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空间中的平行关系(新课标人教版_教师版)

发布时间:2013-09-29 17:02:49  

平行关系

【要点梳理】

1.平面概述

(1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度)

(2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面

(3)平面的表示:用一个小写的希腊字母?、?、?等表示,如平面?、平面?;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC。

2.三公理三推论:

公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内:

A?l,B?l,A??,B???l??

公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。

推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3.空间直线:

(1)空间两条直线的位置关系:

相交直线——有且仅有一个公共点;

平行直线——在同一平面内,没有公共点;

异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。

(2)平行直线:

在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式:A??,B??,a??,B?a?AB与a是异面直线。

4.直线和平面的位置关系

(1)直线在平面内(无数个公共点);

(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);

(3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为a??,a???A,a//?。

线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。推理模式:a??,b??,a//b?a//?.

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。推理模式:a//?,a??,????b?a//b.

5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没有公共点)

(1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。

a????定理的模式:b??? ?a?b?P???//?

a//???b//???

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。

推论模式:a?b?P,a??,b??,a??b??P?,a???,b???,a//a?,b//b???//?

(2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面;

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

考点一 平行关系的判断

例1.下列命题正确的是( )

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

1.若直线l不平行于平面a,且l?a,则( )

(A) a内的所有直线与l异面 (B) a内不存在与l平行的直线

(C) a内存在唯一的直线与l平行 (D) a内的直线与l都相交

考点二 平行关系的证明

例2.如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,E,P分别是BC,A1D1的

中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD?AA1?a,AB?2a,求证:

MN//面ADD1A1。

2. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱长为a。

证明:平面ACD1 ∥平面A1C1B 。

一、选择题

1.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )

(A)a平行于α内的所有直线

(B)α内有无数条直线与a平行

(C)直线a上的点到平面α的距离相等

(D)α内存在无数条直线与a成90°角

2.下列命题中正确的个数是( )

①若直线a不在α内,则a∥α;

②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;

③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行;

④若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;

⑤平行于同一平面的两直线可以相交.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.(2012·南昌模拟)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( )

(A)a∥b,b

(B)a、bα,则a∥α α,a∥β,b∥β,则α∥β

(C)a⊥α,b∥α,则a⊥b

(D)当aα,且bα时,若b∥α,则a∥b

4.下列命题正确的是( )

(A)直线a与平面α不平行,则直线a与平面α内的所有直线都不平行

(B)如果两条直线在平面α内的射影平行,则这两条直线平行

(C)垂直于同一直线的两个平面平行

(D)直线a与平面α不垂直,则直线a与平面α内的所有直线都不垂直

5.已知直线m,n和平面α,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是

( )

(A)m∥α,n∥α (B)m⊥α,n⊥α

(C)m∥α,nα (D) m,n与α所成的角相等

6.(预测题)a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题:

?????a∥c?a∥??c∥???∥? ①? ③? ?a∥b ②??a∥b ??∥? ④???∥? ?????b∥c?b∥??c∥???∥?

???c∥???∥?⑤??a∥? ⑥??a∥?其中正确的命题是( )

???a∥c?a∥?

(A)①②③

二、填空题

7.考查下列两个命题,在“__________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线,α、β为不重合的平面),则此条件为____ _____.

8.`已知l、m、n是互不相同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若l与m为异面直线,l

②若α∥β,lα,mα,mβ,则α∥β; (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④ β,则l∥m;

③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.

其中所有真命题的序号为 .

9.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下

a底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,3

过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .

三、解答题

10.已知如图:E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、

CC1、C1D1、AA1的中点.

(1)求证:EG∥平面BB1D1D;

(2)求证:平面BDF∥平面B1D1H.

11.如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点.

(1)若E为A1C1的中点,求证:DE∥平面ABB1A1;

(2)若E为A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,求A1E

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