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课题学习:最短路径问题

发布时间:2013-11-19 10:02:51  

八年级

上册

13.4 课题学习 最短路径问题

课件说明
引言: 1、 两点之间,线段最短. 2、“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中,垂线段最短”

如图所示,从A地到B地有三条 路可供选择,你会选走哪条路 最近?你的理由是什么?
C A

①D

E B




两点之间,线段最短

F

(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知:如图,A,B在直线L的侧, 在L上求一点P,使得PA+PB最小。

A .
P

思考:为什么这样就能 得到最短距离呢?

.B B

两点之间线段最短.

如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别 向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地 方,可使所用的输气管线最短?
所以泵站建在点P可使输气管线最短

应用

P

(Ⅱ)

两点在一条直线同侧

已知:如图,A、B在直线L的同一侧,在L上 求一点,使得PA+PB最小. 作法:① 作点B关于直线l的对称点B′. B ② 连接AB′,交直线l于点P. 点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢? MA + MB′>PA+PB ′ 即MA + MB′>PA+PB 三角形任意两边之和大于第三边
M

l

P B′

(Ⅲ)一点在两相交直线内部

已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, C,组成三角形,使三角形周长最小.
分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时,三角形的周长最小
D
B

C

E

(Ⅲ)一点在两相交直线内部

已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, C,组成三角形,使三角形周长最小.
分别作点A关于OM,ON的对称 点A′,A″;连接A′,A″, 分别交OM,ON于点B、点C, 则点B、点C即为所求

问题2(造桥选址问题)如图,A和B两地在一条河的两岸, 现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短? (假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

如图,作MN使得MN垂直于两岸,作BB‘=MN 且平行于MN , 连接B'A 交M所在直线于C,连接AC,过C点作CD垂直于N 所在直线,与点D,连接BD则粉色线段即为所求A到B的最 短路径。 证明:因为BB'平行且等于CD, 所以,四边形CDBB'为平行四边形, 所以,DB等于CB' 两点之间线段最短,所以AB'为点 A与点B'间的最短距离,又因为,桥要与河垂直,所以最短 距离为AB'加桥的宽度。即图中粉色线段所示。


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