x3a3?v1? 则

??x1?2x2?3x3?5

??x1?x2?x3?0? ??3x2?2x3?7

解之得x1?2? x2?3? x3??1? 故线性表示为v1?2a1?3a2?a3? 设x1a1?x2a2?x3a3?v2? 则

??x1?2x2?3x3??9

??x1?x2?x3??8? ??3x2?2x3??13

解之得x1?3? x2??3? x3??2? 故线性表示为v2?3a1?3a2?2a3?

40? 已知R3的两个基为

a1?(1? 1? 1)T? a2?(1? 0? ?1)T? a3?(1? 0? 1)T? b1?(1? 2? 1)T? b2?(2? 3? 4)T? b3?(3? 4? 3)T? 求由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的过渡矩阵P? 解 设e1? e2? e3是三维单位坐标向量组? 则

?111? (a1, a2, a3)?(e1, e2, e3)?100?? ?1?11???

?1 (e1, e2, e3)?(a1, a2, a3)?1?1?

?1于是 (b1, b2, b3)?(e1, e2, e3)?2?1?10?11?0?? 1??23?34? 43??

?1?1?111??123? ?(a1, a2, a3)?100??234?? ?1?11??143?????

由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的过渡矩阵为

?111??123??234? P??100??234???0?10?? ?1?11??143???10?1???????

?1

第六章 线性空间与线性变换

1? 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间? 并写出各个空间的一个基?

(1) 2阶矩阵的全体S1?

解 设A? B分别为二阶矩阵? 则A? B?S1? 因为

(A?B)?S1? kA?S1?

所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间?

1?1???0

是S1的一个基. 0?? ???0???0?2?01?? ???0?0??3?10?? ???0?0??4?00? 1??

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2?

?ab? B???de?? A? B?S? 因为 解 设A???ca???fd?2????

?(a?d)c?b? A?B???c?aa?d??S2? ??

?kakb?S? kA???kcka??2??

所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间?

10? ???0?1???0?1??2?0??

是S2的一个基?

(3) 2阶对称矩阵的全体S3. 1?? ???0?3?10???0? 0??

解 设A? B?S3? 则AT?A? BT?B? 因为

(A?B)T?AT?BT?A?B? (A?B)?S3?

(kA)T?kAT?kA? kA?S3?

所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

1?1???0

是S3的一个基. 0?? ???0???0?2?11?? ???0?0??3?00? 1??

2? 验证? 与向量(0? 0? 1)T不平行的全体3维数组向量? 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间?

解 设V?{与向量(0? 0? 1)T不平行的全体三维向量}? 设r1?(1? 1? 0)T? r2?(?1? 0? 1)T? 则r1? r2?V? 但r1?r2?(0? 0? 1)T?V? 即V不是线性空间.

3? 设U是线性空间V的一个子空间? 试证? 若U与V的维数相等? 则U?V?

证明 设?1? ?2? ???? ?n为U的一组基? 它可扩充为整个空间V的一个基? 由于dim(U)?dim(V)? 从而?1? ?2? ???? ?n也为V的一个基? 则? 对于x?V可以表示为x?k1?1?k2?2? ??? ?kr?r? 显然? x?U? 故V?U? 而由已知知U?V? 有U?V?

4? 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间? a1? a2? ???? ar是Vr的一个基? 试证? Vn中存在元素ar?1? ???? an? 使a1? a2? ???? ar, ar?1? ???? an成为Vn的一个基?

证明 设r?n, 则在Vn中必存在一向量ar?1?Vr? 它不能被a1? a2? ???? ar线性表示? 将ar?1添加进来? 则a1? a2? ???? ar?1是线性无关的? 若r?1?n? 则命题得证? 否则存在ar?2?L(a1? a2? ???? ar?1)? 则a1? a2? ???? ar?2线性无关? 依此类推? 可找到n个线性无关的向量a1? a2? ???? an? 它们是Vn的一个基?

5? 在R3中求向量??(3? 7? 1)T在基?1?(1? 3? 5)T? ?2?(6? 3? 2)T? ?3?(3? 1? 0)T下的坐标?

解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则

(?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A?

(?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A?1?

?163???26?3??1其中A??331?? A??5?158?? ?520???928?15?????

?3??3?因为 ??(?1, ?2, ?3)?7??(?1, ?2, ?3)A?1?7? ?1??1?????

??26?3??3? ?(?1, ?2, ?3)?5?158??7? ??928?15??1?????

?33? ?(?1, ?2, ?3)??82?? ?154???

所以向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(33? ?82? 154)T?

6? 在R3取两个基 ?1?(1? 2? 1)T? ?2?(2? 3? 3)T? ?3?(3? 7? 1)T? ?1?(3? 1? 4)T? ?2?(5? 2? 1)T? ?3?(1? 1? ?6)T? 试求坐标变换公式? 解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则 (?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)B? (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?1)B?1? (?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)A?(?1? ?2? ?1)B?1A?

?121??351?其中 A??237?? B??121?? ?131??41?6?????

设任意向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(x1? x2? x3)T? 则

?x1??x1???(?1, ?2, ?3)?x2??(?1, ?2, ?3)B?1A?x2?? ?x??x??3??3?

故?在基?1? ?2? ?3下的坐标为

?1319181???4?xx?1??1???x1?????B?1A?x2????9?13?63??x2?? ?x2?x???x?2??x???3??3??3?99?710?4??

7? 在R4中取两个基

e1?(1?0?0?0)T? e2?(0?1?0?0)T? e3?(0?0?1?0)T? e4?(0?0?0?1)T? ?1?(2?1??1?1)T? ?2?(0?3?1?0)T? ?3?(5?3?2?1)T? ?3?(6?6?1?3)T? (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵? 解 由题意知

?2?1

(?1, ?2, ?3, ?4)?(e1, e2, e3, e4)?

?1?1?

031053216?6?? 1?3??

从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

?2

?1A??

?1?1?

031053216?6?? 1?3??

(2)求向量(x1? x2? x3? x4)T在后一个基下的坐标? 解 因为

?x1??x1?

?x???

?1x22

??(e1, e2, e3, e4)???(?1, ?2, ?3, ?4)A???

?x3??x3??x4??x4?

向量?在后一个基下的坐标为

?y1??2

?y??0?y2???5?3??6?y4??

1336?1121

1?0?1?3??

?1

?x1??12

?x?1?1?x2???9?3?27??7

??x4?

9

120?3?27?909

?33??x1??23??x2?? ?18??x3?

??26???x4?

(3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令

?121?1?27?9

??79120?3?27?909?33??x1??x1??23??x2???x2?? ?18??x3??x3?????26???x4??x4?

?x1??1??x??1?解方程组得?2??k??(k为常数)? x1?3????x4??1?

x??x?的几何意义? 其中 8? 说明xOy平面上变换T??y??A?y?????

?1 (1)A???0?

解 因为 0?? 1??

x???1T??y???0???

0 (2)A???0?0?? 1??0??x????x?? ?y??y?1??????所以在此变换下T(?)与?关于y轴对称?

解 因为

x??0T??y???0???

0 (3)A???1?1?? 0??0??x???0?? ????1???y??y?所以在此变换下T(?)是?在y轴上的投影?

解 因为

x??0T??y???1???

0 (4)A????1?

解 因为 1??x???y?? ?y??x?0??????所以在此变换下T(?)与?关于直线y?x对称? 1?. 0??

x??0T??y????1???1??x???y?? ????0???y???x?

所以在此变换下T(?)是将?顺时针旋转?? 2

9? n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个n(n?1)维线性空间. 给出n阶矩阵P? 以A表示V中的任一元素? 2

变换T(A)?PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换?

证明 设A? B?V? 则AT?A? BT?B?

T(A?B)?PT(A?B)P?PT(A?B)TP

?[(A?B)P]TP?(AP?BP)TP

?(PTA?PTB)P?PTAP?PTBP?T(A)?T(B)?

T(kA)?PT(kA)P?kPTAP?kT(A)?

从而? 合同变换T是V中的线性变换?

10? 函数集合

V3?{??(a2x2?a1x?a0)ex | a2? a1? a0 ?R}

对于函数的线性运算构成3维线性空间? 在V3中取一个基

?1?x2ex? ?2?xex? ?3?ex?

求微分运算D在这个基下的矩阵. 解 设

?1?D(?1)?2xex?x2ex?2?2??1? ?2?D(?2)?ex?xex??3??2? ?3?D(?3)?ex??3?

易知?1? ?2? ?3线性无关? 故为一个基.

?100?由 (?1, ?2, ?3)?(?1, ?2, ?3)?210?? ?011???

?100?知即D在基?1? ?2? ?3下的矩阵为P??210?? ?011???

11? 2阶对称矩阵的全体

x1x2?V3?{A???xx?|x1,x2,x3?R} ?23?

对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基

1A1???0?0?? A??0

2?10???

1T(A)???1?1?? A??03?00???0?. 1??在V3中定义合同变换 0?A?11?, ?01?1????

求T在基A1? A2? A3下的矩阵.

解 因为

1? T(A)??11?0??1?1???00??11???11??A?A?A? ????0???01??11?1231 T(A2)???1?

1 T(A3)???1?0??0?11???0??0?01???1??1?01???1???0?11???1??A?2A? 32??20??A? 1??30??11???0?01??01?????

?100?故 (T(A1), T(A2), T(A3))?(A1, A2, A3)?110?? ?121???

?100?从而? T在基A1? A2? A3下的矩阵A??110?. ?121???

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com