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2014年3月做课

发布时间:2014-05-16 11:03:20  

数学

R A(理)

利用函数单调性求参数的

取值范围

学习目标:

1、熟练掌握原函数的单调性与导函数的关系; 2、利用分离参数法求参数的取值范围; 3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围。

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

请思考:

问 题 : 在 区 间 (a, b)内f ?( x) ? 0

f ( x)单 调 递 增

f ( x)在(a, b)上 单 调 递 增 f ?( x) ? 0在(a, b)上 恒 成 立

f ?( x ) ? 0 是 f ( x )单调递增 的

充分不必要 条件

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

例1:
已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1在 [2,4] 上 是 单 调 递 增 函 数 , 求 参 数 a的 取 值 范 围 .
解:

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3, x ?[2,4]

则f ' ( x) ? 0在 [2,4]上 恒 成 立

即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0, 恒 成 立 x ?[2,4]
方法:(分离参数)

2ax ? 3x ? 3恒 成 立
2
2

3x ? 3 a? , 2x

3x 2 ? 3 a?( )min 2x

3x 2 ? 3 令g( x ) ? , x ? [2,4] 2x
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练习1:
已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax ? 3 x ? 1在 [0,??)上是单调递增函数, 求参数 a的取值范围 .
解:

f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3, x ?[0,??)

则f ' ( x ) ? 0在 [0,??)上 恒 成 立

即 3x 2 ? a ? 3 ? 0, 恒 成 立 x ?[0,??)
方法:(分离参数)

a ? 3x 2 ? 3恒 成 立
a ? (3x 2 ? 3) min ?a ? 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

3 2 若 函 数 f ( x ) ? x ? ax ? 1在 (0,2) 内 单 调 递 减 练习2: 求 实 数 a的 取 值 范 围 .

,

解析:

f ' ( x ) ? 3 x ? 2ax, x ? (0,2)
2

则f ' ( x ) ? 0在 (0,2) 上 恒 成 立
即 2ax ? 3 x 2 3 a ? x , x ? ( 0,2) 2 3 a ? ( x )max , x ? (0,2), 2

a?3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

分离参数法:

分离参数 构造函数g(x) 求g(x)的最值

求得参数范围

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

例 2:
已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 3ax2 ? 2a 2 x ? 1在 [0,2] 上是单调递增函数, 求参数 a的取值范围 .
解:

f ' ( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 2a 2 , x ?[0,2]

则f ' ( x ) ? 0在 [0,2]上恒成立

即 3x 2 ? 6ax ? 2a 2 ? 0恒 成 立 , x ?[0,2]
即f ' ( x )min ? 0, x ?[0,2]

而f ' ( x)为 二 次 函 数 , 开 口 向 上 对 称 轴 为 x?a



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

f ' ( x) ? 3x ? 6ax ? 2a ? 0, x ?[0,2]
2 2

即 (3 x 2 ? 6ax ? 2a 2 )min ? 0, x ?[0,2]
y

o

2

x

X=a

X=a

X=a

基础知识

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思想方法

练出高分

设a为 实 数 , 函 数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x在 练习: [0, ? ?) 上 是 增 函 数 , 求a的 取 值 范 围 .
3 2 2

解:

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (a 2 ?1) ? 0, x ?[0,??)
[3x 2 ? 2ax ? (a 2 ?1)]min ? 0, x ?[0,??) a ① ? ?0 ?

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